Grafens utseende och derivatans tecken

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Stationära punkter och derivatans nollställen

De xx-värden där derivatan till en funktion är 00 kallas derivatans nollställen. Dessa kan användas för att bestämma funktionens stationära punkter, dvs. maximi-, minimi- och terrasspunkter, eftersom derivatan är 00 där.

Genom att undersöka derivatans tecken till vänster och höger om de stationära punkterna kan man bestämma deras karaktär, dvs. om de är maximi-, minimi- eller terrasspunkter. Om det är olika tecken på båda sidor är det en extrempunkt och om tecknen är lika måste det vara en terrasspunkt. Grafiskt kan man se det som att funktionen byter riktning vid extrempunkter, men inte vid terrasspunkter.

Begrepp

Teckentabell

En teckentabell är ett verktyg för att beskriva en grafs utseende och sambandet med dess derivata. Nedan syns ett exempel på en teckentabell för en funktion, f.f.

xx -2\text{-}2 11
f(x)f'(x) ++ 00 - 00 ++
f(x)f(x) \nearrow Max \searrow Min \nearrow

Tabellen förklarar inte i detalj hur grafen ser ut, men den beskriver de mest utmärkande dragen. I den finns t.ex. information om karaktären hos eventuella stationära punkter och var funktionen växer och avtar. Den här teckentabellen kan exempelvis tillhöra grafen nedan.

Metod

Göra en teckentabell utifrån graf

Grafen visar femtegradsfunktionen f(x).f(x).

Genom att göra en teckentabell till f(x)f(x) enligt följande metod sammanfattar man viktiga egenskaper hos grafen.

Börja med att identifiera för vilket eller vilka xx-värden som grafen har stationära punkter

Ställ sedan upp teckentabellen och fyll i xx-värdena för de stationära punkterna. I dessa punkter är derivatan f(x)f'(x) lika med 0.0. Man anger också vilken karaktär de stationära punkterna har, där Ter. står för terrasspunkt.

xx -2\text{-}2 55 99
f(x)f'(x) 00 00 00
f(x)f(x) \phantom{\nearrow} Max \phantom{\searrow } Ter. \phantom{\searrow } Min \phantom{ \nearrow}

intervallen till vänster och höger om de stationära punkterna är grafen antingen växande eller avtagande.

Tabellens kolumner bredvid xx-värdena representerar dessa intervall. I raden för funktionen f(x)f(x) ritar man pilar som beskriver grafens utseende där, antingen \, \nearrow \, för växande eller \, \searrow \, för avtagande.

xx -2\text{-}2 55 99
f(x)f'(x) 00 00 00
f(x)f(x) \nearrow Max \searrow Ter. \searrow Min \nearrow

Där funktionen ff är växande är derivatan positiv. På motsvarande sätt är derivatan negativ då grafen är avtagande. Detta markeras med ++ respektive - på raden för derivatan f(x),f'(x), och därmed är teckentabellen komplett.

xx s -2\text{-}2 55 99
f(x)f'(x) ++ 00 - 00 - 00 ++
f(x)f(x) \nearrow Max \searrow Ter. \searrow Min \nearrow
Uppgift

Gör en teckentabell till andragradsfunktionen y(x).y(x).

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Gör teckentabeller till graferna.

a


b


c


1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Gör teckentabeller till graferna.

a
b
c
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Teckentabellen beskriver hur funktionen f(x)f(x) beter sig.

xx -2\text{-} 2 11 44
f(x)f'(x) ++ 00 - 00 ++ 00 ++
f(x)f(x) \nearrow Max \searrow Min \nearrow Ter. \nearrow

Vilken av följande grafer beskriver teckentabellen?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Avgör den stationära punktens karaktär.


xx -3\text{-} 3
f(x)f'(x) - 00 ++
f(x)f(x)

</subexercise>

b

Avgör de stationära punkternas karaktär.

xx 00 77
f(x)f'(x) - 00 - 00 ++
f(x)f(x)
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Komplettera teckentabellerna.

a


xx 11
f(x)f'(x) 00 ++
f(x)f(x) \nearrow
b
xx -3\text{-} 3 55
f(x)f'(x) 00 - 00
f(x)f(x) \nearrow \nearrow
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa ett exempel på hur grafen till varje teckentabell skulle kunna se ut.

a


xx 55
f(x)f'(x) ++ 00 -
f(x)f(x) \nearrow Max \searrow
b


xx 00 22
f(x)f'(x) - 00 ++ 00 -
f(x)f(x) \searrow Min \nearrow Max \searrow
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör för vilka intervall funktionerna är växande. Svara med olikheter.

a
xx 33
f(x)f'(x) - 00 ++
f(x)f(x) \searrow Min \nearrow
b
xx -5\text{-}5 -1\text{-}1
g(x)g'(x) ++ 00 - 00 ++
c
xx -4\text{-}4 99
h(x)h'(x) - 00 ++ 00 ++
d
xx 44 1717
q(x)q'(x) - 00 ++ 00 -
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Funktionen f(x)=2x33x2f(x)=2x^3-3x^2 har följande teckentabell. Fyll i teckentabellens översta rad.


xx
f(x)f'(x) ++ 00 - 00 ++
f(x)f(x) \nearrow Max \searrow Min \nearrow
b

Funktionen g(x)=x44x2+5g(x)=x^4-4x^2+5 har följande teckentabell. Fyll i teckentabellens översta rad.


xx
g(x)g'(x) - 00 ++ 00 - 00 ++
g(x)g(x) \searrow Min \nearrow Max \searrow Min \nearrow
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Graferna visar derivatorna till funktionerna f(x)f(x) och g(x).g(x). Gör teckentabeller till funktionerna.

a
b
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Oärliga Olle sitter och sliter sitt hår över matteprovets sista uppgift, som är att göra en teckentabell till en tredjegradsfunktion f.f. Plötsligt ser han att hans kompis Smarta Sara som sitter bredvid honom går från sin plats och glömmer ett kladdpapper som verkar höra till den aktuella uppgiften!

Kladdpapper med information om teckentabell

Han bestämmer sig för att använda denna information för att lösa uppgiften. Om Sara har räknat rätt, hur ser teckentabellen ut?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kan denna teckentabell tillhöra funktionen f(x)=6x545x4+80x3?f(x) = 6 x^5 - 45 x^4 + 80 x^3? Motivera.

xx 00 22 44
f(x)f'(x) ++ 00 - 00 ++ 00 ++
f(x)f(x) \nearrow Max \searrow Min \nearrow Ter. \nearrow
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Teckentabellen tillhör funktionen h(x)=-3x4+8x3+6x224x+3. h(x)=\text{-}3x^4+8x^3+6x^2-24x+3.

xx -1\text{-}1 11 22
h(x)h'(x) ++ 00 - 00 ++ 00 -

Vilket är funktionens största värde?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}