4. Ekvationssystem Åk 9
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
4.
Ekvationssystem Åk 9
Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 12 sidor teori |
| | 24 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Ekvationssystem Åk 9
Sida av 12
I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:
- Ekvationssystem
- Grafisk metod
- Algebraisk metod
- Ersättningsmetoden
Förkunskaper
Teori
Dela
Rapportera fel
Ekvationssystem
Ekvationen y = - x + 4 innehåller två variabler och har därför oändligt många lösningar. Några exempel är
x=0 y=4 och x=3 y=1 .
Ekvationen y = 2x - 2 har också oändligt många lösningar. Här kan vi t.ex. välja
x=0 y=-2 eller x=3 y=4 .
Varje ekvation motsvarar en rak linje i koordinatsystemet. Alla punkter på en linje uppfyller den ekvation som linjen representerar.
De två ekvationerna tillsammans bildar ett ekvationssystem.
y = -x + 4 y = 2x - 2
Den punkt där de två linjerna möts måste uppfylla båda ekvationerna samtidigt.
Teori
Dela
Rapportera fel
Metoder för att lösa ekvationssystem
Ett ekvationssystem består av två (eller fler) ekvationer som ska uppfyllas samtidigt. För att hitta de tal som gör båda ekvationerna sanna kan vi använda antingen den grafiska metoden eller en algebraisk metod.
y = - x + 7 y = x + 1
Den grafiska metoden går ut på att vi ritar upp varje ekvation som en linje i ett koordinatsystem. Där linjerna möts får vi en punkt — skärningspunkten. Koordinaterna för den punkten är de värden som löser båda ekvationerna, alltså lösningen till systemet. Till exempel, om vi ritar linjerna y = - x + 7 och y = x + 1 får vi en skärningspunkt ungefär i (3,4).
Detta betyder att x = 3 och y = 4 uppfyller båda ekvationerna.
En algebraisk metod arbetar med symbolerna utan att rita. En vanlig teknik är ersättningsmetoden. När vi ersätter variabeln i den ena ekvationen med ett uttryck från den andra får vi en ekvation som bara innehåller en variabel, vilket gör den lätt att lösa. När den första variabeln är bestämd beräknar vi den andra med någon av de ursprungliga ekvationerna.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Modellering med ett system av linjära ekvationer
Lucas köpte x munkar och y bubble teas. Varje munk kostade 20kr och varje bubble tea kostade 60kr. Totalt köpte Lucas 20 saker och betalade 720kr.
x+y=20 20x+60y=720
för att bestämma hur många munkar (x) och hur många bubble teas (y) Lucas köpte.
Första ekvationen:
x + y = 20
y=- x+20
Lös för y. Den första ekvationen kan skrivas om till k-formen y=kx+m. Det gör det lättare att jämföra ekvationerna och rita graferna.
Andra ekvationen:
60y &= -20x+720 y &=-1/3x+12
Lös den andra ekvationen för y. Flytta först 20x till högerledet och dela sedan båda sidor med 60.
Lutning och intercept:
k=-1/3 och m=12
Identifiera k- och m-värdena för den andra linjen.
Använd k- och m-värdena för att rita linjerna.
Den första linjen går genom (0,20) och (2,18).
Den andra linjen går genom (0,12) och (6,10).
Skärningspunkten för linjerna är P(12,8).
Identifiera skärningspunkten.
Svar: Lucas köpte x=12 munkar och y=8 bubble teas.
Övning
Dela
Rapportera fel
Hitta Lösningen till ett Ekvationssystem
Utforska
Dela
Rapportera fel
Linjer i Samma Plan
I det givna koordinatsystemet är fyra linjer ritade och deras respektive linjära ekvationer skrivna. Din uppgift är att undersöka hur linjerna förhåller sig till varandra: du ska avgöra vilka av dem som möts i exakt en punkt, vilka som sammanfaller och därmed har oändligt många gemensamma punkter, samt vilka som är parallella och därför aldrig skär varandra.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Lösa ett linjärt system
Lös det följande systemet grafiskt. 5x+2y = 28 4y = 68-10x
2y = -5x + 28 4y = -10x + 68
Skriv båda ekvationerna på formen y=kx+m. För att göra det, samla x-termerna i högerledet.
y = -2,5x + 14 y = -2,5x + 17
Dividera den första ekvationen med 2 och den andra ekvationen med 4.
Rita linjerna i ett koordinatsystem.
Linjerna är parallella och skär därför aldrig varandra.
Lösningen till ekvationssystemet är skärningspunkten mellan linjerna. Identifiera den.
Svar: Ekvationssystemet har ingen lösning.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Bygga en modellraket
Tobias bygger en modellraket. Lös ekvationssystemet
x+4y=42 8x-5y=3
för att bestämma hur många delar (x) och hur många minuter (y) som Tobias använde.
x+4y=42 8x-5y=3
Systemet beskriver sambandet mellan antalet delar och tiden Tobias använde.
x = 42- 4y
Ekvation (I) skrivs om så att x uttrycks med hjälp av y. Det gör det lättare att använda ekvationen i nästa steg.
8(42-4y)-5y &= 3 336 - 32y - 5y &= 3 336 - 37y &= 3 -37y &= -333 y &= 9
Här ersätter du uttrycket för x i ekvation (II). Då får du en ekvation med bara y, vilket gör den enkel att lösa.
x &= 42-4(9) x &= 6
Ersätt y=9 i ekvation (I).
x=6 y=9
Dessa värden uppfyller båda ekvationerna och är därför lösningen till systemet.
Svar: Tobias installerade 6 delar på modellen på 9 minuter.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Hur många lösningar har det?
Hitta antalet lösningar till följande ekvationssystem.
x + 2y = 4 2x + 4y = 8
x = 4 - 2y
Lös den första ekvationen för x.
2(4-2y) + 4y = 8
Sätt in uttrycket för x i den andra ekvationen.
8 - 4y + 4y &= 8 8 &= 8 ✓
Lös ekvationen för y.
Ekvationen har oändligt många lösningar.
Om du får ett sant påstående när du löser en ekvation betyder det att ekvationen har oändligt många lösningar.
Svar: Systemet har oändligt många lösningar.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Lösa ett ekvationssystem
Lös följande ekvationssystem.
16x = -8y + 20 y = 4-2x
16x = -8(4-2x) + 20
Ersätt den andra ekvationen i den första.
16x &= -32 + 16x + 20 16x-16x &= -12 0 &= -12 *
Lös ekvationen för x.
Ekvationen har ingen lösning.
Om du får ett sant påstående har ekvationen oändligt många lösningar.
Om du får ett falskt påstående har ekvationen ingen lösning.
Svar: Systemet har ingen lösning.
Övning
Dela
Rapportera fel
Öva på att lösa linjära ekvationssystem
Övning
Dela
Rapportera fel
Kontrollera lösningarna av system av ekvationer
Ersätt de givna värdena i ekvationerna.
- Om två sanna uttalanden erhålls motsvarar värdena en lösning.
- Om minst ett falskt uttalande erhålls motsvarar värdena inte lösningen av systemet.
Ekvationssystem Åk 9
Uppgifter
Linjerna i ett ekvationssystem är grafiskt representerade nedan.
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"x"},{"id":1,"text":"y"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":"3"},{"id":1,"text":"5"}],"noSolution":false,"infiniteSolution":false}}
security
report
code
security
report
code
<row> <cell role="sol"> Linjerna skär varandra i punkten (3, 5). </cell> </row>
<row>
<cell role="exp">
Skärningspunkten mellan linjerna representerar lösningen till ekvationssystemet.
Avläs koordinaterna där linjerna skär varandra i grafen.
</cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Lösningen till ekvationssystemet är x=3 y=5. </cell> </row>
security
report
code
Ida höll på att lösa följande system av ekvationer när något märkligt hände.
y = 5-2x 2y +4x =10
Vad är märkbart om linjerna ritas i samma koordinatsystem?
{"type":"choice","form":{"alts":["Linjerna \u00f6verlappar.","Linjerna sk\u00e4r inte varandra.","Linjerna sk\u00e4r varandra en g\u00e5ng."],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
<row> <cell left="true" role="sol"> y = 5-2x 2y +4x =10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>
<row>
<cell left="true" role="sol">
Den första linjen: y = 5-2x
Lutning: k = -2
Skärning med y-axeln: (0, 5)
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Identifiera lutning och skärning med y-axeln för den första linjen.
</cell>
</row>
<row>
<cell left="true" role="sol">
Den andra linjen: 2y + 4x = 10
När x=0: y = 5, punkt: (0, 5)
När y=0: x = 2,5, punkt: (2,5; 0)
</cell>
<cell right="true" role="exp">
För den andra linjen, bestäm två punkter genom att sätta x=0 och y=0.
</cell>
</row>
<row>
<cell role="sol">
</cell> </row>
<row> <cell role="exp"> Rita båda linjerna i samma koordinatsystem. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> Linjerna sammanfaller och överlappar varandra helt. </cell> <cell right="true" role="exp"> Skär linjerna varandra? Om ja, i hur många punkter? </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> Svar: Linjerna överlappar, trots att de har olika ekvationer. </cell> <cell right="true" role="exp"> Beskriv vad Ida lade märke till. </cell> </row>
security
report
code
Lös varje system av ekvationer grafiskt.
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"x"},{"id":1,"text":"y"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":"4"},{"id":1,"text":"8"}],"noSolution":false,"infiniteSolution":false}}
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"x"},{"id":1,"text":"y"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":"-1"},{"id":1,"text":"5"}],"noSolution":false,"infiniteSolution":false}}
security
report
code
security
report
code
<row>
<cell left="true" role="sol">
y=3x-4 y=x+4
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Skriv upp ekvationssystemet.
</cell>
</row>
<row>
<cell left="true" role="sol">
Linje 1: k=3 och m=-4
Linje 2: k=1 och m=4
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Identifiera k-värdet och m-värdet för varje linje.
</cell>
</row>
<row> <cell role="sol">
</cell> </row>
<row> <cell role="exp"> Rita båda linjerna i samma koordinatsystem och markera skärningspunkten. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> Linjerna skär varandra i punkten (4, 8). </cell> <cell right="true" role="exp"> Avläs koordinaterna för skärningspunkten. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: x=4 y=8 </cell> </row>
<row>
<cell left="true" role="sol">
y=-3x+2 y=-2x+3
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Skriv upp ekvationssystemet.
</cell>
</row>
<row>
<cell left="true" role="sol">
Linje 1: k=-3 och m=2
Linje 2: k=-2 och m=3
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Identifiera k-värdet och m-värdet för varje linje.
</cell>
</row>
<row> <cell role="sol">
</cell> </row>
<row> <cell role="exp"> Rita båda linjerna i samma koordinatsystem och markera skärningspunkten. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> Linjerna skär varandra i punkten (-1, 5). </cell> <cell right="true" role="exp"> Avläs koordinaterna för skärningspunkten. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: x=-1 y=5 </cell> </row>
security
report
code
Bestäm lösningen på ekvationssystemet som representeras i var och en av de följande graferna.
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"x"},{"id":1,"text":"y"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":"3"},{"id":1,"text":"-2"}],"noSolution":false,"infiniteSolution":false}}
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"x"},{"id":1,"text":"y"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":"2"},{"id":1,"text":"1"}],"noSolution":false,"infiniteSolution":false}}
security
report
code
security
report
code
<row>
<cell role="sol">
Linjerna skär varandra i punkten (3,-2).
</cell>
</row>
<row>
<cell role="exp">
Skärningspunkten mellan linjerna representerar lösningen till ekvationssystemet.
Avläs koordinaterna där linjerna skär varandra i grafen.
</cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Lösningen till ekvationssystemet är x=3 y=-2. </cell> </row>
<row>
<cell role="sol">
Linjerna skär varandra i punkten (2,1).
</cell>
</row>
<row> <cell role="exp"> Avläs koordinaterna där linjerna skär varandra i grafen.
</cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Lösningen till ekvationssystemet är x=2 y=1. </cell> </row>
security
report
code
Lös följande ekvationssystem genom att använda ersättningsmetoden.
x=3y-17 y=11-x
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"x"},{"id":1,"text":"y"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":"4"},{"id":1,"text":"7"}],"noSolution":false,"infiniteSolution":false}}
security
report
code
security
report
code
<row> <cell left="true" role="sol"> x=3y-17 & (I) y=11-x & (II) </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv upp ekvationssystemet. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> y &= 11-(3y-17) y &= 11- 3y + 17 y+3y &= 11 + 17 4y &= 28 y &= 7 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in x=3y−17 i ekvation (II) och lös ut y. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> x &= 3(7)-17 x &= 4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in y=7 i ekvation (I). </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Lösningen är x=4 y=7. </cell> </row>
security
report
code
Lös ekvationssystemet.
2x-2=3y & (I) 5(2x-2)+ y = 32 & (II)
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"x"},{"id":1,"text":"y"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":"4"},{"id":1,"text":"2"}],"noSolution":false,"infiniteSolution":false}}
security
report
code
security
report
code
<row> <cell left="true" role="sol"> 2x-2=3y & (I) 5(2x-2)+ y = 32 & (II) </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv upp ekvationssystemet. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 5(3y) + y = 32 </cell> <cell right="true" role="exp"> I ekvation (I) är 2x-2=3y. Sätt in 3y i stället för 2x-2 i ekvation (II). </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 15y+y &= 32 16y &= 32 y &= 2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla och lös ut y. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 2x-2 &= 3(2) 2x-2 &= 6 2x &= 8 x &= 4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in y=2 i ekvation (I) och lös ut x. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Lösningen är x=4 y=2. </cell> </row>
security
report
code
Hur många lösningar har varje ekvationssystem?
{"type":"choice","form":{"alts":["Inga l\u00f6sningar","En l\u00f6sning","O\u00e4ndligt m\u00e5nga l\u00f6sningar"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
{"type":"choice","form":{"alts":["Inga l\u00f6sningar","En l\u00f6sning","O\u00e4ndligt m\u00e5nga l\u00f6sningar"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
{"type":"choice","form":{"alts":["Inga l\u00f6sningar","En l\u00f6sning","O\u00e4ndligt m\u00e5nga l\u00f6sningar"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
security
report
code
security
report
code
<row>
<cell left="true" role="sol">
y = 7x + 5 & (I) y = - 7x + 5 & (II)
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Skriv upp ekvationssystemet.
</cell>
</row>
<row>
<cell left="true" role="sol">
Linje 1: k=7 och m=5.
Linje 2: k=-7 och m=5.
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Identifiera k- och m-värdena för linjerna.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> Eftersom k-värdena är olika skär linjerna varandra i exakt en punkt. </cell> <cell right="true" role="exp"> Linjer med olika lutning skär alltid varandra. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Systemet har en lösning. </cell> </row>
<row>
<cell left="true" role="sol">
2y+8=6x & (I) 9x-3y=- 6 & (II)
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Skriv upp ekvationssystemet.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 2y + 8 &= 6x 2y &= 6x - 8 y &= 3x - 4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv om ekvation (I) på formen y=kx+m. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 9x - 3y &= -6 -3y &= -9x - 6 y &= 3x + 2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv om ekvation (II) på formen y=kx+m. </cell> </row>
<row>
<cell left="true" role="sol">
Linje 1: k=3 och m=-4.
Linje 2: k=3 och m=2.
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Identifiera k- och m-värdena för linjerna.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> Eftersom k-värdena är lika och m-värdena är olika är linjerna parallella och skär aldrig varandra. </cell> <cell right="true" role="exp"> Linjer med samma lutning men olika skärningspunkt med y-axeln är parallella. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Systemet har ingen lösning. </cell> </row>
<row>
<cell left="true" role="sol">
x + 5y = 0 & (I) 20y=- 4x & (II)
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Skriv upp ekvationssystemet.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> x + 5y &= 0 5y &= - x y &= -1/5x </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv om ekvation (I) på formen y=kx+m. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 20y &= -4x y &= -1/5x </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv om ekvation (II) på formen y=kx+m. </cell> </row>
<row>
<cell left="true" role="sol">
Linje 1: k=-1/5 och m=0.
Linje 2: k=-1/5 och m=0.
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Identifiera k- och m-värdena för linjerna.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> Eftersom linjerna har samma k- och m-värden sammanfaller de. </cell> <cell right="true" role="exp"> Linjer som sammanfaller ligger ovanpå varandra och delar alla punkter. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Systemet har oändligt många lösningar. </cell> </row>
security
report
code
Davontay och Elsa är syskon. Summan av deras åldrar är 42. Summan av Davontays ålder och 3 gånger Elsas ålder är 76. Hur gamla är syskonen?
{"type":"text","form":{"type":"list","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"ordermatters":false,"numinput":2,"listEditable":false,"hideNoSolution":true},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["25","17"]}}
security
report
code
security
report
code
<row>
<cell left="true" role="sol">
Summan av deras åldrar är 42.
Summan av Davontays ålder och 3 gånger Elsas ålder är 76.
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Börja med att skriva ner det du vet.
</cell>
</row>
<row>
<cell left="true" role="sol">
d + e = 42
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Låt d vara Davontays ålder och e vara Elsas ålder.
Skriv en ekvation för att syskonens åldrar summerar till 42.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> d + 3e = 76 </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv en andra ekvation för att Davontays ålder plus tre gånger Elsas ålder är 76. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> d+e = 42 & (I) d+3e = 76 & (II) </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv ekvationssystemet. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> d = 42-e </cell> <cell right="true" role="exp"> Lös ekvation (I) för d. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 42-e + 3e &= 76 2e &= 76-42 2e &= 34 e &= 17 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in d=42-e i ekvation (II) och lös ut e. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> d = 42-17 = 25 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in e=17 i ekvation (I). </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Davontay är 25 år gammal och Elsa är 17 år gammal. </cell> </row>
security
report
code
Ekvationssystem Åk 9
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll