DashboardNyheterInställningarHjälp
Premium
Dashboard
Dashboard Logga ut
3b
Kurs 3b Visa detaljer
4. Deriverbarhet
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Uppgifter
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 3b , Ma 3c ) /
Kapitel 3
4. 

Deriverbarhet

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation Metod Resonemang Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
8 sidor teori
10 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Deriverbarhet
Sida av 8

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Högerderivata
  • Vänsterderivata
  • Deriverbarhet

Förkunskaper
Utforska

Närmar sig från vänster och höger

Betrakta en polynomfunktion y = f(x). Den är en jämn och kontinuerlig funktion eftersom det är en polynomfunktion. För att hitta derivatan vid x = a, rita en sekantlinje genom två närliggande punkter till a och beräkna linjens lutning.

Innan du fortsätter, ta ett ögonblick för att fundera över några intressanta frågor.

  • Vad märks angående lutningen när vi närmar oss från vänster jämfört med höger?
  • Kan sekantlinjer ritade från vänster och höger närma sig olika tangentlinjer? Visar andra funktioner detta fenomen?
Koncept

Högerderivata

Högerderivatan för en funktion f(x) i en viss punkt a definieras som gränsvärdet för ändringskvoten f(a+h)-f(a)h när h går mot 0 från höger. Detta skrivs vanligtvis enligt följande.

f'_+(a) = lim _(h → 0^+)f(a+h) - f(a)/h
Plustecknet indikerar att h går mot 0 från just höger, dvs. från större till mindre x-värden.
Koncept

Vänsterderivata

Vänsterderivatan för en funktion f(x) i en viss punkt a definieras som gränsvärdet för ändringskvoten f(a+h)-f(a)h när h går mot 0 från vänster. Detta skrivs vanligtvis enligt följande.

f'_-(a) = lim _(h → 0^-)f(a+h) - f(a)/h
Minustecknet indikerar att h går mot 0 från just vänster, dvs. från mindre till större x-värden. Om vänsterderivatan för en funktion i en viss punkt är lika med högerderivatan i samma punkt så betyder det att även derivatan i punkten existerar.
Exempel

Beräkna vänster- och högerderivatan

Betrakta funktionen. f(x) = x^2+x, & x ≥ 1 2x, & x < 1

a Beräkna den högra derivatan av funktionen vid x = 0.

b Beräkna den vänstra derivatan av funktionen vid x = 0.

c Är den vänstra och högra derivatan lika med varandra?

Ledtråd
a Vilken del av funktionen ska användas för att beräkna högra derivatan när x = 1 närmas från höger?
b Vilken del av funktionen ska användas för att beräkna vänstra derivatan när x = 1 närmas från vänster?
c Jämför svaren som hittades i delarna A och B.

Lösning
a Vi behöver undersöka funktionen vid x = 1.

f'_+( 1) = lim _(h → 0^+)f( 1+h) - f( 1)/h Eftersom den högra derivatan av en funktion innebär att vi närmar oss punkten från höger sida, ska vi använda den första raden i funktionen. Med det i åtanke, låt oss beräkna f(1+h) och f(1).

f(x)=x^2+x
▼
Sätt in 1+h=x och förenkla
SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

f( 1+h)=( 1+h)^2+ 1+h
ExpandPosPerfectSquare

Utveckla med första kvadreringsregeln

f(1+h)=1+2h+h^2+1+h
AddTerms

Addera termerna

f(1+h)=h^2+3h+2

Vi kommer också att hitta f(1).

f(x)=x^2+x
▼
Sätt in 1=x och beräkna
Substitute

x= 1

f( 1)=( 1)^2+ 1
BaseOne

1^a=1

f(1)=1+1
AddTerms

Addera termerna

f(1)=2

Dessa värden sätts sedan in för att beräkna gränsvärdet.

f'_+( 1) = lim _(h → 0^+)f( 1+h) - f( 1)/h
SubstituteII

f(1+h)= h^2+3h+2 och f(1)= 2

f'_+( 1) =lim _(h → 0^+)h^2+3h+2- 2/h
▼
Beräkna högerled
SubTerm

Subtrahera term

f'_+(1) =lim _(h → 0^+)h^2+3h/h
FactorOut

Bryt ut h

f'_+(1) =lim _(h → 0^+)h(h+3)/h
SimpQuot

Förenkla kvot

f'_+(1) =lim _(h → 0^+) h+3
To

h → 0

f'_+(1) = 0 +3
AddTerms

Addera termerna

f'_+(1) =3

b Vi kommer nu att beräkna den vänstra derivatan.

f'_-( 1) = lim _(h → 0^-)f( 1+h) - f( 1)/h Observera att 1 + h är mindre än 1. Det betyder att vi behöver använda uttrycket på andra raden i den givna funktionen.

f(x)= 2x
▼
Sätt in 1+h=x och förenkla
Substitute

x= - 2.5+h

f( 1+h)=2( 1+h)
Distr

Multiplicera in 2

f(1+h)= 2 + 2h
RearrangeTerms

Omarrangera termer

f(1+h)= 2h+2

Vi vet redan att f(1) = 2. Dessa värden sätts in i uttrycket för att bestämma det vänstra gränsvärdet.

f'_-(1) = lim _(h → 0^-)f(1+h) - f(1)/h
SubstituteII

f(- 2.5+h)= 2h+2 och f(1)= 2

f'_-(1) =lim _(h → 0^-)2h+2- 2/h
▼
Beräkna högerled
SubTerm

Subtrahera term

f'_-(1) =lim _(h → 0^-)2h/h
SimpQuot

Förenkla kvot

f'_-(1) =lim _(h → 0^-) 2
LimConst

lim_(x→ a) C = C

f'_-(1) = 2

b Vi har beräknat att värdet på den högra derivatan är 3 och värdet på den vänstra derivatan är 2.

r f'_+(1) = 3 [0.7em]f'_-(1)=2 ⇒ f'_+(1) ≠ f'_-(1) Eftersom värdena inte är lika, existerar inte derivatan av funktionen vid x = 1.
Utforska

Utforska egenskaper hos funktioner

Tre olika funktioner visas i applet.

Det här är jättebra. Nu, fundera på dessa frågor som ger ännu mer insikt:

  • Vad har dessa funktioner gemensamt?
  • Har de alla reella tal i sin definitionsmängd?
  • Vilken är kontinuerlig, och vilken har ett skarpt hörn?
  • Är det möjligt att avgöra om funktionerna är deriverbara vid x = 2?
Koncept

Deriverbarhet

En funktion som är deriverbar kan deriveras i alla punkter och har alltid "slät" graf, dvs. den saknar skarpa kanter. Exempelvis är polynomfunktioner alltid deriverbara, medan diskontinuerliga funktioner och de flesta funktioner med absolutbelopp är exempel på funktioner som inte är deriverbara i alla punkter.

Den formella definitionen av deriverbarhet är att gränsvärdet som definierar funktionens derivata, f'(x_0)=lim_(h→ 0)f(x_0+h)-f(x_0)/h,

existerar för varje punkt x_0 i definitionsmängden.
Exempel

Är funktionen deriverbar?

För vilka värden på x saknar funktionen en derivata?

Ledtråd
Vad är funktionens definitionsmängd? Är funktionen kontinuerlig? Har grafen ett skarpt hörn?

Lösning
En funktion är deriverbar vid vissa punkter om någon av följande villkor uppfylls:

  1. Definitionsmängd: Funktionen är definierad vid den punkten.
  2. Kontinuitet: Funktionen är kontinuerlig vid den punkten. En funktion måste vara kontinuerlig där den ska vara deriverbar.
  3. Hörn: Grafen har inget skarpt hörn som gör att vänster- och högerderivatan är olika (eller inte definierade).

Nu, låt oss titta på grafen. Det finns flera kandidater där funktionen kan vara icke-deriverbar.

Låt oss gå igenom varje punkt en i taget.

  • Vid x = 4: Det finns ett hörn (grafen ändrar riktning skarpt).
  • Vid x = 0: Funktionen är inte definierad vid den punkten.
  • Vid x = 6: Det finns ett avbrott. Grafen har ett hopp.
  • Vid x = 11: Grafen har en skarp svängning och bildar återigen ett hörn. Detta innebär att derivatan från vänster inte är lika med derivatan från höger.

Alltså saknar funktionen en derivata vid x = 4, x = 0, x = 6 och x = 11.
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Deriverbarhet
Uppgift 3.1

Bestäm konstanterna k och m så att funktionen g(x) = kx+m , & x < 3 x^2, & x ≥ 3 är sammanhängande och deriverbar överallt.

Vi vill hitta konstanterna m och k så att funktionen nedan är kontinuerlig och deriverbar överallt. g(x) = kx+m , & x < 3 x^2, & x ≥ 3 Vi måste säkerställa att funktionen uppfyller följande två villkor vid x = 3:

  • De två delarna måste vara sammanhängande vid x = 3.
  • Funktionen måste vara deriverbar vid x = 3.

Sammanhang vid x = 3

För x ≥ 3, är funktionen g(x) = x^2. Då kan vi skriva följande: g(3) = 3^2 = 9 För x < 3, är funktionen g(x) = kx + m, så vi har ett annat värde vid den punkten. g(3) = k(3) + m = 3k + m Dessa två värden måste vara lika för att grafen ska vara sammanhängande. 3k + m = 9

Deriverbarhet vid x = 3

För deriverbarhet måste vänster- och högerderivatorna vid x = 3 vara lika. Vi kan tillämpa deriveringsregeln för potensfunktioner.

x < 3 x ≥ 3
g'(x) = k g'(x) = 2x
g'_-(3) = lim_(h → 0^+) k = k g'_+(3) = lim_(h → 0^+) 2* 3 = 6

För deriverbarhet vid x = 3, måste k vara 6. k = 6

Bestäm k och m

Nu när vi vet värdet på k, kan vi hitta värdet på m. För att göra det använder vi ekvationen från sammanhangsvillkoret.

Konstanterna är k = 6 och m = -9.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Deriverbarhet

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1​
=
=
√▢​
▢​√
∫▢▢​
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢​
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y