body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ toc.name }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ stepNode.name }}

{{ 'ml-toc-proceed' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

{{ 'ml-btn-show-less' | message }} {{ 'ml-btn-show-more' | message }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ ability.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

{{ 'ml-lesson-show-solutions' | message }}

{{ 'ml-lesson-show-hints' | message }}

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Begrepp

Talföljd

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, sk. element. Talen kallas ofta

a_{1},

a_{2},

a_{3}

osv. där den nedsänkta siffran kallas för index och anger vilken position i talföljden ett element har.

Regel

Geometrisk talföljd

En geometrisk talföljd byggs upp genom att varje element multipliceras med samma tal $k$ för att få nästa element. Talet $k$ kan t.ex. vara $2,$ så att varje tal i följden är dubbelt så stort som det förra.

Precis som i andra följder brukar första talet kallas $a_{1},$ nästa $a_{2}$ osv.

Talet $k$ brukar kallas följdens kvot. Det heter så eftersom $k$ kan bestämmas genom att ta två intilliggande tal i följden och dividera dem: det senare delat på det föregående.

$k = \frac{a _{n}}{a _{n - 1}}$

Regel

Formel

Element

a_{3}

ligger två steg bort från startvärdet

a_{1},

och därför ska

a_{1}

multipliceras med

k

två gånger för att ge

a_{3} .

Samma resonemang kan användas för vilket

a_{n}

som helst i följden:

a_{n}

ligger

n - 1

steg bort från

a_{1},

så

a_{1}

multipliceras med

k

precis så många gånger.

$a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$

Beräkna det $n$ :te värdet i talföljden

fullscreen

Beräkna det tolfte elementet i den oändliga geometriska talföljden

4, 12, 36, 108, \dots

Visa Lösning

Vi börjar med att undersöka vad kvoten

k

mellan ett element och det närmast föregående är. Eftersom vi får givet att talföljden är geometrisk och kvoten i en sådan är konstant räcker det med att dividera t.ex. de två första elementen:

\frac{1 2}{4} = 3 .

Kvoten är alltså

3

och vi ska nu bestämma det tolfte elementet. Det första elementet,

a_{1}

, är känt vilket betyder att vi kan ta fram en formel för talföljden:

a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1} .

Vi sätter in

a_{1} = 4,

k = 3

och

n = 12 .

a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}

SubstituteValues

Sätt in värden

a_{12} = 4 \cdot 3^{12 - 1}

Förenkla termer

a_{12} = 4 \cdot 3^{11}

Slå in på räknare

a_{12} = 708588

Det tolfte elementet i talföljden är alltså

708588 .

Regel

Geometrisk summa

Summan av de $n$ första talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Den skrivs ofta:

s_{n} = a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1},

där

a

är första talet,

k

är kvoten mellan två intilliggande tal och

n

är antalet termer. Ett exempel är följande geometriska summa som består av de fyra första elementen i den geometriska talföljden

a_{n} = 700 \cdot 1 . 5^{n - 1}

:

700 + 700 \cdot 1.5 + 700 \cdot 1 . 5^{2} + 700 \cdot 1 . 5^{3} .

Man kan beräkna summan genom att addera termerna, en i taget. Alternativt, om man känner till värdena

a,

k,

och

n

kan man använda en formel.

Regel

a + a k + \dots + a k^{n - 1} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1} k \neq = 1

Man kan motivera formeln med hjälp av en geometrisk summa där t.ex. $n = 4$ :

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} .

Om man multiplicerar ekvationen med kvoten

k

får man en ny ekvation:

s_{4} \cdot k = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} .

Genom att subtrahera den första ekvationen från den andra kan man få bort ett antal termer från högerledet i ekvationen.

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} (I) (II)

$(II):$ Subtrahera $(I)$

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k - s_{4} = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} - (a + a k + a k^{2} + a k^{3})

$(II):$ Ta bort parentes & byt tecken

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k - s_{4} = a k + a k^{2} + a k^{3} + a k^{4} - a - a k - a k^{2} - a k^{3}

$(II):$ Förenkla termer

s_{4} = a + a k + a k^{2} + a k^{3} s_{4} \cdot k - s_{4} = a k^{4} - a

Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut $s_{4} .$

s_{4} \cdot k - s_{4} = a k^{4} - a

Bryt ut $s_{4}$

s_{4} (k - 1) = a k^{4} - a

$VL / (k - 1) = HL / (k - 1)$

s_{4} = \frac{a k ^{4} - a}{k - 1}

Bryt ut $a$

s_{4} = \frac{a ( k ^{4} - 1 )}{k - 1}

Men $s_{4}$ var ju från början definierad som $a + a k + a k^{2} + a k^{3} .$ Därför kan man skriva likheten

a + a k + a k^{2} + a k^{3} = \frac{a ( k ^{4} - 1 )}{k - 1},

vilket är samma sak som man får om man sätter in

n = 4

i den generella formeln för summan. Motsvarande motivering kan också göras som ett generellt bevis för

n

stycken termer.

Beräkna den geometriska summan

fullscreen

Beräkna den geometriska summan

80 + 80 \cdot 1.5 + 80 \cdot 1 . 5^{2} + 80 \cdot 1 . 5^{3} .

Visa Lösning

Formeln för att beräkna en geometrisk summa är:

a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1} .

Det första talet är

a = 80

och kvoten mellan två intilliggande element är

k = 1.5 .

I formeln står

n

för antalet termer och om vi räknar dessa ser vi att den består av

4

termer, så

n = 4

. Vi sätter in våra värden i formeln och förenklar.

s_{n} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1}

SubstituteValues

Sätt in värden

s_{4} = \frac{8 0 ( 1 . 5 ^{4} - 1 )}{1 . 5 - 1}

Förenkla termer

s_{4} = \frac{8 0 ( 1 . 5 ^{4} - 1 )}{0 . 5}

Förenkla kvot

s_{4} = 160 (1 . 5^{4} - 1)

Slå in på räknare

s_{4} = 650

Summan är alltså lika med

650 .

{{ grade.displayTitle }}