Gränsvärden

Vissa funktioner är odefinierade för specifika $x$ -värden, vilket gör att man inte kan bestämma funktionsvärdet just där. Exempelvis kan man inte bestämma funktionsvärdet då $x = 2$ för den rationella funktionen $f (x) = \frac{5 x}{x - 2}$

eftersom nämnaren är lika med

0

då. Men vad händer med funktionsvärdet om man kommer väldigt nära

x = 2 ?

Detta är en typ av fråga som man kan besvara med hjälp av så kallade gränsvärden.

Begrepp

Gränsvärde

I koordinatsystemet visas grafen till funktionen $f (x) = 5 - 9^{1 / x} .$ Om man testar olika $x$ -värden kan man se att funktionsvärdet verkar närma sig $y$ -värdet $4$ då $x$ blir större och större.

Man säger att 4 är funktionens gränsvärde när $x$ går mot oändligheten. Ett gränsvärde anger alltså det $y$ -värde en funktion närmar sig när $x$ -värdet går mot ett specifikt tal eller när det går mot positiva oändligheten $(\infty)$ eller mot negativa oändligheten $(- \infty) .$

Notation

x \to a lim f (x) = C

Gränsvärden skrivs med hjälp av lim, en förkortning av det latinska ordet limes (gräns). Nedanför lim skriver man vad $x$ går mot genom att använda en pil. Därefter skriver man funktionsuttrycket samt vad gränsvärdet är.

Begrepp

Gränsvärde för definierade uttryck

Den enklaste sortens gränsvärde är det då funktionen är definierad för det värde som

x

går mot. Då kan gränsvärdet beräknas direkt genom en insättning:

x \to 1 lim (x^{2} + x + 5) = 1^{2} + 1 + 5 = 7 .

Detta fungerar bara om funktionen är kontinuerlig för det

x

-värde som sätts in.

Begrepp

Gränsvärde för odefinierade uttryck

Ofta går insättningen inte att göra direkt pga. att funktionen är odefinierad för det värde som

x

går mot. Ett återkommande fall är gränsvärden av rationella funktioner, som t.ex.

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} .

Sätter man in

x = 2

direkt får man nolldivision. Gränsvärdet måste därför undersökas på andra sätt, t.ex. numeriskt eller genom omskrivningar av uttrycket.

Vad är sant och vad är falskt om gränsvärden?

fullscreen

Uppgift

Avgör om följande påståenden om gränsvärden är sanna (S) eller falska (F):
A. Om $x$ går mot ett specifikt tal är gränsvärdet det $y$ -värde funktionen närmar sig.
B. Gränsvärde är alltid samma sak som funktionsvärde.
C. "Gränsvärdet för funktionen $y = 2 x - 1$ när $x$ går mot $5$ är $9$ " skrivs $x = 5 lim (2 x - 1) \to 9 .$
D. Om $x \to \infty$ så är gränsvärdet oändligt stort.
E. Gränsvärden kan användas för att ange vilket värde ett rationellt uttryck går mot för ett givet $x$ -värde för vilket funktionen ej är definierad.

Visa Lösning

Lösning

Vi går igenom påståendena ett i taget.

Påstående A

Sant, detta är i princip definitionen av ett gränsvärde.

Påstående B

Falskt. Ett funktionsvärde tillhör alltid en funktions värdemängd. Ett gränsvärde liknar ett funktionsvärde men det tillhör inte nödvändigtvis funktionens värdemängd. Exempelvis är gränsvärdet $x \to \infty lim (5 - 9^{1 / x}) = 4,$ men funktionen närmar sig bara detta värde: det kommer aldrig bli $4 .$

Påstående C

Falskt. I påståendet står det att $x$ ska gå mot $5,$ inte vara lika med $5$ som det står i notationen. I notationen står det också att gränsvärdet går mot $9,$ vilket är fel eftersom ett gränsvärde inte är "rörligt" utan alltid lika med någonting. Slutsatsen är alltså att pilen och likhetstecknet ska byta plats, så det istället står $x \to 5 lim (2 x - 1) = 9 .$

Påstående D

Falskt. Vi visade exempelvis att gränsvärdet för $f (x) = 5 - 9^{1 / x}$ då $x \to \infty$ var $4,$ vilket inte är detsamma som oändligheten.

Påstående E

Sant. Istället för att bara konstatera att exempelvis $g (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ är odefinierad för $x = 2$ kan man i vissa fall använda gränsvärden för att ta reda på vad funktionen närmar sig för detta $x .$

Sammanfattning

Vi sammanfattar svaren i en tabell.

Påstående	S/F
A.	S
B.	F
C.	F
D.	F
E.	S

Förklaring

När existerar inte gränsvärden?

Det finns två olika fall då man säger att gränsvärden saknas, eller inte existerar.

Förklaring

Oegentligt gränsvärde

Det ena är om funktionsvärdet går mot oändligheten

(\infty)

eller minus oändligheten

(- \infty)

för ett visst

x

-värde, dvs. om funktionsvärdet blir oändligt stort eller oändligt litet. Detta kallas oegentligt gränsvärde.

Förklaring

Höger- och vänstergränsvärde är olika

Det andra är om en funktion går mot olika

y

-värden för samma

x

-värde. För

x = 5

närmar sig funktionen

f (x)

värdet

y = 1

från vänster, och

y = 3

om man kommer från höger.

Man säger då att vänstergränsvärdet

x \to 5^{-} lim f (x)

är

1

och högergränsvärdet

x \to 5^{+} lim f (x)

är

3 .

Eftersom de är olika innebär det att gränsvärdet inte existerar för

f (x)

när

x \to 5 .

Metod

Bestämma gränsvärde numeriskt

Att bestämma ett gränsvärde med numerisk metod innebär att man provar sig fram till vad gränsvärdet för en funktion är när den går mot ett specifikt $x$ -värde. Exempelvis kan gränsvärdet $x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 4 x - 5}{x - 1}$ bestämmas med denna metod.

1

Gör en tabell för

x

-värden som närmar sig från vänster

Funktionen är odefinierad för $x = 1,$ men vi kan bestämma gränsvärdet numeriskt. För att gränsvärdet ska existera måste både vänster- och högergränsvärde existera och vara samma. Man kan börja med vänstergränsvärdet, och väljer då några $x$ -värden lite mindre än $1 .$

$x$	$0.9$	$0.99$	$0.999$	$\to 1$
$\frac{x ^{2} + 4 x - 5}{x - 1}$

Sedan beräknar man funktionsvärdet för $x$ -värdena. Första värdet blir $\frac{0 . 9 ^{2} + 4 \cdot 0 . 9 - 5}{0 . 9 - 1} = 5.900$ och sedan fortsätter man på samma sätt.

$x$	$0.9$	$0.99$	$0.999$	$\to 1$
$\frac{x ^{2} + 4 x - 5}{x - 1}$	$5.900$	$5.990$	$5.999$	$\to 6$

Funktionsvärdet verkar närma sig $6,$ så man kan skriva "går mot $6$ " i sista kolumnen.

2

Gör en tabell för

x

-värden som närmar sig från höger

Sedan gör man samma sak för $x$ -värden lite större än $1 .$

$x$	$1.1$	$1.01$	$1.001$	$\to 1$
$\frac{x ^{2} + 4 x - 5}{x - 1}$	$6.100$	$6.010$	$6.001$	$\to 6$

3

Bestäm gränsvärdet med hjälp av tabellerna

Både höger- och vänstergränsvärdet verkar vara $6$ så det är rimligt att anta att detta är funktionens gränsvärde när $x$ går mot $1$ , dvs. $x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 4 x - 5}{x - 1} = 6 .$

Metod

Bestämma gränsvärde när $x$ går mot ett tal

En vanlig algebraisk metod för att bestämma ett gränsvärde är att förenkla funktionsuttrycket så att man kan "sätta in" värdet på

x .

Man kan exempelvis bestämma gränsvärdet

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

med denna metod.

1

Kontrollera vad som händer om

x

sätts in

Börja med att fundera över vad som skulle hända om $x = 2$ sätts in i funktionsuttrycket. Ibland kan gränsvärdet nämligen beräknas direkt, utan förenkling. I det här fallet blir dock nämnaren $0$ om $x = 2,$ så denna insättning är inte tillåten eftersom man då får nolldivision.

2

Förenkla funktionsuttrycket

Genom att förenkla funktionsuttrycket kan man förhoppningsvis få något där uttrycket inte blir odefinierat när $x$ är $2 .$ Här kan täljaren faktoriseras med konjugatregeln. Då ser man att faktorn $(x - 2)$ kommer att kunna förkortas bort.

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

WritePow

Skriv som potens

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 2 ^{2}}{x - 2}

FacDiffSquares

Faktorisera med konjugatregeln

x \to 2 lim \frac{( x + 2 ) ( x - 2 )}{x - 2}

ReduceFrac

Förkorta med $(x - 2)$

x \to 2 lim (x + 2)

Nu är uttrycket förenklat så långt som möjligt och nämnaren har förkortats bort, vilket var målet.

3

Sätt in

x

-värdet

Slutligen låter man $x$ gå mot talet i fråga, i det här fallet $2 .$ Detta steg skrivs " $x \to 2$ " och innebär rent praktiskt att man plockar bort " $x \to 2 lim$ " samt byter ut alla $x$ i funktionsuttrycket mot $2 .$

x \to 2 lim (x + 2)

To

$x \to 2$

2 + 2

AddTerms

Förenkla termer

4

Gränsvärdet för $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ då $x \to 2$ är alltså $4 .$

Metod

Bestämma gränsvärde när $x$ går mot oändligheten

Ett sätt att beräkna gränsvärden för rationella funktioner bygger på principen att division med en stor nämnare ger en kvot som ligger väldigt nära

0

. T.ex. är

\frac{1}{1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0} = 0.00000000000001 .

När ett bråks nämnare går mot oändligheten kommer därför bråkets värde att gå mot

0 .

Man kan t.ex. använda detta för att bestämma gränsvärdet

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + 5}{2 x ^{2} - 3 x} .

1

Förkorta med termen av högst grad

Syftet med detta steg är att skriva om termerna med högst grad till konstanter och övriga termer på formen

\frac{a}{x}, \frac{a}{x ^{2}}, \frac{a}{x ^{3}}, osv .

Dessa termer kommer då, enligt principen ovan, närma sig

0

när

x

går mot oändligheten. Ett sätt att få till detta är att förkorta med termen som har högst grad. Här är polynomen i både täljare och nämnare andragradspolynom, så det är

x^{2}

man ska förkorta med.

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + 5}{2 x ^{2} - 3 x}

ReduceFrac

Förkorta med $x^{2}$

x \to \infty lim \frac{( x ^{2} + 5 ) / x ^{2}}{( 2 x ^{2} - 3 x ) / x ^{2}}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

x \to \infty lim \frac{\frac{x ^{2}}{x ^{2}} + \frac{5}{x ^{2}}}{\frac{2 x ^{2}}{x ^{2}} - \frac{3 x}{x ^{2}}}

SimpQuot

Förenkla kvot

x \to \infty lim \frac{1 + \frac{5}{x ^{2}}}{2 - \frac{3}{x}}

2

Låt

x

gå mot oändligheten

När $x$ går mot oändligheten kommer nämnarna $x^{2}$ och $x$ att bli mycket stora, dvs. värdet på $\frac{5}{x ^{2}}$ och $\frac{3}{x}$ kommer hamna nära $0$ precis som i det inledande exemplet. Båda bråken går alltså mot $0$ då $x \to \infty .$

 $x \to \infty lim \frac{1 + \frac{5}{x ^{2}}}{2 - \frac{3}{x}}$ 
To $x \to \infty$ 
 $\frac{1 + 0}{2 - 0}$ 
AddSubTermsFörenkla termer
 $\frac{1}{2}$

Gränsvärdet för $\frac{x ^{2} + 5}{2 x ^{2} - 3 x}$ då $x \to \infty$ är alltså $\frac{1}{2} .$