Dashboard

Årskurs 8 Visa detaljer

4. Ekvationer Åk 8

Klar med uppgifterna

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 8 /

Kapitel 4

Ekvationer Åk 8

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Inställningar & verktyg för lektion

	7 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Ekvationer Åk 8

Sida av 7

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Ekvation
Balansmetoden

Förkunskaper

Teori

Ekvation

En ekvation är en matematisk likhet som innehåller minst ett obekant tal. När vi skriver en ekvation använder vi ett likhetstecken som visar att värdet på vänster sida är lika med värdet på höger sida. Vi kan till exempel ha ekvationen:

\gathered{

2x + 5 = 11

}

Här består vänsterledet (V.L.) av $2x + 5$ och högerledet (H.L.) av $11.$ Det betyder att vänsterledets värde måste vara lika med högerledets värde.

\gathered{\underbrace{\ 2x+5 \ }\quad =\quad \underbrace{\ 11 \ } \\ \text{vänster led } \ \ \ \ \text{ } \text{ höger led} \ \ \ }

För att lösa en ekvation kan vi använda balansmetoden. Metoden går ut på att vi alltid gör samma beräkning på båda sidor av likhetstecknet. På så sätt bevaras balansen i ekvationen, och vi kan steg för steg hitta värdet på det obekanta talet. Vi kan till exempel lösa ekvationen:

\gathered{ x + 3 = 7 }

Med balansmetoden tar vi bort $3$ från båda sidor:

\gathered{ x + 3 - 3 = 7 - 3 }

Då får vi:

\gathered{ x = 4 }

Vi har alltså löst ekvationen och funnit att $x = 4.$

Övning

Lösa ekvationer

Lös ekvationerna med hjälp av balansmetoden. Om nödvändigt, avrunda svaren till två decimaler.

Slumpgenerator för ekvationer med parenteser på en eller båda sidorna.

Exempel

Lösa ekvationer

Granska följande förklaringar på hur ekvationer kan lösas med balansmetoden.

a Lös $\dfrac{15x}{2}-2 = 28.$

$\dfrac{15x}{2}-2 = 28$

Börja med att skriva av ekvationen.

$\dfrac{15x}{2}-2 \colIII{+ 2}= 28\colIII{ + 2}$

Addera $2$ till båda sidor av ekvationen.

$\dfrac{15x}{2} = 30$

$\dfrac{15x}{2} \t \colIII{ \ 2} = 30 \t \colIII{ \ 2}$

Multiplicera båda sidor med $2$ för att ta bort nämnaren.

$15x = 60$

$\dfrac{15x}{\colIII{15}} = \dfrac{60}{\colIII{15}}$

Dividera båda sidor med $15$ för att få $x$ ensamt.

$x=4$

Svar: $x=4$

b Lös $r + 3 + 2r = 5r - 7 -r.$

$r + 3 + 2r = 5r - 7 -r$

Börja med att skriva av ekvationen.

$3r+3=4r-7$

Förenkla båda leden.

$3r+3\colIII{+7} = 4r -7 \colIII{+7}$

Addera $7$ till båda sidor av ekvationen.

$3r + 10= 4r$

$3r + 10\colIII{-3r}= 4r\colIII{-3r}$

Subtrahera $3r$ från båda sidor för att isolera $r.$

$10=r$

Svar: $r=10$

c Lös $3(t-8)+1 = \dfrac{t+7}{4}.$

$3(t-8)+1 = \dfrac{t+7}{4}$

$3t - 24 +1 = \dfrac{t+7}{4}$

Multiplicera $3$ med varje term i parentesen.

$3t -23 = \dfrac{t+7}{4}$

$\col{4} \t (3t-23) = \col{4} \t \dfrac{t+7}{4}$

Multiplicera båda sidor av ekvationen med $4$ för att ta bort nämnaren.

$12t-92 = t+7$

$12t-92 + \colIII{92} = t + 7 + \colIII{92}$

Addera $92$ till båda sidor.

$12t = t +99$

$12t\colIII{-t} = t+99\colIII{-t}$

Subtrahera $t$ från båda sidor.

$11t = 99$

$\dfrac{11t}{11} = \dfrac{99}{11}$

Dividera båda sidor med $11.$

$t = 9$

Svar: $t=9$

Exempel

Bordet Behöver en Duk

Albin vill lägga en bordsduk på ett gammalt bord han har hemma. För att välja rätt duk behöver han veta bordets area. Tyvärr har han inget måttband.

Som tur är vet han att ena sidan av det rektangulära bordet är $60 \text{ cm}$ längre än den andra. Han vet också att den längre sidan motsvarar sidan i ett liksidigt triangelformat bord. Han ritar följande diagram:

Fil:Ekvationer Åk 8 Bordet Behöver en Duk slide 0402.svg

Med hjälp av ett rep mäter han att båda borden har samma omkrets. Använd denna information för att beräkna arean av det rektangulära bordet.

Längd: $(x+60)\text{ cm}$
Bredd: $x\text{ cm}$

Börja med att skriva ner det du vet.

Rektangelns omkrets:
$2x+2(x+60)$

Ett rektangulärt bord har omkretsen $2\ell + 2b.$

Triangelns omkrets:
$3(x+60)$

Ett liksidigt triangulärt bord har tre lika sidor.

$2x+2(x+60) = 3(x+60)$

Eftersom båda borden har samma omkrets sätter du uttrycken lika.

$2x + 2x+120 = 3x+180$

$4x + 120 = 3x+180$

$4x+120 -120= 3x+180-120$

Använd balansmetoden för att lösa ekvationen för $x.$ Subtrahera $120$ från båda sidor av ekvationen.

$4x= 3x+60$

$4x -3x = 3x+60 -3x$

Subtrahera $3x$ från båda sidor av ekvationen.

$x=60$

$b=(60+60)\text{ cm} = 120\text{ cm}$
$h=60\text{ cm}$

Sätt in $x$ som $60$ för att hitta rektangelns bas och höjd.

$A = 120\text{ cm} \t 60\text{ cm} = 7\,200\text{ cm}^2$

Använd formeln för rektangelns area, $A=bh.$

Svar: Det rektangulära bordets area är $7\,200\text{ cm}^2.$

Exempel

Kakor på Eftermiddagen

Alex bakar kakor.

De vill lägga så många kakor som möjligt på tallrikar utan att tallrikarna ser för fulla ut. Om de fördelar kakorna jämnt på $3$ tallrikar utan att överfylla dem, blir det $6$ kakor över. Men de kommer att sakna $2$ kakor om de försöker fördela kakorna jämnt på $4$ tallrikar. Hur många kakor bakade Alex?

Antal kakor på en tallrik: $x$

Låt $x$ stå för antalet kakor på en tallrik.

Tre tallrikar:
$3x+6$

$3$ tallrikar fulla med kakor och $6$ kakor blir över.

Fyra tallrikar:
$4x-2$

$4$ tallrikar fulla med kakor men saknas $2$ kakor.

$3x+6=4x-2$

Eftersom båda situationerna beskriver samma antal kakor sätter vi uttrycken lika med varandra för att skriva en ekvation.

$3x+6 + 2=4x-2 + 2$

Lös ekvationen med balansmetoden.

$3x+8 = 4x$

$3x+8 - 3x = 4x - 3x$

$8=x$

$3 \t \col{8} + 6 = 24+6 = 30$

Varje tallrik rymmer $8$ kakor. Ersätt $x$ med $8$ i uttrycket $3x+6.$

Svar: Alex bakade $30$ kakor.

Exempel

Köpa en Rabattkostym

Du gick på en maskerad. Din kostym bestod av en peruk och en dräkt. Du betalade $600$ kronor för hela kostymen, vilket var $20$ procent rabatt.

Prislappen på peruken visar $200$ kronor. Vad var det ursprungliga priset på dräkten?

Pris på hela kostymen: $600\text{ kr}$
Ursprungligt pris på peruken: $200\text{ kr}$
Rabatt: $20\per$
Ursprungligt pris på dräkten: $x$

Börja med att skriva ner det du vet.

Totalt pris:
$x+200$

Skriv ett algebraiskt uttryck för det ursprungliga priset på hela kostymen.

Rabatterat pris:
$0,8 \t (x+200)$

Multiplicera uttrycket med $0,8$ för att tillämpa $20\per$ rabatt.

$0,8 \t (x+200) = 600$

Ställ uttrycket lika med det belopp som betalades för att skriva en ekvation.

$\dfrac{0,8 \t (x+200)}{0,8} = \dfrac{600}{0,8}$

Använd balansmetoden för att lösa ekvationen. Dividera båda sidor med $0,8.$

$x+200 = 750$

$x+200 -200 = 750-200$

$x=550$

Svar: Det ursprungliga priset på dräkten är $550\text{ kr}$

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Ekvationer Åk 8

Uppgifter

Lös de givna ekvationerna.

\begin{gathered} \large 5x-6 = 9 \end{gathered}

\begin{gathered} \large 3z+8 = 32 \end{gathered}

<row> <cell left="true" role="sol"> $5x-6 = 9$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $5x-6\col{+6} = 9\col{+6}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera $6$ till båda sidor av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\dfrac{5x}{5} = \dfrac{15}{5}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda sidor av ekvationen med $5.$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\text{V.L.} =5 \t 3 -6 = 15-6 = 9$
$\text{H.L.} =9$
$\text{V.L.} = \text{H.L.} \ \StatementTrue$
</cell> <cell right="true" role="exp"> Gör en prövning för att kontrollera att lösningen stämmer i ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $3z+8 = 32$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $3z+8\colIII{-8} = 32\colIII{-8}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera $8$ från båda sidor av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\dfrac{3z}{3}=\dfrac{24}{3}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda sidor av ekvationen med $3.$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\text{V.L.} =3 \t 8 + 8 = 24+8 = 32$
$\text{H.L.} =32$
$\text{V.L.} = \text{H.L.} \ \StatementTrue$
</cell> <cell right="true" role="exp"> Gör en prövning för att kontrollera att lösningen stämmer i ekvationen. </cell> </row>

Lös de givna ekvationerna.

\begin{gathered} \large 2d+6 = d+7 \end{gathered}

\begin{gathered} \large 5r-2 = 3r+8 \end{gathered}

<row> <cell left="true" role="sol"> $2d+6 = d+7$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $2d+6\colIII{-6} = d+7\colIII{-6}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera $6$ från båda sidor av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $2d\colIII{-d} = d+1\colIII{-d}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera $d$ från båda sidor av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\text{V.L.} = 2 \t 1 + 6 = 2 + 6 = 8$
$\text{H.L.} = 1+7=8$
$\text{V.L.} = \text{H.L.} \ \StatementTrue$
</cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in $d=1$ i ekvationen för prövning. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $5r-2 = 3r+8$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $5r-2\col{+2} = 3r+8\col{+2}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera $2$ till båda sidor av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $5r\colIII{-3r}=3r+10\colIII{-3r}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera $3r$ från båda sidor av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\dfrac{2r}{2} = \dfrac{10}{2}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda sidor av ekvationen med $2.$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\text{V.L.} = 5 \t 5-2 = 25-2 = 23$
$\text{H.L.} = 3 \t 5 + 8 = 15+8 = 23$
$\text{V.L.} = \text{H.L.} \ \StatementTrue$
</cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in $r=5$ i ekvationen för prövning. </cell> </row>

Lös de givna ekvationerna.

\begin{gathered} \large \N34 = 9(s+4)+2 \end{gathered}

\begin{gathered} \large \N6(y-7)+4=10 \end{gathered}

<row> <cell left="true" role="sol"> $\N34=9(s+4)+2$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\N34=9s+36+2$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera $9$ med varje term i parentesen.
$9(s+4)= 9\t s + 9\t 4 = 9s + 36$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\N34=9s+38$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla höger led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\N34 - 38 =9s+38 - 38$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera $38$ från båda leden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\dfrac{\N72}{9}=\dfrac{9s}{9}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda leden med $9$ för att få $s$ ensamt i höger led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\text{V.L.} = \N 34$
$\text{H.L.} = 9 (\N 8 + 4 )+2 = $
$= \N 9 \t (\N 4) + 2 = \N 34$
$\text{V.L.} = \text{H.L.} \ \StatementTrue$
</cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in $s=\N 8$ i ekvationen för prövning. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\N6(y-7)+4= 10$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\N(6y - 42) + 4 = 10$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera $6$ i parentesen, men behåll parentesen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\N6y + 42 + 4 = 10$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta bort parenteserna. Eftersom det finns ett minustecken framför parenteserna måste du ändra tecknet inuti parenteserna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\N6y + 46= 10$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla vänster led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\N6y + 46 - 46= 10 - 46$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera $4$ från båda leden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\dfrac{\N6y}{\N6}=\dfrac{\N 36}{\N6}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda leden med $\N 6$ för att få $y$ ensamt i vänster led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\text{V.L.} = \N 6(6-7) + 4 =$
$= \N 6 \t (\N 1) + 4 = 10$
$\text{H.L.} = 10$
$\text{V.L.} = \text{H.L.} \ \StatementTrue$
</cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in $y=6$ i ekvationen för prövning. </cell> </row>

Klara tänker på ett tal. Hon säger att om hon multiplicerar talet med 2 och adderar 7, blir resultatet 35. Vilket tal tänker Klara på?

<row> <cell left="true" role="sol"> Talet Klara tänker på: $x$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Antag att $x$ är talet som Klara tänker på. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $2x+7=35$ </cell> <cell right="true" role="exp"> När du dubblerar talet $x$ och lägger till $7$ är det lika med $35.$ Detta ger en ekvation. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $2x+7\colIII{-7}=35\colIII{-7}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda balansmetoden för att lösa ekvationen. Börja med att subtrahera $7$ från båda leden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\dfrac{2x}{\col{2}} = \dfrac{28}{\col{2}}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda leden med $2.$ </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Klara tänker på talet $14.$ </cell> </row>

Kevin använder följande metod för att lösa ekvationen x+8=10. x+8 &=10 x &= 10+8 x &= 18 Har Kevin rätt eller fel?

<row> <cell left="true" role="sol"> $x+8 = 10$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Försök att lösa den givna ekvationen själv. Jämför sedan med din väns lösning. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $x+8\colIII{-8} = 10\colIII{-8}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera $8$ från båda leden för att få $x$ ensamt i vänster led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Kevin subtraherade $8$ från vänsterledet, men han la till $8$ på högerledet. Därför fick han fel och beräknade $x = 18.$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Jämför lösningar. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Kevin har fel. </cell> </row>

Tobias använder följande metod för att lösa ekvationen 3(x+1)=x+7. Motivera ditt svar. 3(x+1) &=x+7 3x+3 &=x+7 2x &= 4 x &=2 Har Tobias rätt eller fel?

<row> <cell left="true" role="sol"> $3(x+1) = x+7$
$3x+3 = x+7$
$2x=4$
$x=2$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Titta på proceduren som Tobias har gjort. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $3 \t x + 3 \t 1 = x + 7$
$3x + 3 = x + 7 \quad \StatementTrue$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Tobias multiplicerar först in $3$ i parentesen. Kontrollera om det finns några fel i det här steget. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $3x+3\colIII{-3} = x+7\colIII{-3}$
$3x=x+4$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Efter det steget kan du antingen subtrahera $3$ från båda sidor för att isolera $3x$ på vänster sida, eller subtrahera $x$ från båda sidor för att samla alla $x\text{-}$termer på vänster sida. Gör det första. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $3x\colIII{-x}=x+4\colIII{-x}$
$2x=4 \quad \StatementTrue$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Nu subtraherar du $x$ från båda sidor. Tobias får samma resultat, men han hoppade tydligen över några mellansteg för att komma hit. Det är inget fel här heller. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\dfrac{2x}{2} = \dfrac{4}{2}$
$x = 2 \quad \StatementTrue$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda sidor av ekvationen med $2.$ </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Tobias har rätt. </cell> </row>

Triangelns omkrets är 24m. Hitta längden på dess längsta sida.

<row> <cell left="true" role="sol"> Triangelns omkrets: $24\text{ m}$
Sidorna av triangeln: $3x\text{ m},$ $4x\text{ m}$ och $5x\text{ m}.$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $3x+4x+5x = 24$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan ställa upp en ekvation för triangelns omkrets. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $12x = 24$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera termerna i vänsterledet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\dfrac{12x}{12} =\dfrac{24}{12}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda leden med $12.$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Den längsta sidan är $5 \t 2 \text{ m} = 10\text{ m}.$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du fick att $x = 2,$ men detta är inte en sida av triangeln. Triangelns längsta sida mäter $5x$ meter. Sätt in $x = 2$ och beräkna. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Triangelns längsta sida är $10$ meter lång. </cell> </row>

Rektangelns area är 132 kvadratcentimeter. Bestäm längden på dess kortaste sida.

<row> <cell left="true" role="sol"> Rektangelns area: $132\text{ cm}^2$
Sidorna av rektangel: $x\text{ cm}$ och $11 \text{ cm}.$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $x \t 11 = 132$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda rektangelns areaformel $A = bh$ för att ställa upp en ekvation. Eftersom $b = x$ och $h = 11$ får du $x · 11 = 132.$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\dfrac{11x}{11} =\dfrac{132}{11}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan lösa ekvationen med balansmetoden. Dividera båda sidor av ekvationen med $11.$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Den saknade sidan av rektangeln är $12\text{ cm}$ lång. Det betyder att den kortaste sidan är $11\text{ cm}$ lång. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Rektangelns kortaste sida är $11$ cm lång. </cell> </row>

Redigera lektion

≤

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan