2. Exponentialekvationer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
2.
Exponentialekvationer
Denna lektion fokuserar på att lösa exponentialekvationer, en typ av icke-linjära ekvationer, genom att använda grafiska metoder. Den beskriver hur man skriver ekvationsled som funktioner på räknaren, ritar ut funktionerna i ett koordinatsystem och använder räknaren för att hitta skärningspunkten mellan två grafer.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Exponentialekvationer
Sida av 5
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Exponentialekvation
- Grafisk lösning
- Lösa ekvation grafiskt med räknare
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Exponentialekvation
Exponentialekvationer är ekvationer på formen
a^x=b.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Grafisk lösning
Vissa ekvationer kan vara svåra att lösa algebraiskt, exempelvis exponentialekvationen 1,5^x=5,0625. Då kan man prova att lösa den grafiskt istället genom att tolka ekvationens led som två separata funktioner och bestämma var graferna till dessa skär varandra.
1
Skriv ekvationens led som funktioner
expand_more 2
Rita graferna till funktionerna
expand_more 
3
Läs av x-värden där graferna skär varandra
expand_more Lösningen till ekvationen 1,5^x=5,0625 får man genom att läsa av x-värdet för den punkt där graferna skär varandra.
Graferna skär varandra där x=4, vilket alltså är lösningen på ekvationen. På många grafräknare finns det inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkten.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Digitala verktyg
Lösa ekvation grafiskt med räknare
1
Skriv in funktionerna på räknaren
expand_more Ekvationernas led skrivs in som funktioner på räknaren. Det görs genom att först trycka på Y= och sedan skriva in funktionsuttrycken på raderna Y_1, Y_2 osv. För att skriva x använder man X,T,θ,n
2
Rita funktionerna
expand_more När funktionerna skrivits in på räknaren trycker man på GRAPH för att rita ut funktionerna i ett koordinatsystem.
För att ändra de x- och y-värden som koordinatsystemet ritas mellan kan man trycka på WINDOW, där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.
3
Hitta skärningspunkten
expand_more Man kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två graferna. Verktyget som gör detta hittar man genom att först trycka på 2ND+TRACE och sedan 
intersect.
När man har valt intersect
visas de graferna igen och man kan nu välja mellan vilka av dem som skärningspunkten ska bestämmas.
- First curve: Välj den första grafen genom att trycka på ENTER. Man kan välja mellan graferna med upp- och nedpilarna.
- Second curve: Välj den andra grafen.
- Guess: För att räknaren ska kunna bestämma skärningspunkten snabbare ber den om en gissning som startpunkt. Placera markören i närheten av skärningspunkten genom att använda höger- och vänsterpilarna och tryck sedan på ENTER.
Nu skrivs skärningspunktens x- och y-värde ut och x är ekvationens lösning.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Att lösa exponentialekvationer
Betrakta följande ekvation. 10^x=3,16
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,5"]}}
b Lös ekvationen med hjälp av ett ekvationslösningsverktyg. Avrunda svaret till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,5"]}}
Ledtråd
a Skriv om varje sida av ekvationen som en separat funktion. Rita grafen för båda och hitta skärningspunkten.
b Använd till exempel GeoGebra med funktionen
NLös(ekvation), där ekvationen skrivs inom parenteserna
Lösning
a För att lösa ekvationen grafiskt, dela upp ekvationen i två separata funktioner — en för vänsterledet och en för högerledet.
y=10^x and y=3,16 Grafrit sedan dessa funktioner med till exempel en grafräknare. Börja med att trycka på Y= och skriv in funktionsuttrycken.
Tryck sedan på knappen GRAPH för att rita funktionerna i ett koordinatsystem. För att ändra de x- och y-värden mellan vilka koordinatsystemet ritas, tryck på WINDOW, där inställningarna för hur koordinatsystemet visas kan justeras.
Tryck nu på 2ND + TRACE och välj intersect
för att hitta skärningspunkten mellan graferna.
Graferna visas igen. Välj vilken graf som ska vara den first curve
och den second curve
; ordningen spelar ingen roll. Tryck slutligen på ENTER.
x- och y-värdena för skärningspunkten visas. x-värdet representerar lösningen på ekvationen, vilket är ungefär 0,5.
b I det här fallet används GeoGebra för att lösa ekvationen. Använd den inbyggda funktionen
NLös(ekvation), där ekvationen skrivs inom parentesen.
NLös(10^x = 3.16)
≈ { x = 0.49996870826184 }
≈ { x = 0.49996870826184 }
Lösningen stämmer överens med det som tidigare erhölls. Det betyder att lösningen till den exponentiella ekvationen är ungefär 0,5.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exponentialekvationer
Uppgift 3.1
Använd grafen och lös ekvationen.
Nationella provet HT13 2a
{"type":"text","form":{"type":"interval","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true},"text":""},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"2,6","ineq1":"le","text2":"2,8","ineq2":"le"}}
Nationella provet HT13 2a
{"type":"text","form":{"type":"interval","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true},"text":""},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-2,8","ineq1":"le","text2":"-2,6","ineq2":"le"}}
security
report
code
security
report
code
Vi ska bestämma för vilket x-värde funktionen antar funktionsvärdet (y-värdet) 3. Det gör vi genom avläsning i grafen. Vi startar då på y-värdet 3 på y-axeln och går ut till grafen. När vi når den går vi rakt ner till x-axeln och läser av värdet där.
Vi ser att x-värdet är ca 2,7, vilket innebär att ekvationen har lösningen x≈2,7.
Nu ska vi lösa ekvationen
1,5^x*1,5^(-2x)=3.
För att göra det måste vi först förenkla vänsterledet. Potenserna har samma bas så vi kan addera exponenterna.
Nu använder vi regeln för potenser med negativ exponent, vilket ger 1/1,5^x=3. Genom att multiplicera upp nämnaren och sedan dividera med 3 får vi en ekvation som går att lösa med grafen vi fått.
Denna ekvation kan vi lösa på samma sätt som den i föregående deluppgift, dvs. genom avläsning. Nu startar vi istället på y-värdet 13 när vi går ut till grafen. Då ser vi att motsvarande x-värde är ca -2,7.
Det innebär att ekvationen har lösningen x≈-2,7.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Exponentialekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll