Enhetscirkeln: Utforska sin och cos i trigonometri

Man kan man visa några samband för de trigonometriska funktionerna med hjälp av bl.a. definitionen för sinus och cosinus samt symmetrin i enhetscirkeln.

Regel

tan (v) = \frac{sin ( v )}{cos ( v )}

Regel

Samband mellan tangens, sinus och cosinus

Tangensvärdet för en vinkel $v$ är lika med kvoten mellan sinusvärdet och cosinusvärdet för samma vinkel.

$tan (v) = \frac{sin ( v )}{cos ( v )}$

Vinkeln $v$ i enhetscirkeln svarar mot en punkt med koordinaterna $(cos (v), sin (v)),$ vilket också är katetlängderna på den triangel som kan ritas in mot $x$ -axeln.

Eftersom tangens för en vinkel definieras som den motstående kateten dividerat med den närliggande får man

tan (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{N a ¨ rliggande katet} = \frac{sin ( v )}{cos ( v )} .

Detta är en kvot, så nämnaren får inte vara

0

. Det betyder att

tan (v)

är odefinierad för de vinklar som gör att cosinusvärdet blir

0,

t.ex.

v = 9 0^{\circ}

och

v = 27 0^{\circ} .

Regel

cos (- v) = cos (v)

Regel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel $- v$ är lika med cosinusvärdet för den positiva vinkeln $v .$

$cos (- v) = cos (v)$

Om man t.ex. ritar in vinkeln $- 6 0^{\circ}$ i enhetscirkeln vrids den lika långt som en $6 0^{\circ}$ -vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att man får samma $x$ -värde som för $6 0^{\circ} .$

Eftersom cosinusvärdet av en vinkel motsvarar $x$ -värdet betyder det att

cos (- 6 0^{\circ}) = cos (6 0^{\circ}) .

Regel

sin (- v) = - sin (v)

Regel

Sinusvärdet för en negativ vinkel

Sinusvärdet för en negativ vinkel $- v$ är lika med "minus" sinusvärdet för den positiva vinkeln $v .$

$sin (- v) = - sin (v)$

Om man t.ex. ritar in vinkeln $- 3 0^{\circ}$ i enhetscirkeln kommer den att vridas lika långt som en $3 0^{\circ}$ -vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att $y$ -värdet för punkten är likadant som för $3 0^{\circ}$ men negativt.

Sinusvärdet av en vinkel motsvarar $y$ -värdet, så sambandet mellan $sin (- 3 0^{\circ})$ och $sin (3 0^{\circ})$ är alltså att de har samma storlek, men olika tecken:

sin (- 3 0^{\circ}) = - sin (3 0^{\circ}) .

Regel

sin (v) = sin (18 0^{\circ} - v)

Regel

Sinusvärdet för en vinkel speglad i $y$ -axeln

Sinusvärdet för en vinkel $v$ är lika med sinusvärdet för vinkeln $18 0^{\circ} - v .$

$sin (v) = sin (18 0^{\circ} - v)$

Om man t.ex. ritar in vinkeln $3 0^{\circ}$ i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan $y$ -axeln som också skapar vinkeln $3 0^{\circ},$ men mot den negativa $x$ -axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma höjd, och därför ha samma $y$ -värde.

Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av $x$ -axeln kommer den att vara $18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} .$

Båda dessa vinklar motsvarar samma $y$ -värde och eftersom sinusvärdet för vinklarna är lika med detta $y$ -värde betyder det att

sin (3 0^{\circ}) = sin (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}) .

$v$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin (v)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos (v)$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$
$tan (v)$	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	Odef.	$- 3$	$- 1$	$- \frac{1}{3}$	$0$

v

0^{\circ}

3 0^{\circ}

4 5^{\circ}

6 0^{\circ}

9 0^{\circ}

12 0^{\circ}

13 5^{\circ}

15 0^{\circ}

18 0^{\circ}

sin (v)

0

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

1

\frac{3}{2}

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

0

cos (v)

1

\frac{3}{2}

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

0

- \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

- \frac{3}{2}

- 1

tan (v)

0

\frac{1}{3}

1

3

Odef.

- 3

- 1

- \frac{1}{3}

0

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Regel

Trigonometri i enhetscirkeln

Exempel

Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln

Regel

Trigonometriska samband

Regel

Regel

Samband mellan tangens, sinus och cosinus

Regel

Regel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel

Regel

Regel

Sinusvärdet för en negativ vinkel

Regel

Regel

Sinusvärdet för en vinkel speglad i $y$ -axeln

Memo

Trigonometriska värden för standardvinklar – grader

Exempel

Bestäm de trigonometriska värdena exakt

$2 cos (12 0^{\circ})$

$sin (- 4 5^{\circ})$

$\frac{sin ( 1 5 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}$

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Exempel

Bestäm punktens koordinater på enhetscirkeln

Regel

Regel

Regel

Regel

Exempel

Bestäm de trigonometriska värdena exakt

2cos(120∘)

sin(-45∘)

cos(30∘)sin(150∘)​

$2 cos (12 0^{\circ})$

$sin (- 4 5^{\circ})$

$\frac{sin ( 1 5 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}$