Extremvärdesproblem

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Metod

Lösa extremvärdesproblem

Matematiska problem med verklighetsanknytning och som går ut på att hitta ett största eller minsta värde för något, t.ex. en area eller kostnad, brukar kallas extremvärdesproblem. Man löser dessa genom att definiera en funktion baserat på frågan och sedan maximera eller minimera den. Följande är ett exempel på ett extremvärdesproblem som kan lösas på detta sätt.

Det ska byggas ett stängsel runt en rektangulär kattgård. Bestäm arean och sidlängderna för den största kattgården som går att bygga med 1010 meter stängsel.

Om funktionsuttrycket inte är givet i uppgiften måste man själv ställa upp det. I det här fallet vill man maximera en area som beror på gårdens sidlängder, vilket innebär att man måste beteckna arean och sidlängderna på något sätt. Man kan t.ex. kalla gårdens area för AA och sidlängderna för xx och y.y.

Kattgård med sidorna x och y

Funktionen ska dock bara bero på en variabel, så antingen yy eller xx måste uttryckas med hjälp av den andra variabeln. Man behöver alltså ytterligare ett samband för att göra detta. I det här fallet kan man utnyttja att det totalt finns 1010 m stängsel. Gårdens omkrets ska alltså vara 1010 m, vilket ger 2x+2y=10. 2x + 2y = 10. Ur detta kan man lösa ut yy och få ett uttryck för kortsidan som enbart beror på x.x. y=5x y = 5 - x Nu behöver man inte använda variabeln yy för att beskriva kattgårdens dimensioner.

Kattgård med sidorna x och 5-x

Kattgårdens area kan beräknas genom att multiplicera långsidan med kortsidan, vilket ger andragradsfunktionen A(x)=x(5x), A(x)=x(5-x), som endast beror på en variabel: x.x.

Ofta begränsar verkligheten funktionens definitions- och/eller värdemängd på något sätt. I det här fallet representerar xx en längd vilket innebär att det inte kan vara negativt.

Sidorna får inte vara 0 eller negativa pga arean

För långsidan gäller därför villkoret x0x \geq 0 och för kortsidan 5x0x5. 5-x \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \leq 5. Sammanfattningsvis gäller alltså att man ska bestämma funktionens största värde på intervallet 0x5.0 \leq x \leq 5.

Funktionens extrempunkter finns i ändpunkter och i stationära punkter. Om funktionen är definierad på ett slutet intervall bestämmer man alltså koordinaterna för både ändpunkter och stationära punkter på intervallet. I det här fallet ska man maximera funktionen A(x)=x(5x)=5xx2 A(x)=x(5-x)=5x-x^2 på det intervallet 0x5.0 \leq x \leq 5. I ändpunkterna är A(x)=0A(x)=0 eftersom någon av sidlängderna blir 00 där. Derivata är A(x)=52xA'(x)=5-2x och har nollstället x=2.5,x=2.5, så där har funktionen en stationär punkt. Denna punkts funktionsvärde bestämmer man genom att sätta in x=2.5x=2.5 i A(x)A(x): A(2.5)=52.52.52=6.25. A(2.5) = 5\cdot2.5 - 2.5^2 = 6.25. Funktionen har alltså en stationär punkt i (2.5,6.25).(2.5,6.25). Här finns troligen funktionens största värde, men detta behöver kontrolleras innan man drar någon slutsats.

Nu måste man verifiera funktionens största eller minsta värde, dvs. kontrollera att den extrempunkt med högst eller lägst yy-värde faktiskt är ett maximum eller minimum. Man kan alltid göra detta med andraderivatan eller med en teckentabell. Det finns dock två specialfall där verifieringen kan göras på enklare sätt:

  • Om funktionen är sammanhängande på ett slutet intervall räcker det att jämföra yy-värdena på de stationära punkter och ändpunkter man bestämt. Man vet då med säkerhet att det minsta yy-värdet är ett minimum och att det största yy-värdet är ett maximum.
  • Om man har en andragradsfunktion kan man använda andragradstermens tecken. Är den negativ är extremvärdet ett maximum och är den positiv är det ett minimum.

I detta fall är intervallet slutet och andragradsfunktioner är alltid sammanhängande så man kan jämföra funktionsvärdena i de stationära punkterna och ändpunkterna. Det största värdet är 6.256.25 och det finns där x=2.5.x=2.5.

Slutligen räcker det inte med att svara med ett tal, utan man behöver påminna sig själv om vad frågan egentligen är. I den här uppgiften skulle man bestämma sidlängderna och den största möjliga arean för kattgården. Största värdet för funktionen A(x)A(x) bestämdes till 6.25,6.25, vilket innebär att gårdens maximala area är 6.25 m2. 6.25 \text{ m}^2. Sidlängden x=2.5x=2.5 m är den längd på långsidan som ger den största arean, vilket innebär att kortsidans längd är 5x=52.5=2.55-x=5-2.5=2.5 m.

Kvadratisk kattgård med sidan 2.5 m

Kattgårdens area är alltså som störst då den har formen av en kvadrat med sidan 2.52.5 m, vilket ger arean 6.256.25 m2.^2.

Uppgift

Summan av de två icke-negativa talen xx och yy är 18.18. Bestäm med hjälp av derivata det maximala värdet av x2yx^2y och ange även vad xx och yy då är.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Temperaturen i en ugn kan beskrivas med den linjära funktionen T(x)=15.3x+22, T(x) = 15.3x + 22, där T(x)T(x) är temperaturen i ^\circC och xx är tiden i minuter efter att ugnen slogs på. Vad är högsta och lägsta temperaturen i ugnen mellan x=0x = 0 och x=10?x = 10?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Salvador solar topless på hotellets takterrass när hans kompis, som står vid poolen på marken nedanför, ropar att han behöver rumsnyckeln. Salvador går då fram till kanten av terrassen och kastar nyckeln till sin kompis.

andragradsfunktion som representerar kast av nyckel från tak

Nyckelns höjd hh meter över marken efter tt sekunder beskrivs av funktionen h(t)=-0.5t2+1.6t+6. h(t)=\text{-}0.5t^2+1.6t+6. Använd derivata för att bestämma efter hur lång tid nyckeln når sin maximala höjd och hur högt över marken den är då.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kiara har märkt att hennes företags årliga vinst påverkas av hur många veckor ledigt de anställda tar. Hon påstår att sambandet mellan vinsten VV miljoner kronor och antalet semesterveckor ss kan beskrivas av funktionen V(s)=-5s2+42s35. V(s)=\text{-}5s^2+42s-35. Hur många veckor bör Kiara uppmuntra sina anställda att ta ledigt om hon vill att företaget ska tjäna maximalt med pengar? Och hur stor kan hon förvänta sig att vinsten blir om de anställda gör som hon rekommenderar? Använd derivata för att lösa uppgiften.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För en viss bensinmotor beror mängden koldioxid som produceras på motorns temperatur. Detta beroende kan beskrivas med funktionen f(t)=0.00047t20.094t+7, f(t) = 0.00047t^2 - 0.094t + 7, där f(t)f(t) är antalet gram koldioxid som skapas per liter bensin och tt är motorns temperatur i ^\circC. Använd derivata för att avgöra vilken temperatur motorn bör hålla för att producera så lite koldioxid som möjligt.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Yamala är på semester i Filippinerna och har hittat en perfekt plats för dykning. Hur djupt hon kan dyka beror på mängden luft hon andas in precis innan dyket. Detta samband kan beskrivas av funktionen h(l)=4l224l+30, h(l)=4l^2-24l+30, där h(l)h(l) är antal meter över havet och ll är antal liter luft i Yamalas lungor. Använd derivata för att bestämma hur djupt hon kan dyka. Ange också hur mycket luft hon behöver för att göra sitt djupaste dyk.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd derivata för att bestämma det värde på xx som gör att flyttlådan får maximal volym och ange hur stor volymen är då.

rätblock i form av flyttlåda som man ska bestämma maximal volym på
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rektangulär rastgård för hundar ska byggas mot en mur, där muren ska utgöra en av sidorna. Det finns totalt 160160 meter stängsel till de övriga sidorna. Hur stor kan rastgårdens area bli som mest?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Jenn och Barry sommarjobbar i en glasskiosk. Under de lugnare perioderna har de använt sina mattekunskaper för att komma fram till en funktion som beskriver deras inkomst baserat på hur många glassar de köper från leverantören vid dagens början. Funktionen är: g(x)=0.02x218x+8000, g(x)=0.02x^2-18x+8000, där g(x)g(x) är vinsten för dagen och xx är antalet glassar de köper per dag. Den minsta möjliga ordern de kan göra är 200200 glassar per dag och deras frys rymmer som mest 600600 glassar. Hur många glassar bör de köpa per dag för att maximera sin inkomst? Motivera!

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Gregor har tröttnat på alla kaniner som hoppar in i hans trädgård och äter hans grönsaker. För att skydda sin stackars selleri tänker han därför sätta upp ett stängsel. För extra säkerhet delar han dessutom upp det inhägnade området i tre delar.

Rektangulärt trädgårdsland indelat i tre delar

Hur stort är det största område som kan inhägnas på det här sättet om han har 4040 meter stängsel?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Fältforskningsenheten vid Sveriges Lantbruksuniversitet har undersökt hur mängden kväve i konstgödsel påverkar skördens storlek för olika kornsorter. För kornsorten Baronesse gäller funktionen f(x)=0.002x30.81x2+105.6x+1600\begin{aligned} &f(x)=0.002x^3-0.81x^2+105.6x+1600 \end{aligned} 0x180\begin{aligned} 0\leq x \leq180 \end{aligned} där f(x)f(x) är skördens storlek i kg/hektar och xx är mängden tillsatt kväve i kg/hektar. Hur mycket kväve ska tillsättas för att skördens storlek ska bli maximal?

Nationella provet VT05 MaC
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett cirkulärt papper med radien 6.46.4 cm viks upp så att man får en cylindrisk pappersform för bakverk (se figur).

NP-muffinsform.svg

Beräkna med hjälp av derivata hur papperet ska vikas för att pappersformen ska få så stor volym som möjligt.

Nationella provet HT00 MaC
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Företaget Henkes "ryska" kaviar undersöker hur mycket kaviar de ska importera för att maximera sin vinst. När Henke köper in kaviaren från "Ryssland" varierar priset beroende på hur många kilo han köper. Kostnaden per kilo kan beskrivas av funktionen k(x)=0.001x20.6x+190, k(x) = 0.001x^2 - 0.6x + 190, där xx är antalet kilo kaviar. När han sedan säljer den beror det pris han kan kan sätta på hur många kilo han säljer enligt funktionen i(x)=215.4880.3x, i(x) = 215.488-0.3x, där i(x)i(x) anger priset per kilo. Om man antar att Henke säljer all kaviar han köper in, hur många kilo ska han då importera för att maximera sin vinst?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren har grafen till funktionen f(x)=12x2f(x)=12-x^2 ritats. Punkterna PP och QQ har samma yy-värde och spänner upp en rektangel tillsammans med xx-axeln.

Vad är rektangelns största area om punkt PP ligger i första kvadranten?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Italienaren Tartaglia var en matematiker som levde på 15001500-talet. Han anses ha formulerat följande matematiska problem, här återgivet i modern översättning:

Summan av två positiva tal är 8. Bestäm talen så att produkten av talens differens och talens produkt blir så stor som möjligt.

Din uppgift är att lösa Tartaglias matematiska problem.

Nationella provet HT12 3b/3c
3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Garfesta kommun ska bygga en bollplan. Den ska vara rektangulär med stängsel runtomkring. För att inte bollarna ska hamna ute på vägen bestämmer man sig för att bygga ett högre stängsel på den sida som ligger närmast vägen, se figur.

NP-bollplan.svg

Kommunen har bestämt att stängslet maximalt får kosta 66006600 kr. Det lägre stängslet kostar 7575 kr/m och det högre 225225 kr/m. Kostnaden för stolpar och grindar ingår i priset för stängslet. Om kommunen använder 6600 kr till stängslet kan bollplanens area A m2A \text{ m}^2 beräknas enligt nedanstående samband:

A(x)=44x2x2 A(x)=44x-2x^2

där xx m är längden på bollplanens sida närmast vägen.

a

Bestäm med hjälp av derivata det värde på xx som ger bollplanens maximala area.

b

Visa att bollplanens area A m2A \text{ m}^2 kan skrivas

A(x)=44x2x2. A(x)=44x-2x^2.

Nationella provet VT11 MaC
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}