En ekvation är en matematisk likhet som innehåller minst ett obekant tal. När vi skriver en ekvation använder vi ett likhetstecken som visar att värdet på vänster sida är lika med värdet på höger sida. Vi kan till exempel ha ekvationen:

2x + 5 = 11

Här består vänsterledet (V.L.) av 2x + 5 och högerledet (H.L.) av 11. Det betyder att vänsterledets värde måste vara lika med högerledets värde.

2x+5 = 11 vänster led höger led

För att lösa en ekvation kan vi använda balansmetoden. Metoden går ut på att vi alltid gör samma beräkning på båda sidor av likhetstecknet. På så sätt bevaras balansen i ekvationen, och vi kan steg för steg hitta värdet på det obekanta talet. Vi kan till exempel lösa ekvationen:

x + 3 = 7

Med balansmetoden tar vi bort 3 från båda sidor:

x + 3 - 3 = 7 - 3

Då får vi:

x = 4

Vi har alltså löst ekvationen och funnit att x = 4.

Övning

Lösa ekvationer

Lös ekvationerna med hjälp av balansmetoden. Om nödvändigt, avrunda svaren till två decimaler.

Slumpgenerator för ekvationer med parenteser på en eller båda sidorna.

Exempel

Lösa ekvationer

Granska följande förklaringar på hur ekvationer kan lösas med balansmetoden.

Lös 15x/2-2 = 28.

15x/2-2 = 28

Börja med att skriva av ekvationen.

15x/2-2 + 2= 28 + 2

Addera 2 till båda sidor av ekvationen.

15x/2 = 30

15x/2 * 2 = 30 * 2

Multiplicera båda sidor med 2 för att ta bort nämnaren.

15x = 60

15x/15 = 60/15

Dividera båda sidor med 15 för att få x ensamt.

x=4

Svar: x=4

Lös r + 3 + 2r = 5r - 7 -r.

r + 3 + 2r = 5r - 7 -r

Börja med att skriva av ekvationen.

3r+3=4r-7

Förenkla båda leden.

3r+3 +7 = 4r -7 +7

Addera 7 till båda sidor av ekvationen.

3r + 10= 4r

3r + 10 -3r= 4r -3r

Subtrahera 3r från båda sidor för att isolera r.

10=r

Svar: r=10

Lös 3(t-8)+1 = t+7/4.

3(t-8)+1 = t+7/4

3t - 24 +1 = t+7/4

Multiplicera 3 med varje term i parentesen.

3t -23 = t+7/4

4 * (3t-23) = 4 * t+7/4

Multiplicera båda sidor av ekvationen med 4 för att ta bort nämnaren.

12t-92 = t+7

12t-92 + 92 = t + 7 + 92

Addera 92 till båda sidor.

12t = t +99

12t -t = t+99 -t

Subtrahera t från båda sidor.

11t = 99

11t/11 = 99/11

Dividera båda sidor med 11.

t = 9

Svar: t=9

Exempel

Bordet Behöver en Duk

Albin vill lägga en bordsduk på ett gammalt bord han har hemma. För att välja rätt duk behöver han veta bordets area. Tyvärr har han inget måttband.

Som tur är vet han att ena sidan av det rektangulära bordet är 60 cm längre än den andra. Han vet också att den längre sidan motsvarar sidan i ett liksidigt triangelformat bord. Han ritar följande diagram:

Ekvationer Åk 8 Bordet Behöver en Duk slide 0402.svg

Med hjälp av ett rep mäter han att båda borden har samma omkrets. Använd denna information för att beräkna arean av det rektangulära bordet.

Längd: (x+60)cm
Bredd: xcm

Börja med att skriva ner det du vet.

Rektangelns omkrets:
2x+2(x+60)

Ett rektangulärt bord har omkretsen 2l + 2b.

Triangelns omkrets:
3(x+60)

Ett liksidigt triangulärt bord har tre lika sidor.

2x+2(x+60) = 3(x+60)

Eftersom båda borden har samma omkrets sätter du uttrycken lika.

2x + 2x+120 = 3x+180

4x + 120 = 3x+180

4x+120 -120= 3x+180-120

Använd balansmetoden för att lösa ekvationen för x. Subtrahera 120 från båda sidor av ekvationen.

4x= 3x+60

4x -3x = 3x+60 -3x

Subtrahera 3x från båda sidor av ekvationen.

x=60

b=(60+60)cm = 120cm
h=60cm

Sätt in x som 60 för att hitta rektangelns bas och höjd.

A = 120cm * 60cm = 7 200cm^2

Använd formeln för rektangelns area, A=bh.

Svar: Det rektangulära bordets area är 7 200cm^2.

Exempel

Kakor på Eftermiddagen

Alex bakar kakor.

De vill lägga så många kakor som möjligt på tallrikar utan att tallrikarna ser för fulla ut. Om de fördelar kakorna jämnt på 3 tallrikar utan att överfylla dem, blir det 6 kakor över. Men de kommer att sakna 2 kakor om de försöker fördela kakorna jämnt på 4 tallrikar. Hur många kakor bakade Alex?

Antal kakor på en tallrik: x

Låt x stå för antalet kakor på en tallrik.

Tre tallrikar:
3x+6

3 tallrikar fulla med kakor och 6 kakor blir över.

Fyra tallrikar:
4x-2

4 tallrikar fulla med kakor men saknas 2 kakor.

3x+6=4x-2

Eftersom båda situationerna beskriver samma antal kakor sätter vi uttrycken lika med varandra för att skriva en ekvation.

3x+6 + 2=4x-2 + 2

Lös ekvationen med balansmetoden.

3x+8 = 4x

3x+8 - 3x = 4x - 3x

8=x

3 * 8 + 6 = 24+6 = 30

Varje tallrik rymmer 8 kakor. Ersätt x med 8 i uttrycket 3x+6.

Svar: Alex bakade 30 kakor.

Exempel

Köpa en Rabattkostym

Du gick på en maskerad. Din kostym bestod av en peruk och en dräkt. Du betalade 600 kronor för hela kostymen, vilket var 20 procent rabatt.

Prislappen på peruken visar 200 kronor. Vad var det ursprungliga priset på dräkten?

Pris på hela kostymen: 600kr
Ursprungligt pris på peruken: 200kr
Rabatt: 20 %
Ursprungligt pris på dräkten: x

Börja med att skriva ner det du vet.

Totalt pris:
x+200

Skriv ett algebraiskt uttryck för det ursprungliga priset på hela kostymen.

Rabatterat pris:
0,8 * (x+200)

Multiplicera uttrycket med 0,8 för att tillämpa 20 % rabatt.

0,8 * (x+200) = 600

Ställ uttrycket lika med det belopp som betalades för att skriva en ekvation.

0,8 * (x+200)/0,8 = 600/0,8

Använd balansmetoden för att lösa ekvationen. Dividera båda sidor med 0,8.

x+200 = 750

x+200 -200 = 750-200

x=550

Svar: Det ursprungliga priset på dräkten är 550kr

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Ekvationer Åk 8

Uppgifter

Lös de givna ekvationerna.

5x-6 = 9

3z+8 = 32

<row> <cell left="true" role="sol"> 5x-6 = 9 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5x-6 +6 = 9 +6 </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera 6 till båda sidor av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5x/5 = 15/5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda sidor av ekvationen med 5. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V.L. =5 * 3 -6 = 15-6 = 9
H.L. =9
V.L. = H.L. ✓
</cell> <cell right="true" role="exp"> Gör en prövning för att kontrollera att lösningen stämmer i ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3z+8 = 32 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3z+8 -8 = 32 -8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 8 från båda sidor av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3z/3=24/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda sidor av ekvationen med 3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V.L. =3 * 8 + 8 = 24+8 = 32
H.L. =32
V.L. = H.L. ✓
</cell> <cell right="true" role="exp"> Gör en prövning för att kontrollera att lösningen stämmer i ekvationen. </cell> </row>

Lös de givna ekvationerna.

2d+6 = d+7

5r-2 = 3r+8

<row> <cell left="true" role="sol"> 2d+6 = d+7 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2d+6 -6 = d+7 -6 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 6 från båda sidor av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2d -d = d+1 -d </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera d från båda sidor av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V.L. = 2 * 1 + 6 = 2 + 6 = 8
H.L. = 1+7=8
V.L. = H.L. ✓
</cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in d=1 i ekvationen för prövning. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5r-2 = 3r+8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5r-2 +2 = 3r+8 +2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera 2 till båda sidor av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5r -3r=3r+10 -3r </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 3r från båda sidor av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2r/2 = 10/2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda sidor av ekvationen med 2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V.L. = 5 * 5-2 = 25-2 = 23
H.L. = 3 * 5 + 8 = 15+8 = 23
V.L. = H.L. ✓
</cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in r=5 i ekvationen för prövning. </cell> </row>

Lös de givna ekvationerna.

-34 = 9(s+4)+2

-6(y-7)+4=10

<row> <cell left="true" role="sol"> -34=9(s+4)+2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> -34=9s+36+2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera 9 med varje term i parentesen.
9(s+4)= 9* s + 9* 4 = 9s + 36 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> -34=9s+38 </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla höger led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> -34 - 38 =9s+38 - 38 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 38 från båda leden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> -72/9=9s/9 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda leden med 9 för att få s ensamt i höger led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V.L. = - 34
H.L. = 9 (- 8 + 4 )+2 =
= - 9 * (- 4) + 2 = - 34
V.L. = H.L. ✓
</cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in s=- 8 i ekvationen för prövning. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> -6(y-7)+4= 10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva av ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> -(6y - 42) + 4 = 10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera 6 i parentesen, men behåll parentesen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> -6y + 42 + 4 = 10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta bort parenteserna. Eftersom det finns ett minustecken framför parenteserna måste du ändra tecknet inuti parenteserna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> -6y + 46= 10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla vänster led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> -6y + 46 - 46= 10 - 46 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 4 från båda leden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> -6y/-6=- 36/-6 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda leden med - 6 för att få y ensamt i vänster led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V.L. = - 6(6-7) + 4 =
= - 6 * (- 1) + 4 = 10
H.L. = 10
V.L. = H.L. ✓
</cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in y=6 i ekvationen för prövning. </cell> </row>

Klara tänker på ett tal. Hon säger att om hon multiplicerar talet med 2 och adderar 7, blir resultatet 35. Vilket tal tänker Klara på?

<row> <cell left="true" role="sol"> Talet Klara tänker på: x </cell> <cell right="true" role="exp"> Antag att x är talet som Klara tänker på. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2x+7=35 </cell> <cell right="true" role="exp"> När du dubblerar talet x och lägger till 7 är det lika med 35. Detta ger en ekvation. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2x+7 -7=35 -7 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda balansmetoden för att lösa ekvationen. Börja med att subtrahera 7 från båda leden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2x/2 = 28/2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda leden med 2. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Klara tänker på talet 14. </cell> </row>

Kevin använder följande metod för att lösa ekvationen x+8=10. x+8 &=10 x &= 10+8 x &= 18 Har Kevin rätt eller fel?

<row> <cell left="true" role="sol"> x+8 = 10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Försök att lösa den givna ekvationen själv. Jämför sedan med din väns lösning. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x+8 -8 = 10 -8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 8 från båda leden för att få x ensamt i vänster led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Kevin subtraherade 8 från vänsterledet, men han la till 8 på högerledet. Därför fick han fel och beräknade x = 18. </cell> <cell right="true" role="exp"> Jämför lösningar. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Kevin har fel. </cell> </row>

Tobias använder följande metod för att lösa ekvationen 3(x+1)=x+7. Motivera ditt svar. 3(x+1) &=x+7 3x+3 &=x+7 2x &= 4 x &=2 Har Tobias rätt eller fel?

<row> <cell left="true" role="sol"> 3(x+1) = x+7
3x+3 = x+7
2x=4
x=2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Titta på proceduren som Tobias har gjort. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3 * x + 3 * 1 = x + 7
3x + 3 = x + 7 ✓ </cell> <cell right="true" role="exp"> Tobias multiplicerar först in 3 i parentesen. Kontrollera om det finns några fel i det här steget. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3x+3 -3 = x+7 -3
3x=x+4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Efter det steget kan du antingen subtrahera 3 från båda sidor för att isolera 3x på vänster sida, eller subtrahera x från båda sidor för att samla alla x-termer på vänster sida. Gör det första. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3x -x=x+4 -x
2x=4 ✓ </cell> <cell right="true" role="exp"> Nu subtraherar du x från båda sidor. Tobias får samma resultat, men han hoppade tydligen över några mellansteg för att komma hit. Det är inget fel här heller. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2x/2 = 4/2
x = 2 ✓ </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda sidor av ekvationen med 2. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Tobias har rätt. </cell> </row>

Triangelns omkrets är 24m. Hitta längden på dess längsta sida.

<row> <cell left="true" role="sol"> Triangelns omkrets: 24m
Sidorna av triangeln: 3xm, 4xm och 5xm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3x+4x+5x = 24 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan ställa upp en ekvation för triangelns omkrets. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 12x = 24 </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera termerna i vänsterledet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 12x/12 =24/12 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda leden med 12. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Den längsta sidan är 5 * 2 m = 10m. </cell> <cell right="true" role="exp"> Du fick att x = 2, men detta är inte en sida av triangeln. Triangelns längsta sida mäter 5x meter. Sätt in x = 2 och beräkna. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Triangelns längsta sida är 10 meter lång. </cell> </row>

Rektangelns area är 132 kvadratcentimeter. Bestäm längden på dess kortaste sida.

<row> <cell left="true" role="sol"> Rektangelns area: 132cm^2
Sidorna av rektangel: xcm och 11 cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x * 11 = 132 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda rektangelns areaformel A = bh för att ställa upp en ekvation. Eftersom b = x och h = 11 får du x · 11 = 132. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 11x/11 =132/11 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan lösa ekvationen med balansmetoden. Dividera båda sidor av ekvationen med 11. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Den saknade sidan av rektangeln är 12cm lång. Det betyder att den kortaste sidan är 11cm lång. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Rektangelns kortaste sida är 11 cm lång. </cell> </row>

Ekvationer Åk 8

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan