Funktioner är ibland definierade på intervall, dvs. endast för vissa x-värden. Det kan t.ex. bero på att
Det sistnämnda är exempelvis fallet om man låter funktionen A=πr2 beskriva arean A m2 av en matta med radien r meter på en rund scen som har radien 10 m. De möjliga värdena på mattans radie är då 0<r≤10, eftersom radien måste ha en positiv längd och inte heller får överstiga scenens.
För en funktion som är definierad på ett intervall kommer de ändpunkter som ingår i intervallet att vara lokala extrempunkter. Exempelvis är den högra ändpunkten nedan ett lokalt maximum eftersom närliggande punkter på grafen ligger under punkten.
Bestäm ändpunkternas koordinater för tredjegradsfunktionen f(x)=8x−x3 på intervallet -1≤x≤3.
Funktionens ändpunkter avgörs av de yttre gränserna på intervallet där den är definierad. Eftersom intervallet är -1≤x≤3 sätter vi in x-värdena -1 respektive 3 i funktionen och beräknar motsvarande funktionsvärden.
Med största och minsta värde för en funktion menar man y-värdena i funktionens globala extrempunkter (om det finns några), vilka även kallas för funktionens globala extremvärden. För en funktion med sammanhängande graf på ett slutet intervall antas största och minsta värde antingen i
Funktionen har sina ändpunkter i början och slutet av intervallet, i detta fall där x=-3 och x=3. Man bestämmer ändpunkternas y-värden genom att sätta in dessa x-värden i funktionsuttrycket.
Den vänstra ändpunkten har y-värdet 9.
Den högra ändpunkten har y-värdet 45.
Funktionens stationära punkter kan man hitta med derivata och teckentabell eller med andraderivata. Om det inte efterfrågas behöver man dock inte bestämma deras karaktär och utesluta eventuella terrasspunkter, eftersom en terrasspunkt ändå aldrig antar något av funktionens extremvärden.
f(-2)=20ochf(1)=-7, dvs. y-värdena är 20 och -7.
Nu har man undersökt alla relevanta punkter. I det här fallet fick man
Jämför man punkternas funktionsvärden hittar man de globala extremvärdena. Minsta va¨rde: Sto¨rsta va¨rde: -745 Om man har en grafritare är det alltid bra att kontrollera att det verkar rimligt genom att rita upp funktionen.
Översiktligt kan arbetsgången för att hitta en funktions största och minsta värde, dvs. funktionens globala extremvärden, beskrivas av följande flödesschema.
Bestäm koordinaterna för de globala extrempunkterna till f(x)=4x4+x3+9 på intervallet -5≤x≤2.
Här är vi intresserade av att bestämma koordinaterna för funktionens globala extrempunkter på intervallet, inte bara av funktionens största och minsta värde. Det innebär att vi ska svara med både x- och y-värdena.
Ändpunkterna har x-koordinaterna 2 och -5. Vi sätter in dem i funktionsuttrycket f(x)=4x4+x3+9, en i taget.
Den högra ändpunkten har alltså koordinaterna (2,21). Nu sätter vi in x=-5.
De två ändpunkternas koordinater är (2,21) och (-5,40.25).
Vi börjar med att derivera funktionen.
Derivatan är alltså f′(x)=x3+3x2. Nu sätter vi den till 0 för att hitta derivatans nollställen. Vi får då en ekvation som vi löser med nollproduktmetoden.
Vi har alltså stationära punkter i x=-3 och x=0, vilka båda ligger på det givna intervallet -5≤x≤2. Vi beräknar y-värdena för x=0 och x=-3. f(-3)f(0)=4(-3)4+(-3)3+9=2.25=404+03+9=9
Funktionen f(x) har alltså stationära punkter i (-3,2.25) och (0,9).
Nu har vi undersökt alla lokala extrempunkter och hittat
Den globala minimipunkten för funktionen på det givna intervallet är (-3,2.25) eftersom 2.25 är det minsta y-värdet. Den globala maximipunkten är (-5,40.25). Vi kan kontrollera detta genom att rita upp funktionen.