body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

Matematik 2b /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Begrepp

Kvadratrot

Kvadratroten ur ett tal $a,$ vilket skrivs $a$ , är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir $a .$ Exempelvis är $16$ lika med $4$ eftersom $4 \cdot 4 = 16$ och på samma sätt är $25$ lika med $5$ eftersom $5 \cdot 5 = 25 .$ Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.

$a \cdot a = a eller (a)^{2} = a$

Drar man kvadratroten ur ett positivt tal

a

som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka

a .

Begrepp

Rotuttryck

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket $327,$ vilket utläses kubikroten ur $27$ eller "tredje roten ur $27$ ", så anger $3$ :an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt $3$ gånger blir $27,$ alltså $3 .$ Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är $n a$ det tal som multiplicerat med sig själv $n$ gånger är lika med $a .$

$n st . n a \cdot n a \cdot \dots \cdot n a = a$

På räknaren finns det också inbyggd funktionalitet för att skriva rotuttryck.

Digitala verktyg

Rotuttryck på räknare

Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren.

Digitala verktyg

Kvadratrot och tredje roten ur

För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen

5

(2nd +

x^{2}

). Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.

TI-beräkning som visar kvadratroten ur 36

På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH och välja $3 1 ($ följt av talet och slutparentes.

TI-meny som visar MATH, med tredje roten ur valt

Digitala verktyg

Andra typer av rotuttryck

För att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.

Därefter trycker man på MATH och väljer $x 1,$ där $x$ :et står för en godtycklig rot.

TI-meny som visar MATH, med x:te roten ur valt

Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.

TI-beräkning som visar en 4:e roten ur 81

Regel

Potenser på formen $a^{1 / n}$

Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen $1 / n$ med ett positivt heltal $n$ som anger typen av rot. Till exempel kan $327$ skrivas som $2 7^{1 / 3}$ och $5100$ kan skrivas som $10 0^{1 / 5} .$

Regel

n a = a^{1 / n}

Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex.

(9)^{2} = 9 .

Ur detta kan man lösa ut

9

genom att höja upp båda led med

1 / 2

och använda potenslagarna.

(9)^{2} = 9

RaiseEqn

$VL^{1 / 2} = HL^{1 / 2}$

((9)^{2})^{1 / 2} = 9^{1 / 2}

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

(9)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 9^{1 / 2}

DenomMultFracToNumber

$2 \cdot \frac{a}{2} = a$

(9)^{1} = 9^{1 / 2}

ExponentOne

$a^{1} = a$

9 = 9^{1 / 2}

Kvadratroten ur 9 kan alltså skrivas

9^{1 / 2} .

Denna regel brukar uttryckas som

a = a^{1 / 2} .

På liknande sätt kan man motivera att

3 a = a^{1 / 3},

eller mer generellt

n a = a^{1 / n} .

Beräkningar med rotuttryck

fullscreen

Beräkna utan räknare:

1 6^{1 / 2} - 2 7^{1 / 3} + (5)^{2} .

Visa Lösning

Vi börjar med att skriva om de två första termerna som rotuttryck. Upphöjt till $1 / 2$ betyder samma sak som kvadratroten ur och den andra termen, $2 7^{1 / 3},$ kan skrivas om till en kubikrot. I den sista termen tar rottecknet och kvadraten ut varandra.

1 6^{1 / 2} - 2 7^{1 / 3} + (5)^{2}

PowToSqrtSL

$a^{1 / 2} = a$

16 - 2 7^{1 / 3} + (5)^{2}

PowToRootSL

$a^{1 / n} = n a$

16 - 327 + (5)^{2}

CalcRoot

Beräkna rot

4 - 3 + (5)^{2}

PowSqrt

$(a)^{2} = a$

4 - 3 + 5

AddSubTerms

Förenkla termer

6

Regel

Potenser på formen $a^{b / n}$

En potens med en exponent som är ett bråk där täljaren inte är

1

, t.ex.

8^{2 / 5},

kan skrivas om som en kombination av ett rotuttryck och en potens:

8^{2 / 5} = 5 8^{2} = (58)^{2} .

Exponentens nämnare anger alltså vilken sorts rot det är och täljaren hamnar som en exponent, antingen på basen eller på hela rotuttrycket.

Regel

n a^{b} = a^{b / n}

Man kan utgå från t.ex.

5 8^{2}

och visa hur täljaren i exponenten hamnar som exponent på talet under rottecknet genom att använda potenslagarna.

5 8^{2}

RootToPowD

$n a = a^{\frac{1}{n}}$

(8^{2})^{\frac{1}{5}}

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

8^{2 \cdot \frac{1}{5}}

MoveLeftFacToNumOne

$a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$

8^{\frac{2}{5}}

Rotuttrycket

5 8^{2}

kan alltså skrivas som

8^{2 / 5} .

Med samma motivering som för

n a^{b} = a^{b / n}

kan man även visa omskrivningen

(n a)^{b} = a^{b / n} .

Digitala verktyg

Potenser på räknare

Om man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.

TI-beräkning som visar potens med bråk i exponenten

Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om $\land$ hamnar i exponenten.

TI-beräkning som visar potens med bråk utan parenteser

Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.

Regel

Multiplikation och division med rotuttryck

Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. $2 \cdot 8,$ finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna $2$ eller $8$ separat men man kan skriva om $2 \cdot 8$ som $16,$ vilket är lika med $4 .$ Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.

Regel

n a \cdot n b = n a \cdot b

En produkt av två rotuttryck, t.ex. $42 \cdot 43$ , kan skrivas som ett enda rotuttryck: $4 2 \cdot 3 .$ Man kan motivera varför genom att skriva $42 \cdot 43$ som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.

42 \cdot 43

RootToPowSL

$n a = a^{1 / n}$

2^{1 / 4} \cdot 3^{1 / 4}

ProdPow

$a^{c} \cdot b^{c} = (a \cdot b)^{c}$

(2 \cdot 3)^{1 / 4}

PowToRootSL

$a^{1 / n} = n a$

4 2 \cdot 3

Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då

a \cdot b,

inte

2 a \cdot b .

Regel

\frac{n a}{n b} = n \frac{a}{b}

En kvot av två rotuttryck, t.ex. $\frac{4 2}{4 3},$ kan skrivas som ett enda rotuttryck: $4 \frac{2}{3}$ . Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.

\frac{4 2}{4 3}

RootToPowSL

$n a = a^{1 / n}$

\frac{2 ^{1 / 4}}{3 ^{1 / 4}}

QuotPow

$\frac{a ^{c}}{b ^{c}} = (\frac{a}{b})^{c}$

(\frac{2}{3})^{1 / 4}

PowToRootSL

$a^{1 / n} = n a$

4 \frac{2}{3}

Regeln gäller om

a

och

b

är reella, där

a

är icke-negativt och

b

är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva

\frac{a}{b}

och inte

2 \frac{a}{b} .

Förenkla rotuttrycket

fullscreen

Beräkna utan räknare:

\frac{6 \cdot 3}{2} .

Visa Lösning

Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.