Extremvärdesproblem

Metod

Lösa extremvärdesproblem

Matematiska problem med verklighetsanknytning och som går ut på att hitta ett största eller minsta värde för något, t.ex. en area eller kostnad, brukar kallas extremvärdesproblem. Man löser dessa genom att definiera en funktion baserat på frågan och sedan maximera eller minimera den. Följande är ett exempel på ett extremvärdesproblem som kan lösas på detta sätt.

Det ska byggas ett stängsel runt en rektangulär kattgård. Bestäm arean och sidlängderna för den största kattgården som går att bygga med $10$ meter stängsel.

1

Definiera ett funktionsuttryck som beror på en variabel

Om funktionsuttrycket inte är givet i uppgiften måste man själv ställa upp det. I det här fallet vill man maximera en area som beror på gårdens sidlängder, vilket innebär att man måste beteckna arean och sidlängderna på något sätt. Man kan t.ex. kalla gårdens area för $A$ och sidlängderna för $x$ och $y .$

Funktionen ska dock bara bero på en variabel, så antingen $y$ eller $x$ måste uttryckas med hjälp av den andra variabeln. Man behöver alltså ytterligare ett samband för att göra detta. I det här fallet kan man utnyttja att det totalt finns $10$ m stängsel. Gårdens omkrets ska alltså vara $10$ m, vilket ger $2 x + 2 y = 10 .$ Ur detta kan man lösa ut $y$ och få ett uttryck för kortsidan som enbart beror på $x .$ $y = 5 - x$ Nu behöver man inte använda variabeln $y$ för att beskriva kattgårdens dimensioner.

Kattgårdens area kan beräknas genom att multiplicera långsidan med kortsidan, vilket ger andragradsfunktionen $A (x) = x (5 - x),$ som endast beror på en variabel: $x .$

2

Definiera eventuella villkor

Ofta begränsar verkligheten funktionens definitions- och/eller värdemängd på något sätt. I det här fallet representerar $x$ en längd vilket innebär att det inte kan vara negativt.

För långsidan gäller därför villkoret $x \geq 0$ och för kortsidan $5 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 5 .$ Sammanfattningsvis gäller alltså att man ska bestämma funktionens största värde på intervallet $0 \leq x \leq 5 .$

3

Bestäm extrempunkter

Funktionens extrempunkter finns i ändpunkter och i stationära punkter. Om funktionen är definierad på ett slutet intervall bestämmer man alltså koordinaterna för både ändpunkter och stationära punkter på intervallet. I det här fallet ska man maximera funktionen $A (x) = x (5 - x) = 5 x - x^{2}$ på det intervallet $0 \leq x \leq 5 .$ I ändpunkterna är $A (x) = 0$ eftersom någon av sidlängderna blir $0$ där. Derivata är $A^{'} (x) = 5 - 2 x$ och har nollstället $x = 2.5,$ så där har funktionen en stationär punkt. Denna punkts funktionsvärde bestämmer man genom att sätta in $x = 2.5$ i $A (x)$ : $A (2.5) = 5 \cdot 2.5 - 2 . 5^{2} = 6.25 .$ Funktionen har alltså en stationär punkt i $(2.5, 6.25) .$ Här finns troligen funktionens största värde, men detta behöver kontrolleras innan man drar någon slutsats.

4

Verifiera största eller minsta värdet

Nu måste man verifiera funktionens största eller minsta värde, dvs. kontrollera att den extrempunkt med högst eller lägst $y$ -värde faktiskt är ett maximum eller minimum. Man kan alltid göra detta med andraderivatan eller med en teckentabell. Det finns dock två specialfall där verifieringen kan göras på enklare sätt:

Om funktionen är sammanhängande på ett slutet intervall räcker det att jämföra $y$ -värdena på de stationära punkter och ändpunkter man bestämt. Man vet då med säkerhet att det minsta $y$ -värdet är ett minimum och att det största $y$ -värdet är ett maximum.
Om man har en andragradsfunktion kan man använda andragradstermens tecken. Är den negativ är extremvärdet ett maximum och är den positiv är det ett minimum.

I detta fall är intervallet slutet och andragradsfunktioner är alltid sammanhängande så man kan jämföra funktionsvärdena i de stationära punkterna och ändpunkterna. Det största värdet är $6.25$ och det finns där $x = 2.5 .$

5

Besvara frågan i uppgiften

Slutligen räcker det inte med att svara med ett tal, utan man behöver påminna sig själv om vad frågan egentligen är. I den här uppgiften skulle man bestämma sidlängderna och den största möjliga arean för kattgården. Största värdet för funktionen $A (x)$ bestämdes till $6.25,$ vilket innebär att gårdens maximala area är $6.25 m^{2} .$ Sidlängden $x = 2.5$ m är den längd på långsidan som ger den största arean, vilket innebär att kortsidans längd är $5 - x = 5 - 2.5 = 2.5$ m.

Kattgårdens area är alltså som störst då den har formen av en kvadrat med sidan $2.5$ m, vilket ger arean $6.25$ m $^{2} .$

Lös extremvärdesproblemet

fullscreen

Uppgift

Summan av de två icke-negativa talen $x$ och $y$ är $18 .$ Bestäm med hjälp av derivata det maximala värdet av $x^{2} y$ och ange även vad $x$ och $y$ då är.

Visa Lösning

Lösning

Vi löser detta extremvärdesproblem steg för steg och börjar med att definiera en funktion baserat på informationen vi fått.

Definiera ett funktionsuttryck som beror på en variabel

Vi vill bestämma det största möjliga värdet på produkten $x^{2} y .$ För att kunna göra det behöver vi dock ett funktionsuttryck som innehåller endast en variabel, t.ex. $x .$ Vi känner till talens summa och kan använda det för att uttrycka $y$ med hjälp av $x$ : $x + y = 18 \Leftrightarrow y = 18 - x .$ Genom att sätta in detta i produkten kan vi definiera funktionen $P (x) = x^{2} (18 - x) .$

Definiera eventuella villkor

Det är givet att talen $x$ och $y$ är icke-negativa, vilket innebär att de är positiva eller $0 .$ Detta kan skrivas som $x \geq 0 och y \geq 0 .$ Eftersom $y = 18 - x$ kan vi dock omformulera det andra villkoret. $18 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 18$ Det ger oss ytterligare ett villkor för $x,$ så sammanfattningsvis är funktionen $P (x)$ definierad på intervallet $0 \leq x \leq 18 .$

Bestäm funktionens största eller minsta värde

Vi kan nu bestämma funktionens största värde, och vi börjar med att bestämma ändpunkternas funktionsvärden. Vi sätter in $x = 0$ och $x = 18$ i funktionen $P (x) = x^{2} (18 - x) .$ $P (0) = 0^{2} (18 - 0) = 0$ $P (18) = 1 8^{2} (18 - 18) = 0$ I båda ändpunkterna är alltså funktionsvärdet $0 .$ Vi bestämmer nu var funktionen har stationära punkter genom att derivera $P (x)$ och lösa ekvationen $P^{'} (x) = 0 .$

P (x) = x^{2} (18 - x)

Distr

Multiplicera in $x^{2}$

P (x) = 18 x^{2} - x^{3}

Derive

Derivera funktion

P^{'} (x) = D (18 x^{2}) - D (x^{3})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

P^{'} (x) = 36 x - D (x^{3})

DeriveMonom

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

P^{'} (x) = 36 x - 3 x^{2}

Substitute

$P^{'} (x) = 0$

0 = 36 x - 3 x^{2}

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

36 x - 3 x^{2} = 0

DivEqn

$VL / 3 = HL / 3$

12 x - x^{2} = 0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x \cdot 12 - x \cdot x = 0

FactorOut

Bryt ut $x$

x (12 - x) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x = 0 12 - x = 0 (I) (II)

AddEqn

$(II):$ $VL + x = HL + x$

x = 0 12 = x

RearrangeEqn

$(II):$ Omarrangera ekvation

x_{1} = 0 x_{2} = 12

Vi ser att funktionen har stationära punkter i

x = 0

och

x = 12,

och båda dessa ligger på intervallet

0 \leq x \leq 18 .

Den stationära punkten i

x = 0

har samma

x

-värde som en av ändpunkterna och har därför även samma funktionsvärde:

0 .

Vi bestämmer den andra stationära punktens funktionsvärde genom att sätta in

x = 12

i

P (x) .

P (12) = 1 2^{2} \cdot (18 - 12) = 144 \cdot 6 = 864

Den har alltså koordinaterna

(12, 864) .

Verifiera största värdet

Nu har vi bestämt alla extrempunkter, och eftersom intervallet är slutet räcker det med att jämföra deras funktionsvärden för att se vilket som är störst. Båda ändpunkterna har funktionsvärdet $0,$ så det största värdet måste vara $864 .$

Besvara frågan

Den maximala produkten av $x^{2}$ och $y$ är alltså $864 .$ Frågan är dock inte bara vilken den maximala produkten är utan även vilka två tal som ger denna. Det ena talet, $x,$ vet vi är lika med $12$ och det andra talet, $y,$ kan vi då beräkna med $y = 18 - x .$ $y = 18 - x = 18 - 12 = 6$ Talen $x = 12$ och $y = 6$ ger alltså det maximala värdet $864$ på produkten $x^{2} y .$

1

2

3

4

5

Exempel

Lös extremvärdesproblemet

Definiera ett funktionsuttryck som beror på en variabel

Definiera eventuella villkor

Bestäm funktionens största eller minsta värde

Verifiera största värdet

Besvara frågan