Globala extremvärden

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

För att bestämma en funktions globala extremvärden, dvs. funktionens största och minsta värden, måste man känna till dess extrempunkter. Vissa av dem kan hittas genom att derivatan sätts lika med 00, men om funktionen är definierad på ett intervall måste man även ta hänsyn till dess ingående ändpunkter. Dessa är också extrempunkter men eftersom derivatan inte är 00 där undersöks de separat.
Begrepp

Funktioner på intervall

Funktioner är ibland definierade på intervall, dvs. endast för vissa xx-värden. Det kan t.ex. bero på att

  • funktionens definitionsmängd är ett intervall eller
  • att det finns praktiska begränsningar som gör det orimligt att använda vissa xx-värden.

Det sistnämnda är exempelvis fallet om man låter funktionen A=πr2A=\pi r^2 beskriva arean AA m2^2 av en matta med radien rr meter på en rund scen som har radien 1010 m. De möjliga värdena på mattans radie är då 0<r10, 0 < r \leq 10, eftersom radien måste ha en positiv längd och inte heller får överstiga scenens.

Begrepp

Extremvärde i ändpunkt

För en funktion som är definierad på ett intervall kommer de ändpunkter som ingår i intervallet att vara lokala extrempunkter. Exempelvis är den högra ändpunkten nedan ett lokalt maximum eftersom närliggande punkter på grafen ligger under punkten.

På motsvarande sätt är den vänstra ändpunkten ett lokalt minimum. I det här fallet är den även ett globalt minimum eftersom punkten är lägre än alla andra punkter på grafen.
Uppgift

Bestäm ändpunkternas koordinater för tredjegradsfunktionen f(x)=8xx3 f(x)=8x - x^3 på intervallet -1x3.\text{-} 1\leq x\leq 3.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Bestämma en funktions största och minsta värde på ett slutet intervall

Med största och minsta värde för en funktion menar man yy-värdena i funktionens globala extrempunkter (om det finns några), vilka även kallas för funktionens globala extremvärden. För en funktion med sammanhängande graf på ett slutet intervall antas största och minsta värde antingen i

så länge de inte är terrasspunkter. Genom att välja ut det största och minsta yy-värdet från dessa punkter får man fram funktionens globala extremvärden. Man kan t.ex. göra detta för funktionen f(x)=2x3+3x212xf(x)=2x^3+3x^2-12x på intervallet -3x3\text{-}3 \leq x \leq 3.

Funktionen har sina ändpunkter i början och slutet av intervallet, i detta fall där x=-3x=\text{-}3 och x=3.x=3. Man bestämmer ändpunkternas yy-värden genom att sätta in dessa xx-värden i funktionsuttrycket.

f(x)=2x3+3x212xf(x)=2x^3+3x^2-12x
f(-3)=2(-3)3+3(-3)212(-3)f({\color{#0000FF}{\text{-}3}})=2({\color{#0000FF}{\text{-}3}})^3+3({\color{#0000FF}{\text{-}3}})^2-12({\color{#0000FF}{\text{-}3}})
f(-3)=2(-27)+3912(-3)f(\text{-}3)=2(\text{-}27)+3\cdot 9-12(\text{-}3)
f(-3)=-54+27+36f(\text{-}3)=\text{-}54+27+36
f(-3)=9f(\text{-}3)=9

Den vänstra ändpunkten har yy-värdet 9.9.

f(x)=2x3+3x212xf(x)=2x^3+3x^2-12x
f(3)=233+332123f({\color{#0000FF}{3}})=2\cdot {\color{#0000FF}{3}}^3+3\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2-12\cdot {\color{#0000FF}{3}}
f(3)=227+39123f(3)=2\cdot 27 + 3\cdot 9 -12 \cdot 3
f(3)=54+2736f(3)=54 + 27 - 36
f(3)=45f(3)=45

Den högra ändpunkten har yy-värdet 45.45.

Funktionens stationära punkter kan man hitta med derivata och teckentabell eller med andraderivata. Om det inte efterfrågas behöver man dock inte bestämma deras karaktär och utesluta eventuella terrasspunkter, eftersom en terrasspunkt ändå aldrig antar något av funktionens extremvärden.

  • Derivera funktionen: I det här fallet är derivatan f(x)=6x2+6x12.f'(x)=6x^2+6x-12.
  • Bestäm derivatans nollställen: Här får man ekvationen 6x2+6x12=0,6x^2+6x-12=0, vilken har lösningarna x=-2x=\text{-}2 och x=1.x=1.
  • Kontrollera att de ligger på intervallet: Båda de stationära punkterna ligger på intervallet -3x3.\text{-}3 \leq x \leq 3.
  • Bestäm deras yy-värden: Sätter man in x=-2x=\text{-}2 och x=1x=1 i funktionsuttrycket f(x)=2x3+3x212xf(x)=2x^3+3x^2-12x får man

f(-2)=20ochf(1)=-7, f(\text{-}2)=20 \quad \text{och} \quad f(1)=\text{-}7, dvs. yy-värdena är 2020 och -7.\text{-}7.

Nu har man undersökt alla relevanta punkter. I det här fallet fick man

  • ändpunkterna (-3,9)(\text{-}3,9) och (3,45)(3,45) samt
  • de stationära punkterna (-2,20)(\text{-}2,20) och (1,-7).(1,\text{-}7).

Jämför man punkternas funktionsvärden hittar man de globala extremvärdena. Minsta vrde: a¨-7Strsta vrde: o¨a¨45\begin{aligned} \text{Minsta värde: }& \text{-}7\\ \text{Största värde: }& 45 \end{aligned} Om man har en grafritare är det alltid bra att kontrollera att det verkar rimligt genom att rita upp funktionen.

Översiktligt kan arbetsgången för att hitta en funktions största och minsta värde, dvs. funktionens globala extremvärden, beskrivas av följande flödesschema.

Flowchart över arbetsgång för att hitta globala extremvärden till en funktion på ett slutet intervall
Uppgift

Bestäm koordinaterna för de globala extrempunkterna till f(x)=x44+x3+9\begin{aligned} f(x)=\dfrac{x^4}{4}+x^3+9 \end{aligned} på intervallet -5x2.\text{-}5 \leq x \leq 2.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar grafen till en funktion där punkterna AHA-H är markerade.

a
Vilka punkter är lokala extrempunkter?
b
Vilka punkter är globala extrempunkter?
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar grafen till en funktion på intervallet -4x4.\text{-}4 \leq x \leq 4.

Ange koordinaterna för funktionens


a
ändpunkter.
b
maximipunkter.
c
minimipunkter.
d
globala maximum.
e
globala minimum.
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm, med hjälp av räknare, största och minsta värde för funktionen y=0.01x50.58x3+4.3x+1.5 y=0.01 x^5 - 0.58 x^3 + 4.3 x +1.5 på intervallet -8x7.\text{-}8 \leq x \leq 7.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen f(x)=3x428x360x2+192x+13 f(x)=3x^4-28x^3-60x^2+192x+13 har derivatan f(x)f'(x) nollställena x=-2,x=\text{-}2, x=1x=1 och x=8.x=8. Bestäm funktionens största och minsta värde på intervallet -3x2.\text{-}3\leq x\leq 2.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de globala extremvärdena för funktionen p(x)=x33x+6 p(x)=x^3-3x+6 på intervallet -2x3.\text{-}2\leq x\leq 3.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm största och minsta värde för

a
funktionen f(x)=x3+7.5x2+12xf(x)=x^3+7.5x^2+12x på intervallet -5x1.\text{-}5\leq x\leq 1.
b
funktionen g(x)=2x416x3+36x211g(x)=2x^4-16x^3+36x^2-11 på intervallet -1x4.\text{-}1\leq x\leq 4.
c
funktionen h(x)=1.5x3+4.5x236x53h(x)=1.5x^3+4.5x^2-36x-53 på intervallet -6x3.\text{-}6 \leq x\leq 3.
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Inga-Lill ska hjälpa sitt barnbarn Claudia med matteläxan över telefon. Claudia försöker beskriva en graf som finns i hennes mattebok:

"Jo, du förstår, grafen börjar i -6\text{-}6 och slutar i 4.4. Största värdet som funktionen antar är 1010 och det minsta är -4\text{-}4 och inget av dem ligger i någon ändpunkt."

Inga-Lill skissar en graf som stämmer med det som Claudia beskriver. Hur skulle hennes skiss kunna se ut?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm största och minsta värde för funktionerna. Svara exakt.

a
f(x)=3x+1xf(x)=3x+\dfrac{1}{x} på intervallet 13x3\dfrac{1}{3}\leq x\leq 3
b
g(x)=8x3xg(x)=8\sqrt{x}-3x på intervallet 1x91\leq x\leq9
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm största och minsta värdet för funktionen f(x)=e2xex f(x) = e^{2x}-ex på intervallet -1x1.\text{-}1 \leq x \leq 1. Svara exakt!

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ragnar ska bestämma det största värdet för andragradsfunktionen y=-x2y=\text{-} x^2 på intervallet -2x3.\text{-} 2\leq x \leq 3. Han har löst det på följande sätt.

Bestämning av extrempunkter på rutat papper

Jonas säger att Ragnar har gjort det onödigt krångligt för sig. Hur kan Jonas ha resonerat?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen y=ax4+bx2y=ax^4+bx^2 antar sitt globala maximum i en stationär punkt. Funktionen har två maximipunkter: den ena är (-2,32)(\text{-}2, 32) och den andra finns där x=2.x=2. Bestäm funktionens största värde.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen f(x)f(x) gäller att f(x)<0f'(x) < 0 på ett intervall axb.a \leq x \leq b. Visa att funktionens största värde på intervallet är f(a)f(a) och att det minsta är f(b).f(b).

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att 30x54x3 30-x-\dfrac{54}{\sqrt{x}}\leq 3 för alla x>0.x>0.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)=2x28x+9f(x)=2x^2-8x+9 är definierad på det slutna intervallet axb, a\leq x\leq b, där aa och bb är reella tal. Bestäm de möjliga värdena på aa och bb om största värdet är 1919 och minsta värdet är 1.1.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}