Globala extremvärden

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

För att bestämma en funktions globala extremvärden, dvs. funktionens största och minsta värden, måste man känna till dess extrempunkter. Vissa av dem kan hittas genom att derivatan sätts lika med 00, men om funktionen är definierad på ett intervall måste man även ta hänsyn till dess ingående ändpunkter. Dessa är också extrempunkter men eftersom derivatan inte är 00 där undersöks de separat.
Begrepp

Funktioner på intervall

Funktioner är ibland definierade på intervall, dvs. endast för vissa xx-värden. Det kan t.ex. bero på att

  • funktionens definitionsmängd är ett intervall eller
  • att det finns praktiska begränsningar som gör det orimligt att använda vissa xx-värden.

Det sistnämnda är exempelvis fallet om man låter funktionen A=πr2A=\pi r^2 beskriva arean AA m2^2 av en matta med radien rr meter på en rund scen som har radien 1010 m. De möjliga värdena på mattans radie är då 0<r10, 0 < r \leq 10, eftersom radien måste ha en positiv längd och inte heller får överstiga scenens.

Begrepp

Extremvärde i ändpunkt

För en funktion som är definierad på ett intervall kommer de ändpunkter som ingår i intervallet att vara lokala extrempunkter. Exempelvis är den högra ändpunkten nedan ett lokalt maximum eftersom närliggande punkter på grafen ligger under punkten.

På motsvarande sätt är den vänstra ändpunkten ett lokalt minimum. I det här fallet är den även ett globalt minimum eftersom punkten är lägre än alla andra punkter på grafen.
Uppgift

Bestäm ändpunkternas koordinater för tredjegradsfunktionen f(x)=8xx3 f(x)=8x - x^3 på intervallet -1x3.\text{-} 1\leq x\leq 3.

Lösning

Funktionens ändpunkter avgörs av de yttre gränserna på intervallet där den är definierad. Eftersom intervallet är -1x3\text{-} 1\leq x\leq 3 sätter vi in xx-värdena -1\text{-}1 respektive 33 i funktionen och beräknar motsvarande funktionsvärden.

f(x)=8xx3f(x)=8x - x^3
f(-1)=8(-1)(-1)3f({\color{#0000FF}{\text{-}1}})=8({\color{#0000FF}{\text{-}1}}) - ({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^3
f(-1)=-8(-1)f(\text{-}1)=\text{-}8 - (\text{-}1)
f(-1)=-8+1f(\text{-}1)=\text{-}8 + 1
f(-1)=-7f(\text{-}1)=\text{-}7
Den vänstra ändpunkten är alltså (-1,-7).(\text{-}1,\text{-}7). Nu sätter vi även in x=3x=3 i funktionen.
f(x)=8xx3f(x)=8x - x^3
f(3)=8333f({\color{#0000FF}{3}})=8\cdot{\color{#0000FF}{3}}- {\color{#0000FF}{3}}^3
f(3)=2427f(3)=24-27
f(3)=-3f(3)=\text{-}3
De två ändpunkterna är (-1,-7)(\text{-}1,\text{-}7) och (3,-3).(3,\text{-}3).
Visa lösning Visa lösning
Metod

Bestämma en funktions största och minsta värde på ett slutet intervall

Med största och minsta värde för en funktion menar man yy-värdena i funktionens globala extrempunkter (om det finns några), vilka även kallas för funktionens globala extremvärden. För en funktion med sammanhängande graf på ett slutet intervall antas största och minsta värde antingen i

så länge de inte är terrasspunkter. Genom att välja ut det största och minsta yy-värdet från dessa punkter får man fram funktionens globala extremvärden. Man kan t.ex. göra detta för funktionen f(x)=2x3+3x212xf(x)=2x^3+3x^2-12x på intervallet -3x3\text{-}3 \leq x \leq 3.

1

Bestäm ändpunkternas yy-värden

Funktionen har sina ändpunkter i början och slutet av intervallet, i detta fall där x=-3x=\text{-}3 och x=3.x=3. Man bestämmer ändpunkternas yy-värden genom att sätta in dessa xx-värden i funktionsuttrycket.

f(x)=2x3+3x212xf(x)=2x^3+3x^2-12x
f(-3)=2(-3)3+3(-3)212(-3)f({\color{#0000FF}{\text{-}3}})=2({\color{#0000FF}{\text{-}3}})^3+3({\color{#0000FF}{\text{-}3}})^2-12({\color{#0000FF}{\text{-}3}})
f(-3)=2(-27)+3912(-3)f(\text{-}3)=2(\text{-}27)+3\cdot 9-12(\text{-}3)
f(-3)=-54+27+36f(\text{-}3)=\text{-}54+27+36
f(-3)=9f(\text{-}3)=9

Den vänstra ändpunkten har yy-värdet 9.9.

f(x)=2x3+3x212xf(x)=2x^3+3x^2-12x
f(3)=233+332123f({\color{#0000FF}{3}})=2\cdot {\color{#0000FF}{3}}^3+3\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2-12\cdot {\color{#0000FF}{3}}
f(3)=227+39123f(3)=2\cdot 27 + 3\cdot 9 -12 \cdot 3
f(3)=54+2736f(3)=54 + 27 - 36
f(3)=45f(3)=45

Den högra ändpunkten har yy-värdet 45.45.

2

Bestäm stationära punkters yy-värden på intervallet

Funktionens stationära punkter kan man hitta med derivata och teckentabell eller med andraderivata. Om det inte efterfrågas behöver man dock inte bestämma deras karaktär och utesluta eventuella terrasspunkter, eftersom en terrasspunkt ändå aldrig antar något av funktionens extremvärden.

  • Derivera funktionen: I det här fallet är derivatan f(x)=6x2+6x12.f'(x)=6x^2+6x-12.
  • Bestäm derivatans nollställen: Här får man ekvationen 6x2+6x12=0,6x^2+6x-12=0, vilken har lösningarna x=-2x=\text{-}2 och x=1.x=1.
  • Kontrollera att de ligger på intervallet: Båda de stationära punkterna ligger på intervallet -3x3.\text{-}3 \leq x \leq 3.
  • Bestäm deras yy-värden: Sätter man in x=-2x=\text{-}2 och x=1x=1 i funktionsuttrycket f(x)=2x3+3x212xf(x)=2x^3+3x^2-12x får man

f(-2)=20ochf(1)=-7, f(\text{-}2)=20 \quad \text{och} \quad f(1)=\text{-}7, dvs. yy-värdena är 2020 och -7.\text{-}7.

3

Jämför yy-värden

Nu har man undersökt alla relevanta punkter. I det här fallet fick man

  • ändpunkterna (-3,9)(\text{-}3,9) och (3,45)(3,45) samt
  • de stationära punkterna (-2,20)(\text{-}2,20) och (1,-7).(1,\text{-}7).

Jämför man punkternas funktionsvärden hittar man de globala extremvärdena. Minsta vrde: a¨-7Strsta vrde: o¨a¨45\begin{aligned} \text{Minsta värde: }& \text{-}7\\ \text{Största värde: }& 45 \end{aligned} Om man har en grafritare är det alltid bra att kontrollera att det verkar rimligt genom att rita upp funktionen.

Översiktligt kan arbetsgången för att hitta en funktions största och minsta värde, dvs. funktionens globala extremvärden, beskrivas av följande flödesschema.

Flowchart över arbetsgång för att hitta globala extremvärden till en funktion på ett slutet intervall
Uppgift

Bestäm koordinaterna för de globala extrempunkterna till f(x)=x44+x3+9\begin{aligned} f(x)=\dfrac{x^4}{4}+x^3+9 \end{aligned} på intervallet -5x2.\text{-}5 \leq x \leq 2.

Lösning

Här är vi intresserade av att bestämma koordinaterna för funktionens globala extrempunkter på intervallet, inte bara av funktionens största och minsta värde. Det innebär att vi ska svara med både xx- och yy-värdena.

1. Bestäm ändpunkternas koordinater

Ändpunkterna har xx-koordinaterna 22 och -5.\text{-}5. Vi sätter in dem i funktionsuttrycket f(x)=x44+x3+9,f(x)=\frac{x^4}{4}+x^3+9, en i taget.

f(x)=x44+x3+9f(x)=\dfrac{x^4}{4}+x^3+9
f(2)=244+23+9f({\color{#0000FF}{2}})=\dfrac{{\color{#0000FF}{2}}^4}{4}+{\color{#0000FF}{2}}^3+9
f(2)=164+8+9f(2)=\dfrac{16}{4}+8+9
f(2)=4+8+9f(2)=4+8+9
f(2)=21f(2)=21

Den högra ändpunkten har alltså koordinaterna (2,21).(2,21). Nu sätter vi in x=-5.x=\text{-}5.

f(x)=x44+x3+9f(x)=\dfrac{x^4}{4}+x^3+9
f(-5)=(-5)44+(-5)3+9f({\color{#0000FF}{\text{-}5}})=\dfrac{({\color{#0000FF}{\text{-}5}})^4}{4}+({\color{#0000FF}{\text{-}5}})^3+9
f(-5)=40.25f(\text{-}5)=40.25

De två ändpunkternas koordinater är (2,21)(2,21) och (-5,40.25).(\text{-}5,40.25).

2. Bestäm extrempunkter med derivata och teckentabell

Vi börjar med att derivera funktionen.

f(x)=x44+x3+9f(x)=\dfrac{x^4}{4}+x^3+9
f(x)=D(x44)+D(x3)+D(9)f'(x)=D\left(\dfrac{x^4}{4}\right)+D\left(x^3\right)+D(9)
f(x)=4x34+D(x3)+D(9)f'(x)=\dfrac{4x^3}{4}+D\left(x^3\right)+D(9)
f(x)=4x34+3x2+D(9)f'(x)=\dfrac{4x^3}{4}+3x^2+D(9)
f(x)=4x34+3x2f'(x)=\dfrac{4x^3}{4}+3x^2
f(x)=x3+3x2f'(x)=x^3+3x^2

Derivatan är alltså f(x)=x3+3x2.f'(x)=x^3+3x^2. Nu sätter vi den till 00 för att hitta derivatans nollställen. Vi får då en ekvation som vi löser med nollproduktmetoden.

f(x)=x3+3x2f'(x)=x^3+3x^2
0=x3+3x2{\color{#0000FF}{0}}=x^3+3x^2
x3+3x2=0x^3+3x^2=0
Dela upp i faktorer
x2x+x23=0x^2\cdot x+x^2\cdot 3=0
x2(x+3)=0x^2(x+3)=0
x2=0(I)x+3=0(II)\begin{array}{lc}x^2=0 & \text{(I)}\\ x+3=0 & \text{(II)}\end{array}
x=±0x+3=0\begin{array}{l}x=\pm \sqrt{0} \\ x+3=0 \end{array}
x=0x+3=0\begin{array}{l}x=0 \\ x+3=0 \end{array}
x1=0x2=-3\begin{array}{l}x_1=0 \\ x_2=\text{-}3 \end{array}

Vi har alltså stationära punkter i x=-3x=\text{-}3 och x=0,x=0, vilka båda ligger på det givna intervallet -5x2.\text{-}5 \leq x \leq 2. Vi beräknar yy-värdena för x=0x=0 och x=-3.x=\text{-}3. f(-3)=(-3)44+(-3)3+9=2.25f(0)=044+03+9=9\begin{aligned} f({\color{#0000FF}{\text{-}3}})&=\dfrac{({\color{#0000FF}{\text{-}3}})^4}{4}+({\color{#0000FF}{\text{-}3}})^3+9=2.25 \\[0.75em] f({\color{#0000FF}{0}})&=\dfrac{{\color{#0000FF}{0}}^4}{4}+{\color{#0000FF}{0}}^3+9=9 \end{aligned}

Funktionen f(x)f(x) har alltså stationära punkter i (-3,2.25)(\text{-}3, 2.25) och (0,9).(0, 9).

3. Jämför koordinaternas yy-värden

Nu har vi undersökt alla lokala extrempunkter och hittat

  • ändpunkterna (2,21)(2,21) och (-5,40.25)(\text{-}5,40.25) samt
  • de stationära punkterna (-3,2.25)(\text{-}3, 2.25) och (0,9).(0, 9).

Den globala minimipunkten för funktionen på det givna intervallet är (-3,2.25)(\text{-}3, 2.25) eftersom 2.252.25 är det minsta yy-värdet. Den globala maximipunkten är (-5,40.25).(\text{-}5,40.25). Vi kan kontrollera detta genom att rita upp funktionen.


Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}