{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Polynom och funktioner

Välj kurs
( Matte 3b , Matte 3c )
Polynom och funktioner
Gränsvärden

Gränsvärden

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Vissa funktioner är odefinierade för specifika xx-värden, vilket gör att man inte kan bestämma funktionsvärdet just där. Exempelvis kan man inte bestämma funktionsvärdet då x=2x=2 för den rationella funktionen f(x)=5xx−2 f(x)=\frac{5x}{x-2}

eftersom nämnaren är lika med 00 då. Men vad händer med funktionsvärdet om man kommer väldigt nära x=2?x=2? Detta är en typ av fråga som man kan besvara med hjälp av så kallade gränsvärden.
Begrepp

Gränsvärde

I koordinatsystemet visas grafen till funktionen f(x)=5−91/x.f(x)=5-9^{1/x}. Om man testar olika xx-värden kan man se att funktionsvärdet verkar närma sig yy-värdet 44 då xx blir större och större.

Man säger att 4 är funktionens gränsvärde när xx går mot oändligheten. Ett gränsvärde anger alltså det yy-värde en funktion närmar sig när xx-värdet går mot ett specifikt tal eller när det går mot positiva oändligheten (∞)(\infty) eller mot negativa oändligheten (-∞).(\text{-} \infty).

Notation
lim⁡x→a f(x)=C\lim \limits_{x \to a} \ f(x) =C

Gränsvärden skrivs med hjälp av lim, en förkortning av det latinska ordet limes (gräns). Nedanför lim skriver man vad xx går mot genom att använda en pil. Därefter skriver man funktionsuttrycket samt vad gränsvärdet är.

gränsvärdet av en funktion när x går mot oändligheten
Begrepp

Gränsvärde för definierade uttryck

Den enklaste sortens gränsvärde är det då funktionen är definierad för det värde som xx går mot. Då kan gränsvärdet beräknas direkt genom en insättning:lim⁡x→1 (x2+x+5)=12+1+5=7. \lim \limits_{x \to 1} \ (x^2+x+5) =1^2+1+5=7. Detta fungerar bara om funktionen är kontinuerlig för det xx-värde som sätts in.

Begrepp

Gränsvärde för odefinierade uttryck

Ofta går insättningen inte att göra direkt pga. att funktionen är odefinierad för det värde som xx går mot. Ett återkommande fall är gränsvärden av rationella funktioner, som t.ex. lim⁡x→2 x2−4x−2. \lim \limits_{x \to 2} \ \frac{x^2-4}{x-2}.

Sätter man in x=2x=2 direkt får man nolldivision. Gränsvärdet måste därför undersökas på andra sätt, t.ex. numeriskt eller genom omskrivningar av uttrycket.
Uppgift

Avgör om följande påståenden om gränsvärden är sanna (S) eller falska (F):
A. Om xx går mot ett specifikt tal är gränsvärdet det yy-värde funktionen närmar sig.
B. Gränsvärde är alltid samma sak som funktionsvärde.
C. "Gränsvärdet för funktionen y=2x−1y=2x-1 när xx går mot 55 är 99" skrivs lim⁡x=5 (2x−1)→9.\displaystyle{\lim\limits_{x=5} \ (2x-1) \to 9}.
D. Om x→∞x \to \infty så är gränsvärdet oändligt stort.
E. Gränsvärden kan användas för att ange vilket värde ett rationellt uttryck går mot för ett givet xx-värde för vilket funktionen ej är definierad.
Lösning

Vi går igenom påståendena ett i taget.

Påstående A

Sant, detta är i princip definitionen av ett gränsvärde.

Påstående B

Falskt. Ett funktionsvärde tillhör alltid en funktions värdemängd. Ett gränsvärde liknar ett funktionsvärde men det tillhör inte nödvändigtvis funktionens värdemängd. Exempelvis är gränsvärdet lim⁡x→∞ (5−91/x)=4,\displaystyle{\lim\limits_{x\to \infty} \ \left(5-9^{1/x}\right) = 4}, men funktionen närmar sig bara detta värde: det kommer aldrig bli 4.4.

Påstående C

Falskt. I påståendet står det att xx ska gå mot 5,5, inte vara lika med 55 som det står i notationen. I notationen står det också att gränsvärdet går mot 9,9, vilket är fel eftersom ett gränsvärde inte är "rörligt" utan alltid lika med någonting. Slutsatsen är alltså att pilen och likhetstecknet ska byta plats, så det istället står lim⁡x→5 (2x−1)=9. \displaystyle{\lim\limits_{x\to 5} \ (2x-1) = 9}.

Påstående D

Falskt. Vi visade exempelvis att gränsvärdet för f(x)=5−91/xf(x)=5-9^{1/x} då x→∞x \to \infty var 4,4, vilket inte är detsamma som oändligheten.

Påstående E

Sant. Istället för att bara konstatera att exempelvis g(x)=x2−4x−2g(x)=\frac{x^2-4}{x-2} är odefinierad för x=2x=2 kan man i vissa fall använda gränsvärden för att ta reda på vad funktionen närmar sig för detta x.x.

Sammanfattning

Vi sammanfattar svaren i en tabell.

Påstående S/F
A. S
B. F
C. F
D. F
E. S
Visa lösning Visa lösning
Förklaring

När existerar inte gränsvärden?

Det finns två olika fall då man säger att gränsvärden saknas, eller inte existerar.

Förklaring

Oegentligt gränsvärde

Det ena är om funktionsvärdet går mot oändligheten (∞)(\infty) eller minus oändligheten (-∞)(\text{-} \infty) för ett visst xx-värde, dvs. om funktionsvärdet blir oändligt stort eller oändligt litet. Detta kallas oegentligt gränsvärde.

Oegentliga gränsvärden
Förklaring

Höger- och vänstergränsvärde är olika

Det andra är om en funktion går mot olika yy-värden för samma xx-värde. För x=5x=5 närmar sig funktionen f(x)f(x) värdet y=1y=1 från vänster, och y=3y=3 om man kommer från höger.

Man säger då att vänstergränsvärdet lim⁡x→5−f(x)\lim \limits_{x \to 5^-}f(x) är 11 och högergränsvärdet lim⁡x→5+f(x)\lim \limits_{x \to 5^+}f(x) är 3.3. Eftersom de är olika innebär det att gränsvärdet inte existerar för f(x)f(x) när x→5.x\to 5.
Metod

Bestämma gränsvärde numeriskt

Att bestämma ett gränsvärde med numerisk metod innebär att man provar sig fram till vad gränsvärdet för en funktion är när den går mot ett specifikt xx-värde. Exempelvis kan gränsvärdet lim⁡x→1 x2+4x−5x−1 \lim\limits_{x\to 1} \ \dfrac{x^2+4x-5}{x-1} bestämmas med denna metod.

1

Gör en tabell för xx-värden som närmar sig från vänster

Funktionen är odefinierad för x=1,x=1, men vi kan bestämma gränsvärdet numeriskt. För att gränsvärdet ska existera måste både vänster- och högergränsvärde existera och vara samma. Man kan börja med vänstergränsvärdet, och väljer då några xx-värden lite mindre än 1.1.

xx 0.90.9 0.990.99 0.9990.999 →1\to 1
x2+4x−5x−1\dfrac{x^2+4x-5}{x-1}

Sedan beräknar man funktionsvärdet för xx-värdena. Första värdet blir 0.92+4⋅0.9−50.9−1=5.900 \dfrac{{\color{#0000FF}{0.9}}^2+4 \cdot {\color{#0000FF}{0.9}}-5}{{\color{#0000FF}{0.9}}-1}= 5.900 och sedan fortsätter man på samma sätt.

xx 0.90.9 0.990.99 0.9990.999 →1\to 1
x2+4x−5x−1\dfrac{x^2+4x-5}{x-1} 5.9005.900 5.9905.990 5.9995.999 →6\to 6

Funktionsvärdet verkar närma sig 6,6, så man kan skriva "går mot 66" i sista kolumnen.

2

Gör en tabell för xx-värden som närmar sig från höger

Sedan gör man samma sak för xx-värden lite större än 1.1.

xx 1.11.1 1.011.01 1.0011.001 →1\to 1
x2+4x−5x−1\dfrac{x^2+4x-5}{x-1} 6.1006.100 6.0106.010 6.0016.001 →6\to 6

3

Bestäm gränsvärdet med hjälp av tabellerna

Både höger- och vänstergränsvärdet verkar vara 66 så det är rimligt att anta att detta är funktionens gränsvärde när xx går mot 11, dvs. lim⁡x→1 x2+4x−5x−1=6. \lim\limits_{x\to 1} \ \dfrac{x^2+4x-5}{x-1}=6.

Metod

Bestämma gränsvärde när xx går mot ett tal

En vanlig algebraisk metod för att bestämma ett gränsvärde är att förenkla funktionsuttrycket så att man kan "sätta in" värdet på x.x. Man kan exempelvis bestämma gränsvärdet lim⁡x→2 x2−4x−2 \lim\limits_{x\to 2} \ \dfrac{x^2 -4}{x-2} med denna metod.

1

Kontrollera vad som händer om xx sätts in

Börja med att fundera över vad som skulle hända om x=2x=2 sätts in i funktionsuttrycket. Ibland kan gränsvärdet nämligen beräknas direkt, utan förenkling. I det här fallet blir dock nämnaren 00 om x=2,x=2, så denna insättning är inte tillåten eftersom man då får nolldivision.

2

Förenkla funktionsuttrycket

Genom att förenkla funktionsuttrycket kan man förhoppningsvis få något där uttrycket inte blir odefinierat när xx är 2.2. Här kan täljaren faktoriseras med konjugatregeln. Då ser man att faktorn (x−2)(x-2) kommer att kunna förkortas bort.

lim⁡x→2 x2−4x−2\lim \limits_{x \to 2} \ \dfrac{x^2 -4}{x-2}
Skriv som potens
lim⁡x→2 x2−22x−2\lim \limits_{x \to 2} \ \dfrac{x^2 -2^2}{x-2}
Faktorisera med konjugatregeln
lim⁡x→2 (x+2)(x−2)x−2\lim \limits_{x \to 2} \ \dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2}
Förkorta med (x−2)(x-2)
lim⁡x→2 (x+2)\lim \limits_{x \to 2} \ (x+2)

Nu är uttrycket förenklat så långt som möjligt och nämnaren har förkortats bort, vilket var målet.

3

Sätt in xx-värdet

Slutligen låter man xx gå mot talet i fråga, i det här fallet 2.2. Detta steg skrivs "x→2x\rightarrow 2" och innebär rent praktiskt att man plockar bort "lim⁡x→2\lim \limits_{x \to 2}" samt byter ut alla xx i funktionsuttrycket mot 2.2.

lim⁡x→2 (x+2)\lim \limits_{x \to 2} \ (x+2)
x→2x \to 2
2+22+2
Förenkla termer
44

Gränsvärdet för x2−4x−2\frac{x^2 -4}{x-2} då x→2x \to 2 är alltså 4.4.

Metod

Bestämma gränsvärde när xx går mot oändligheten

Ett sätt att beräkna gränsvärden för rationella funktioner bygger på principen att division med en stor nämnare ger en kvot som ligger väldigt nära 00. T.ex. är 1100000000000000=0.00000000000001. \frac{1}{100\,000\,000\,000\,000}=0.00000000000001. När ett bråks nämnare går mot oändligheten kommer därför bråkets värde att gå mot 0.0. Man kan t.ex. använda detta för att bestämma gränsvärdet lim⁡x→∞ x2+52x2−3x. \lim\limits_{x\to \infty} \ \frac{x^2+5}{2x^2-3x}.

1

Förkorta med termen av högst grad
Syftet med detta steg är att skriva om termerna med högst grad till konstanter och övriga termer på formen ax,ax2,ax3,osv. \dfrac{a}{x}, \quad \dfrac{a}{x^2}, \quad \dfrac{a}{x^3}, \quad \text{osv.} Dessa termer kommer då, enligt principen ovan, närma sig 00 när xx går mot oändligheten. Ett sätt att få till detta är att förkorta med termen som har högst grad. Här är polynomen i både täljare och nämnare andragradspolynom, så det är x2x^2 man ska förkorta med.
lim⁡x→∞ x2+52x2−3x\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{x^2+5}{2x^2-3x}
Förkorta med x2x^2
lim⁡x→∞ (x2+5)/x2(2x2−3x)/x2\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{\left(x^2+5\right)/x^2}{\left(2x^2-3x\right)/x^2}
Dela upp bråk
lim⁡x→∞ x2x2+5x22x2x2−3xx2\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{5}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}-\frac{3x}{x^2}}
Förenkla kvot
lim⁡x→∞ 1+5x22−3x\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{1+\frac{5}{x^2}}{2-\frac{3}{x}}


2

Låt xx gå mot oändligheten

När xx går mot oändligheten kommer nämnarna x2x^2 och xx att bli mycket stora, dvs. värdet på 5x2\frac{5}{x^2} och 3x\frac{3}{x} kommer hamna nära 00 precis som i det inledande exemplet. Båda bråken går alltså mot 00 då x→∞.x \to \infty. 

lim⁡x→∞ 1+5x22−3x\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{1 +\frac{5}{x^2}}{2-\frac{3}{x}}
x→∞x \to \infty
1+02−0\dfrac{1+0}{2-0}
Förenkla termer
12\dfrac{1}{2}

Gränsvärdet för x2+52x2−3x\frac{x^2+5}{2x^2-3x} då x→∞x \to \infty är alltså 12.\frac{1}{2}.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm gränsvärdet.


a

lim⁡x→5 (2x+7)\lim\limits_{x \to 5}\ (2x+7)

b

lim⁡x→2(9−x2)\lim\limits_{x \to 2}\left(9-x^2\right)

c

lim⁡x→101x\lim\limits_{x \to 10}\dfrac{1}{x}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm gränsvärdena.

a

lim⁡x→7 (x−7)\lim\limits_{x \to 7}\ (x-7)

b

lim⁡x→-2x5\lim\limits_{x \to \, \text{-} 2}\dfrac{x}{5}

c

lim⁡x→12(x2x+2)\lim\limits_{x \to 12} \left(\dfrac{x^2}{x}+2\right)

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna gränsvärdena.


a

lim⁡x→1 (7+x)\lim\limits_{x\to 1} \ (7+x)

b

lim⁡x→0 (2x−16)\lim\limits_{x\to 0} \ (2x-16)

c

lim⁡x→0 4x2x\lim\limits_{x\to 0} \ \dfrac{4x^2}{x}

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm gränsvärdena genom att först förenkla de rationella uttrycken.


a

lim⁡a→0a2+aa\lim\limits_{a \to 0}\dfrac{a^2+a}{a}

b

lim⁡h→1(1−h)31−h\lim\limits_{h \to 1}\dfrac{(1-h)^3}{1-h}

c

lim⁡x→3x2−9x−3\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2-9}{x-3}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm gränsvärdena genom att först förenkla de rationella uttrycken.

a

lim⁡x→2x2−4x−2\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}

b

lim⁡x→-6x2+12x+36x+6\lim\limits_{x\to \text{-}6}\dfrac{x^2 + 12x + 36}{x+6}

c

lim⁡x→4-16+x2-4+x\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{\text{-}16+x^2}{\text{-}4+x}

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm gränsvärdena genom att först förenkla de rationella uttrycken.

a

lim⁡x→-50(x+50)3(x+50)2\lim\limits_{x\to \text{-}50}\dfrac{(x+50)^3}{(x+50)^2}

b

lim⁡x→5x2−2510+x−15\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{x^2-25}{10+x-15}

c

lim⁡x→-4x2+8x+16x+4\lim\limits_{x\to \text{-}4}\dfrac{x^2+8x+16}{x+4}

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm gränsvärdena numeriskt.

a

lim⁡x→2x3−2x2+4x−8x−2\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^3 - 2 x^2 + 4 x -8}{x-2}

b

lim⁡x→-3x3+9x2+27x+27x+3\lim\limits_{x\to \text{-}3}\dfrac{x^3+9x^2+27x+27}{x+3}

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita grafen till funktionen f(x)=72x−6f(x)=\dfrac{7}{2x-6} med din grafräknare.


a

Bestäm vänstergränsvärdet lim⁡x→3− 72x−6.\lim \limits_{x \to 3^-} \ \dfrac{7}{2x-6}.

b

Bestäm högergränsvärdet lim⁡x→3+ 72x−6.\lim \limits_{x \to 3^+} \ \dfrac{7}{2x-6}.

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm följande gränsvärden.

a

lim⁡h→∞(7h+8)\lim\limits_{h\to \, \infty}\left(\dfrac{7}{h}+8\right)

b

lim⁡x→∞9+xx\lim\limits_{x\to \, \infty}\dfrac{9+x}{x}

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm gränsvärdena

a

lim⁡x→5 3x2−30x+75x2−25\lim\limits_{x\to 5} \ \dfrac{3x^2-30x+75}{x^2-25}

b

lim⁡x→2 x4−4x2x3−2x2\lim\limits_{x\to 2} \ \dfrac{x^4-4x^2}{x^3-2x^2}

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm följande gränsvärden.


a

lim⁡x→∞ 7x3−15x3+9x2\displaystyle{\lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{7x^3-15}{x^3+9x^2}}

b

lim⁡x→∞ 4x5+2x3+18x4−2x5\displaystyle{\lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{4x^5+2x^3+1}{8x^4-2x^5}}

c

lim⁡x→∞ 5x9+12x9−1\displaystyle{\lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{5x^9+1}{2x^9-1}}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm gränsvärdena.

a

lim⁡c→8 (cx+9)\lim\limits_{c\to8}\ (cx+9)

b

lim⁡h→0hhx(x+h)\lim\limits_{h\to0}\dfrac{h}{hx(x+h)}

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Iro stänger av ugnen i sitt kök efter att hon bakat sockerkaka. Temperaturen TT i ugnen efter xx timmar beskrivs av funktionen T(x)=151⋅0.28x+24.T(x)=151\cdot0.28^x+24. Bestäm och tolka gränsvärdet lim⁡x→∞T(x). \lim\limits_{x \to \infty}T(x).

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förklara varför gränsvärdet lim⁡x→0 1x\lim\limits_{x \to 0} \ \dfrac{1}{x} inte existerar.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm gränsvärdet numeriskt: lim⁡x→0(1+xx2−1−xx2). \lim\limits_{x\to 0}\left(\sqrt{\dfrac{1+x}{x^2}}-\sqrt{\dfrac{1-x}{x^2}}\right).

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Isaac vill bestämma lutningen för funktionen f(x)=x2f(x)=x^2 i punkten A=(1,1)A=(1,1) som ligger på kurvan. Han vet inte hur man gör det, men han vet hur man beräknar lutningen för en rät linje. Därför väljer han en annan punkt på kurvan nära AA för att uppskatta lutningen.


a

Ställ upp ett uttryck för kk-värdet för den räta linje som passerar igenom både AA och BB.

b

Isaac kommer på att han kan få ett mer exakt svar med ett gränsvärde! Han tänker krympa avståndet Δx\Delta x tills det blir väldigt litet. Detta genom att låta xx-värdet för punkt B,B, dvs. a,a, närma sig 1.1.


Ställ upp ett gränsvärde som beskriver linjens kk-värde i punkten (1,1).(1,1).

c

Bestäm linjens kk-värde genom att beräkna gränsvärdet.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm gränsvärdet. lim⁡x→∞(8x7+32(5−4x7))666 \lim\limits_{x\to \infty}\left(\dfrac{8x^{7}+3}{2\left(5-4x^{7}\right)}\right)^{666}

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ge ett exempel på en funktion, f(x),f(x), som är odefinierad för x=-4x=\text{-}4 och där lim⁡x→-4f(x)=8. \lim\limits_{x\to \text{-}4}f(x)=8.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen f(x)={x3+x2+1,x≠-10.5,x=-1, f(x) = \begin{cases} x^3+x^2+1, & x \neq \text{-}1 \\ 0.5, & x=\text{-}1, \end{cases}

a

bestäm f(-1).f(\text{-}1).

b

bestäm lim⁡x→-1f(x).\lim\limits_{x\to \text{-}1} f(x).

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm gränsvärdena lim⁡x→∞f(x)ochlim⁡x→-∞f(x), \lim\limits_{x\to \infty} f(x) \quad \text{och} \quad \lim\limits_{x\to \text{-}\infty} f(x), för en exponentialfunktion f(x)=C⋅axf(x)=C\cdot a^x om:

a

0<a<10<a<1

a

a>1.a>1.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är definitionsmängden för funktionen f(a)=lim⁡x→ax2−a2x−a? f(a) = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{x^2 - a^2}{x - a}?

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm

a

lim⁡x→0(ex+7).\lim\limits_{x\to 0} \left(e^x+7\right).

b

lim⁡x→∞16x4x+9.\lim\limits_{x\to \infty} \sqrt{\dfrac{16x}{4x+9}}.

Nationella provet HT12 3b/3c
 Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}