8. Grundpotensform och prefix
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
8.
Grundpotensform och prefix
Lektionen fokuserar på begreppen tiopotenser och prefix inom matematiken. Den förklarar hur tiopotenser används för att representera stora och små tal genom att använda potenser av 10. Sidan introducerar också olika prefix som mikro, mega och tusen, och hur de används i samband med måttenheter. Detta inkluderar en förklaring av hur prefix som "tio miljondels millimeter" kan användas i praktiska sammanhang. Genom att kombinera dessa koncept hjälper sidan läsarna att förstå och använda tiopotenser och prefix korrekt, både i matematiska beräkningar och i vardagliga situationer.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 11 sidor teori |
| | 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Grundpotensform och prefix
Sida av 11
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Tiopotens
- Grundpotensform
- Prefix
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Tiopotens
En tiopotens är en potens med bas 10, t.ex. 10^2. Värdet av tiopotenser följer alltid samma struktur: en 1:a med ett visst antal nollor till höger eller vänster om 1:an. Hur många nollor samt på vilken sida om 1:an de ska skrivas anges av exponenten.
| Tiopotens | Värde | Exponent | Antal nollor |
|---|---|---|---|
| 10^2 | 100 | 2 | 2 |
| 10^1 | 10 | 1 | 1 |
| 10^0 | 1 | 0 | 0 |
| 10^(- 1) | 0,1 | -1 | 1 |
| 10^(- 2) | 0,01 | -2 | 2 |
Om exponenten är positiv ska man skriva nollorna till höger om 1:an.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Om den är negativ ska man skriva nollorna till vänster om 1:an, vilket innebär att man får ett decimaltal.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Skriv ett stort tal med tiopotens
Skriv talet 2 000 000 med hjälp av en tiopotens.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2 \\times 10^6"]}}
Ledtråd
Tänk på att 2 000 000 kan delas upp i två faktorer: en siffra och en tiopotens genom att identifiera hur många nollor som finns i 1 000 000 för att bestämma exponenten i tiopotensen.
Lösning
Talet 2 000 000 har ingen
egentiopotens. Vi skriver därför om det som 2*1 000 000 så att vi kan utnyttja tiopotensen som motsvarar 1 000 000. Eftersom det är 6 nollor i talet är det tiopotensen med exponenten 6 som ska användas, dvs. 10^6. Vi kan alltså skriva om talet på följande sätt. 2 000 000 = 2 * 1 000 000 = 2 * 10^6
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Skriv ett litet tal med tiopotens
Skriv talet 0,0003 med hjälp av en tiopotens.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3 \\times 10^{-4}"]}}
Lösning
Vi börjar med att skriva om talet 0,0003 som 3* 0,0001 eftersom vi då kan använda att 0,0001 motsvarar tiopotensen 10^(-4). Talet kan alltså skrivas om på följande sätt.
0,0003 = 3 * 0,0001 = 3 * 10^(-4)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Multiplikation med tiopotenser
a
Beräkna.
2 * 10^2 * 4 * 10^3
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["8 \\times 10^5"]}}
b
Beräkna.
2 * 10^(- 2) * 5 * 10^(- 3)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["10^{-4}"]}}
Ledtråd
a
När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna.
b
När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna.
Lösning
a
När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna.
2 * 10^2 * 4 * 10^3
RearrangeTerms
Omarrangera termer
2 * 4 * 10^3 * 10^2
Multiply
Multiplicera faktorer
8 * 10^3 * 10^2
MultPow
a^b*a^c=a^(b+c)
8 * 10^5
Resultatet av multiplikationen är 8 * 10^5.
b
När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna.
2 * 10^(- 2) * 5 * 10^(- 3)
RearrangeTerms
Omarrangera termer
2 * 5 * 10^(- 3) * 10^(- 2)
Multiply
Multiplicera faktorer
10 * 10^(- 3) * 10^(- 2)
MultPow
a^b*a^c=a^(b+c)
10 * 10^(-5)
MultBasePow
a*a^b=a^(1+b)
10^(-4)
Resultatet av multiplikationen är 10^(-4).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Grundpotensform
Grundpotensform är ett mer kompakt sätt att skriva väldigt stora eller väldigt små tal. När man skriver om ett tal i grundpotensform delar man upp det i ett tal mellan 1 och 10 som anger värdesiffrorna och en tiopotens som anger storleken. Det gör att man inte behöver skriva ut alla nollor. Till exempel kan talet 4 miljarder skrivas som 4 000 000 000 = 4* 10^9.
Detta gäller även för mycket små decimaltal där det finns många nollor innan värdesiffrorna, vilket ger en negativ exponent på tiopotensen. Exempelvis är 0,000000234 = 2,34 * 10^(- 7).
Nedan visas ytterligare några exempel på tal skrivna på grundpotensform.
| Tal | Värdesiffror | Storlek | Grundpotensform |
|---|---|---|---|
| 53 000 | 5 och 3 | 10 000 | 5,3* 10^4 |
| 432 | 4, 3, och 2 | 100 | 4,32* 10^2 |
| 0,0074 | 7 och 4 | 0,001 | 7,4* 10^(- 3) |
| 0,000031 | 3 och 1 | 0,00001 | 3,1* 10^(- 5) |
Grundpotensform gör det enklare att jämföra tals storleksordning, alltså om det t.ex. är ett tiotal eller ett tusental. Det kan vara svårt att avgöra hur mycket större 23 740 000 000 är jämfört med 457 300 000, men det är lättare att se att 2,374 * 10^(10) och 4,573 * 10^8 skiljer sig åt med en faktor som är ungefär 10^2 = 100. Räknare har speciella knappar för att enklare kunna skriva tal i grundpotensform.
Extra
Intuitiv metod: Skriva om ett nummer i grundpotensformEtt intuitivt sätt att skriva ett tal i grundpotensform är att räkna antalet steg som decimalkommat måste flyttas. Om vi har ett tal större än 10, flyttar vi decimalkommat åt vänster, så att talet blir mellan 1 och 10. Antalet steg som decimalkommat flyttas anger den positiva exponenten i 10-potensen.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
På motsvarande sätt, för tal mindre än 1, till exempel 0,000022, flyttar vi decimalkommat åt höger tills talet är mellan 1 och 10. Antalet steg som decimalkommat flyttas anger då den negativa exponenten i 10-potensen.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Grundpotensform är inte bara ett praktiskt sätt att uttrycka besvärliga tal; det underlättar också jämförelsen av numeriska ordningsstorlekar. Genom att titta på exponenten är det tydligt vilket nummer som är större eller mindre. Till exempel, 3 * 10^7 är större än 4 * 10^6 eftersom 10^7 är större än 10^6.
Grundpotensform är inte bara ett praktiskt sätt att skriva stora eller små tal; det gör det också enklare att jämföra talens storleksordning. Genom att jämföra exponenterna kan vi direkt se vilket tal som är störst eller minst. Till exempel är 3 * 10^7 större än 4 * 10^6 eftersom 10^7 är större än 10^6.
3 * 10^7 > 4 * 10^6
Det hjälper oss att snabbt få en uppfattning om talets storlek, även när det är väldigt stort eller litet.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Grundpotensform på räknare
Räknaren har ett annorlunda sätt att skriva grundpotensform. Istället för att skriva *10^
anges symbolen E. Vill man själv använda detta sätt att skriva in tiopotenser trycker man på knappen EE (2nd + ,).
Symbolen E betyder alltså gånger 10 upphöjt till...
Det ger ett kompakt sätt att skriva beräkningar som innehåller grundpotensform. Den stora fördelen är också att räknaren tolkar grundpotensformen som "helheter" och inte uppdelade i tal, gångertecken och tiopotens. Exempelvis kan beräkningen 2 000 000 000/0,005=400 000 000 000 skrivas som nedan.
Man kan också använda knappen 10^x, men då måste man sätta parenteser runt täljare och nämnare. Annars kommer räknaren bara dividera talen närmast divisionstecknet, och exemplet tolkas som 2 * 10^9/5 * 10^(-3).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Skriv ett stort tal i grundpotensform
Skriv talet 893 400 på grundpotensform.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["8,934 \\times 10^{5}"]}}
Lösning
893 400 står i storleksordningen "hundratusental" så tiopotensen i talets grundpotensformen blir 10^5. Vi ser även att talet har fyra värdesiffror (8, 9, 3 och 4) så framför tiopotensen ska vi sätta decimaltalet 8,934. Grundpotensformen blir:
8,934 * 10^5
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Skriv ett litet tal i grundpotensform
Skriv talet 0,002016 på grundpotensform.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2,016 \\times 10^{-3}"]}}
Ledtråd
För att bestämma vilken tiopotens vi ska använda räknar vi antalet nollor innan den första värdesiffran.
Lösning
Decimaltalet har fyra värdesiffror och den första av dessa är 2. För att bestämma vilken tiopotens vi ska använda räknar vi antalet nollor innan den första värdesiffran och vi ser då att det sitter tre nollor framför 2. Talets storleksordning är alltså "tusendel" så tiopotensen vi ska använda är 10^(- 3). Framför tiopotensen sätter vi decimaltalet 2,016 vilket ger oss:
2,016* 10^(- 3)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Prefix
Ett prefix är ett ord som läggs till framför en enhet, oftast en grundenhet, och används för att visa en multipel av den enheten. Alla prefix är potenser av 10. Prefix kan ses som ett alternativ till grundpotensform. Exempelvis kan 7,3 * 10^3 gram kan skrivas som 7,3 kilogram, eftersom prefixet kilo
betyder 10^3. 7,3 * 10^3 gram = 7,3 kilogram
Varje prefix har en unik symbol som kan sättas framför vilken enhetssymbol som helst.
| Prefix större än 1 | |||
|---|---|---|---|
| Prefix | Symbol | Betydelse | |
| mega | M | miljon — 1 000 000 | |
| kilo | k | tusen — 1 000 | |
| hekto | h | hundra — 100 | |
| deka | da | tio — 10 | |
De prefix som är mindre än 1 visas i följande tabell.
| Prefix mindre än 1 | |||
|---|---|---|---|
| Prefix | Symbol | Betydelse | |
| deci | d | en tiondel — 0,1 | |
| centi | c | en hundradel — 0,01 | |
| milli | m | en tusendel — 0,001 | |
| mikro | μ | en miljonedel — 0,000001 | |
Notera att prefixnamnen inte kan användas tillsammans. 0,000002 meter → l 2 mikrometer 2 centimillimeter En annan viktig sak att lägga märke till är att SI-grundenheten för massa, kilogram, redan innehåller ett prefix. Eftersom flera prefix inte är tillåtna så används de prefixnamn som visas i tabellerna med enheten gram (g), istället för kilogram. 0,000001 kilogram → l 1 milligram 1 microkilogram
Extra
Användbart diagramFöljande diagram visar relationerna mellan olika prefix. Det kan användas vid omvandling från ett prefix till ett annat. Exempelvis är 1 kilogram lika med 10 hektogram. När man går ner ett steg i tabellen ska talet framför enheten alltså multipliceras med 10, och när man går upp ett steg i tabellen ska talet divideras med 10.
Tänk även på att diagrammet inte stämmer helt för grundenheten kilogram, eftersom den redan har ett prefix. I det fallet är det istället gram som ska stå i mittenrutan.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Skriv med prefix
a
Skriv följande tal med lämpligt prefix.
3 000 000 000 W
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"GW","answer":{"text":["3"]}}
b
Skriv följande tal med lämpligt prefix.
0,002 g
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"mg","answer":{"text":["2"]}}
c
Skriv följande tal med lämpligt prefix.
4000 m
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"km","answer":{"text":["4"]}}
Ledtråd
a
Om vi räknar antalet nollor till höger om 3:an ser vi att de är 9 stycken vilket stämmer in på prefixet giga (G).
b
Till vänster om 2:an har vi 3 nollor vilket stämmer överens med prefixet milli (m).
c
Till höger om 4:an har vi 3 nollor vilket stämmer överens med prefixet kilo (k).
Lösning
a
Om vi räknar antalet nollor till höger om 3:an ser vi att de är 9 stycken vilket stämmer in på prefixet giga (G).
3 000 000 000 W
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
3* 1 000 000 000 W
WritePow
Skriv som potens
3* 10^9 W
GigaPowToText
10^9 = giga
3 GW
b
Till vänster om 2:an har vi 3 nollor vilket stämmer överens med prefixet milli (m).
0,002 g
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
2* 0,001 g
WritePow
Skriv som potens
2* 10^(- 3) g
MilliPowToText
10^(- 3)= milli
2 mg
c
Till höger om 4:an har vi 3 nollor vilket stämmer överens med prefixet kilo (k).
4 000 m
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
4* 1000 m
WritePow
Skriv som potens
4* 10^3 m
KiloPowToText
10^3 = kilo
4 km
Dela
Rapportera fel
Översätt
Grundpotensform och prefix
Uppgift 3.1
Hur många siffror finns det i talet 1 000^(12 345)?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"st.","answer":{"text":["37036"]}}
security
report
code
security
report
code
Skriver du in talet på räknaren kommer få ett meddelande i stil med Error:Overflow
. Detta betyder att talet är för stort för räknaren att hantera. Men vi kan resonera kring hur tiopotenser fungerar och lösa uppgiften ändå. Vi beräknar 10^x för exponenterna 1, 2, 3, 4 och försöker hitta ett mönster.
| x | 10^x | = | Antal siffror |
|---|---|---|---|
| 0 | 10^0 | 1 | 1 |
| 1 | 10^1 | 10 | 2 |
| 2 | 10^2 | 100 | 3 |
| 3 | 10^3 | 1000 | 4 |
| 4 | 10^4 | 10000 | 5 |
Vi ser att antalet siffror i talet är 1 större än exponenten. Kan vi skriva om potensen så att basen är 10 kan vi därefter utläsa antalet siffror genom att lägga på 1 till exponenten.
Potensen kan skrivas som 10^(37 035). Detta betyder att antalet siffror i talet blir 37 035+1=37 036.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Emil har köpt en ny superhårddisk till sin dator men blir lite besviken när han sätter in den. På hårddisken står det att den rymmer 16 TB (terabyte) men Emils dator påstår att det inte alls finns så mycket ledigt utrymme. Efter lite efterforskningar på Internet lär sig Emil att datorer inte räknar i tiopotenser, utan använder binära tal, alltså tvåpotenser. När en dator säger att en fil tar upp 1 kB betyder det inte att den är 1000 byte, utan 2^(10) = 1024 byte, och på samma sätt är ett MB lika med 1024 kB.
| Binärt prefix | Kibi | Mebi | Gibi | Tebi | Pebi |
|---|---|---|---|---|---|
| Symbol | Ki | Mi | Gi | Ti | Pi |
| Tvåpotens | 2^(10) | 2^(20) | 2^(30) | 2^(40) | 2^(50) |
Tabellen ovan visar de mer korrekta namnen för de binära prefixen. Emils dator visar alltså storleken på hårddisken i tebibytes medan affären som sålde hårddisken angav storleken i terabytes. Hur stor säger Emils dator att hårddisken är? Svara i tebibytes och med 2 decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"TiB","answer":{"text":["14,55"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att hårddisken har kapaciteten 16 terabyte, alltså 16 * 10^(12) byte. Från tabellen kan vi läsa av att en tebibyte består av 2^(40) bytes. Delar vi antalet bytes på hårddisken med antalet bytes i en tebibyte ska vi få antalet tebibytes som ryms på hårddisken. Först skriver vi om 2^(40) i grundpotensform.
Det finns ungefär 1,100 * 10^(12) bytes i en tebibyte. Delar vi nu antalet bytes på hårddisken, 16 * 10^(12), med detta tal får vi hur många tebibytes som hårddisken rymmer.
Emils dator visar alltså bara 14,55 tebibyte, en bra bit under vad han väntade sig.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Skriv om bråket i grundpotensform utan att använda räknare. 16/2^(99)*5^(96)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2*10^{-96}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi förenklar först nämnaren separat genom att skriva om den som en enda potens. Det kan vi göra om vi skriver 2^(99) så att en av faktorerna får exponenten 96. Då kan vi skriva om nämnaren så att den får en tiopotens.
Nämnaren kan alltså skrivas om till 8*10^(96). Vi återgår till bråket.
Vi får alltså 2*10^(-96).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Beräkna uttrycket 10^(102)+10^(100)/10^(100) utan räknare.
Nationella provet VT12 1c
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["101"]}}
security
report
code
security
report
code
I täljaren finns en summa. Det betyder att kan vi dela upp bråket och sedan använda potenslagarna.
Kvoten som är kvar kan vi nu beräkna med potenslagen om division av potenser.
Man kan också börja med att faktorisera täljaren för att sedan förkorta bråket. Vi använder att 102 kan skrivas som 100+2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Grundpotensform och prefix
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll