Vissa funktioner är odefinierade för specifika x-värden, vilket gör att man inte kan bestämma funktionsvärdet just där. Exempelvis kan man inte bestämma funktionsvärdet då x=2 för den rationella funktionen f(x)=x−25x
eftersom nämnaren är lika med 0 då. Men vad händer med funktionsvärdet om man kommer väldigt nära x=2? Detta är en typ av fråga som man kan besvara med hjälp av så kallade gränsvärden.I koordinatsystemet visas grafen till funktionen f(x)=5−91/x. Om man testar olika x-värden kan man se att funktionsvärdet verkar närma sig y-värdet 4 då x blir större och större.
Man säger att 4 är funktionens gränsvärde när x går mot oändligheten. Ett gränsvärde anger alltså det y-värde en funktion närmar sig när x-värdet går mot ett specifikt tal eller när det går mot positiva oändligheten (∞) eller mot negativa oändligheten (-∞).
Gränsvärden skrivs med hjälp av lim, en förkortning av det latinska ordet limes (gräns). Nedanför lim skriver man vad x går mot genom att använda en pil. Därefter skriver man funktionsuttrycket samt vad gränsvärdet är.
Den enklaste sortens gränsvärde är det då funktionen är definierad för det värde som x går mot. Då kan gränsvärdet beräknas direkt genom en insättning:x→1lim (x2+x+5)=12+1+5=7. Detta fungerar bara om funktionen är kontinuerlig för det x-värde som sätts in.
Ofta går insättningen inte att göra direkt pga. att funktionen är odefinierad för det värde som x går mot. Ett återkommande fall är gränsvärden av rationella funktioner, som t.ex. x→2lim x−2x2−4.
Sätter man in x=2 direkt får man nolldivision. Gränsvärdet måste därför undersökas på andra sätt, t.ex. numeriskt eller genom omskrivningar av uttrycket.Avgör om följande påståenden om gränsvärden är sanna (S) eller falska (F):
A. Om x går mot ett specifikt tal är gränsvärdet det y-värde funktionen närmar sig.
B. Gränsvärde är alltid samma sak som funktionsvärde.
C. "Gränsvärdet för funktionen y=2x−1 när x går mot 5 är 9" skrivs x=5lim (2x−1)→9.
D. Om x→∞ så är gränsvärdet oändligt stort.
E. Gränsvärden kan användas för att ange vilket värde ett rationellt uttryck går mot för ett givet x-värde för vilket funktionen ej är definierad.
Vi går igenom påståendena ett i taget.
Sant, detta är i princip definitionen av ett gränsvärde.
Falskt. Ett funktionsvärde tillhör alltid en funktions värdemängd. Ett gränsvärde liknar ett funktionsvärde men det tillhör inte nödvändigtvis funktionens värdemängd. Exempelvis är gränsvärdet x→∞lim (5−91/x)=4, men funktionen närmar sig bara detta värde: det kommer aldrig bli 4.
Falskt. I påståendet står det att x ska gå mot 5, inte vara lika med 5 som det står i notationen. I notationen står det också att gränsvärdet går mot 9, vilket är fel eftersom ett gränsvärde inte är "rörligt" utan alltid lika med någonting. Slutsatsen är alltså att pilen och likhetstecknet ska byta plats, så det istället står x→5lim (2x−1)=9.
Falskt. Vi visade exempelvis att gränsvärdet för f(x)=5−91/x då x→∞ var 4, vilket inte är detsamma som oändligheten.
Sant. Istället för att bara konstatera att exempelvis g(x)=x−2x2−4 är odefinierad för x=2 kan man i vissa fall använda gränsvärden för att ta reda på vad funktionen närmar sig för detta x.
Vi sammanfattar svaren i en tabell.
Påstående | S/F |
---|---|
A. | S |
B. | F |
C. | F |
D. | F |
E. | S |
Det finns två olika fall då man säger att gränsvärden saknas, eller inte existerar.
Det ena är om funktionsvärdet går mot oändligheten (∞) eller minus oändligheten (-∞) för ett visst x-värde, dvs. om funktionsvärdet blir oändligt stort eller oändligt litet. Detta kallas oegentligt gränsvärde.
Det andra är om en funktion går mot olika y-värden för samma x-värde. För x=5 närmar sig funktionen f(x) värdet y=1 från vänster, och y=3 om man kommer från höger.
Att bestämma ett gränsvärde med numerisk metod innebär att man provar sig fram till vad gränsvärdet för en funktion är när den går mot ett specifikt x-värde. Exempelvis kan gränsvärdet x→1lim x−1x2+4x−5 bestämmas med denna metod.
Funktionen är odefinierad för x=1, men vi kan bestämma gränsvärdet numeriskt. För att gränsvärdet ska existera måste både vänster- och högergränsvärde existera och vara samma. Man kan börja med vänstergränsvärdet, och väljer då några x-värden lite mindre än 1.
x | 0.9 | 0.99 | 0.999 | →1 |
---|---|---|---|---|
x−1x2+4x−5 |
Sedan beräknar man funktionsvärdet för x-värdena. Första värdet blir 0.9−10.92+4⋅0.9−5=5.900 och sedan fortsätter man på samma sätt.
x | 0.9 | 0.99 | 0.999 | →1 |
---|---|---|---|---|
x−1x2+4x−5 | 5.900 | 5.990 | 5.999 | →6 |
Funktionsvärdet verkar närma sig 6, så man kan skriva "går mot 6" i sista kolumnen.
Sedan gör man samma sak för x-värden lite större än 1.
x | 1.1 | 1.01 | 1.001 | →1 |
---|---|---|---|---|
x−1x2+4x−5 | 6.100 | 6.010 | 6.001 | →6 |
Både höger- och vänstergränsvärdet verkar vara 6 så det är rimligt att anta att detta är funktionens gränsvärde när x går mot 1, dvs. x→1lim x−1x2+4x−5=6.
Börja med att fundera över vad som skulle hända om x=2 sätts in i funktionsuttrycket. Ibland kan gränsvärdet nämligen beräknas direkt, utan förenkling. I det här fallet blir dock nämnaren 0 om x=2, så denna insättning är inte tillåten eftersom man då får nolldivision.
Genom att förenkla funktionsuttrycket kan man förhoppningsvis få något där uttrycket inte blir odefinierat när x är 2. Här kan täljaren faktoriseras med konjugatregeln. Då ser man att faktorn (x−2) kommer att kunna förkortas bort.
Nu är uttrycket förenklat så långt som möjligt och nämnaren har förkortats bort, vilket var målet.
När x går mot oändligheten kommer nämnarna x2 och x att bli mycket stora, dvs. värdet på x25 och x3 kommer hamna nära 0 precis som i det inledande exemplet. Båda bråken går alltså mot 0 då x→∞.
Gränsvärdet för 2x2−3xx2+5 då x→∞ är alltså 21.