Extremvärdesproblem

Om funktionsuttrycket inte är givet i uppgiften måste man själv ställa upp det. I det här fallet vill man maximera en area som beror på gårdens sidlängder, vilket innebär att man måste beteckna arean och sidlängderna på något sätt. Man kan t.ex. kalla gårdens area för $A$ och sidlängderna för $x$ och $y.$

Funktionen ska dock bara bero på en variabel, så antingen $y$ eller $x$ måste uttryckas med hjälp av den andra variabeln. Man behöver alltså ytterligare ett samband för att göra detta. I det här fallet kan man utnyttja att det totalt finns $10$ m stängsel. Gårdens omkrets ska alltså vara $10$ m, vilket ger $2x + 2y = 10.$ Ur detta kan man lösa ut $y$ och få ett uttryck för kortsidan som enbart beror på $x.$ $y = 5 - x$ Nu behöver man inte använda variabeln $y$ för att beskriva kattgårdens dimensioner.

Kattgårdens area kan beräknas genom att multiplicera långsidan med kortsidan, vilket ger andragradsfunktionen $A(x)=x(5-x),$ som endast beror på en variabel: $x.$

Ofta begränsar verkligheten funktionens definitions- och/eller värdemängd på något sätt. I det här fallet representerar $x$ en längd vilket innebär att det inte kan vara negativt.

För långsidan gäller därför villkoret $x \geq 0$ och för kortsidan $5-x \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \leq 5.$ Sammanfattningsvis gäller alltså att man ska bestämma funktionens största värde på intervallet $0 \leq x \leq 5.$

Funktionens extrempunkter finns i ändpunkter och i stationära punkter. Om funktionen är definierad på ett slutet intervall bestämmer man alltså koordinaterna för både ändpunkter och stationära punkter på intervallet. I det här fallet ska man maximera funktionen $A(x)=x(5-x)=5x-x^2$ på det intervallet $0 \leq x \leq 5.$ I ändpunkterna är $A(x)=0$ eftersom någon av sidlängderna blir $0$ där. Derivata är $A'(x)=5-2x$ och har nollstället $x=2.5,$ så där har funktionen en stationär punkt. Denna punkts funktionsvärde bestämmer man genom att sätta in $x=2.5$ i $A(x)$: $A(2.5) = 5\cdot2.5 - 2.5^2 = 6.25.$ Funktionen har alltså en stationär punkt i $(2.5,6.25).$ Här finns troligen funktionens största värde, men detta behöver kontrolleras innan man drar någon slutsats.

Nu måste man verifiera funktionens största eller minsta värde, dvs. kontrollera att den extrempunkt med högst eller lägst $y$-värde faktiskt är ett maximum eller minimum. Man kan alltid göra detta med andraderivatan eller med en teckentabell. Det finns dock två specialfall där verifieringen kan göras på enklare sätt:

• Om funktionen är sammanhängande på ett slutet intervall räcker det att jämföra $y$-värdena på de stationära punkter och ändpunkter man bestämt. Man vet då med säkerhet att det minsta $y$-värdet är ett minimum och att det största $y$-värdet är ett maximum.
• Om man har en andragradsfunktion kan man använda andragradstermens tecken. Är den negativ är extremvärdet ett maximum och är den positiv är det ett minimum.

I detta fall är intervallet slutet och andragradsfunktioner är alltid sammanhängande så man kan jämföra funktionsvärdena i de stationära punkterna och ändpunkterna. Det största värdet är $6.25$ och det finns där $x=2.5.$