4. Deriverbarhet
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
4.
Deriverbarhet
Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 10 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Deriverbarhet
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Högerderivata
- Vänsterderivata
- Deriverbarhet
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Närmar sig från vänster och höger
Betrakta en polynomfunktion y = f(x). Den är en jämn och kontinuerlig funktion eftersom det är en polynomfunktion. För att hitta derivatan vid x = a, rita en sekantlinje genom två närliggande punkter till a och beräkna linjens lutning.
- Vad märks angående lutningen när vi närmar oss från vänster jämfört med höger?
- Kan sekantlinjer ritade från vänster och höger närma sig olika tangentlinjer? Visar andra funktioner detta fenomen?
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Högerderivata
Högerderivatan för en funktion f(x) i en viss punkt a definieras som gränsvärdet för ändringskvoten f(a+h)-f(a)h när h går mot 0 från höger. Detta skrivs vanligtvis enligt följande.
f'_+(a) = lim _(h → 0^+)f(a+h) - f(a)/h
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Vänsterderivata
Vänsterderivatan för en funktion f(x) i en viss punkt a definieras som gränsvärdet för ändringskvoten f(a+h)-f(a)h när h går mot 0 från vänster. Detta skrivs vanligtvis enligt följande.
f'_-(a) = lim _(h → 0^-)f(a+h) - f(a)/h
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Beräkna vänster- och högerderivatan
Betrakta funktionen. f(x) = x^2+x, & x ≥ 1 2x, & x < 1
a Beräkna den högra derivatan av funktionen vid x = 0.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'_+(1) =","formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
b Beräkna den vänstra derivatan av funktionen vid x = 0.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'_-(1) =","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
c Är den vänstra och högra derivatan lika med varandra?
{"type":"choice","form":{"alts":["Yes","No"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
Ledtråd
a Vilken del av funktionen ska användas för att beräkna högra derivatan när x = 1 närmas från höger?
b Vilken del av funktionen ska användas för att beräkna vänstra derivatan när x = 1 närmas från vänster?
c Jämför svaren som hittades i delarna A och B.
Lösning
a Vi behöver undersöka funktionen vid x = 1.
f'_+( 1) = lim _(h → 0^+)f( 1+h) - f( 1)/h Eftersom den högra derivatan av en funktion innebär att vi närmar oss punkten från höger sida, ska vi använda den första raden i funktionen. Med det i åtanke, låt oss beräkna f(1+h) och f(1).
f(x)=x^2+x
▼
Sätt in 1+h=x och förenkla
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
f( 1+h)=( 1+h)^2+ 1+h
ExpandPosPerfectSquare
Utveckla med första kvadreringsregeln
f(1+h)=1+2h+h^2+1+h
AddTerms
Addera termerna
f(1+h)=h^2+3h+2
Vi kommer också att hitta f(1).
f(x)=x^2+x
▼
Sätt in 1=x och beräkna
f(1)=2
Dessa värden sätts sedan in för att beräkna gränsvärdet.
f'_+( 1) = lim _(h → 0^+)f( 1+h) - f( 1)/h
SubstituteII
f(1+h)= h^2+3h+2 och f(1)= 2
f'_+( 1) =lim _(h → 0^+)h^2+3h+2- 2/h
f'_+(1) =3
b Vi kommer nu att beräkna den vänstra derivatan.
f'_-( 1) = lim _(h → 0^-)f( 1+h) - f( 1)/h Observera att 1 + h är mindre än 1. Det betyder att vi behöver använda uttrycket på andra raden i den givna funktionen.
f(x)= 2x
▼
Sätt in 1+h=x och förenkla
Substitute
x= - 2.5+h
f( 1+h)=2( 1+h)
Distr
Multiplicera in 2
f(1+h)= 2 + 2h
RearrangeTerms
Omarrangera termer
f(1+h)= 2h+2
Vi vet redan att f(1) = 2. Dessa värden sätts in i uttrycket för att bestämma det vänstra gränsvärdet.
f'_-(1) = lim _(h → 0^-)f(1+h) - f(1)/h
SubstituteII
f(- 2.5+h)= 2h+2 och f(1)= 2
f'_-(1) =lim _(h → 0^-)2h+2- 2/h
f'_-(1) = 2
b Vi har beräknat att värdet på den högra derivatan är 3 och värdet på den vänstra derivatan är 2.
r f'_+(1) = 3 [0.7em]f'_-(1)=2 ⇒ f'_+(1) ≠ f'_-(1) Eftersom värdena inte är lika, existerar inte derivatan av funktionen vid x = 1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Utforska egenskaper hos funktioner
Tre olika funktioner visas i applet.
- Vad har dessa funktioner gemensamt?
- Har de alla reella tal i sin definitionsmängd?
- Vilken är kontinuerlig, och vilken har ett skarpt hörn?
- Är det möjligt att avgöra om funktionerna är deriverbara vid x = 2?
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Deriverbarhet
En funktion som är deriverbar kan deriveras i alla punkter och har alltid "slät" graf, dvs. den saknar skarpa kanter. Exempelvis är polynomfunktioner alltid deriverbara, medan diskontinuerliga funktioner och de flesta funktioner med absolutbelopp är exempel på funktioner som inte är deriverbara i alla punkter.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Är funktionen deriverbar?
För vilka värden på x saknar funktionen en derivata?
{"type":"text","form":{"type":"list","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"ordermatters":false,"numinput":4,"listEditable":true,"hideNoSolution":true},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-4","0","6","11"]}}
Ledtråd
Vad är funktionens definitionsmängd? Är funktionen kontinuerlig? Har grafen ett skarpt hörn?
Lösning
En funktion är deriverbar vid vissa punkter om någon av följande villkor uppfylls:
- Definitionsmängd: Funktionen är definierad vid den punkten.
- Kontinuitet: Funktionen är kontinuerlig vid den punkten. En funktion måste vara kontinuerlig där den ska vara deriverbar.
- Hörn: Grafen har inget skarpt hörn som gör att vänster- och högerderivatan är olika (eller inte definierade).
Nu, låt oss titta på grafen. Det finns flera kandidater där funktionen kan vara icke-deriverbar.
Låt oss gå igenom varje punkt en i taget.
- Vid x = 4: Det finns ett hörn (grafen ändrar riktning skarpt).
- Vid x = 0: Funktionen är inte definierad vid den punkten.
- Vid x = 6: Det finns ett avbrott. Grafen har ett hopp.
- Vid x = 11: Grafen har en skarp svängning och bildar återigen ett hörn. Detta innebär att derivatan från vänster inte är lika med derivatan från höger.
Alltså saknar funktionen en derivata vid x = 4, x = 0, x = 6 och x = 11.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Deriverbarhet
Uppgift 2.1
Är y = x^(.1 /3.) deriverbar i x = 0? Motivera ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Vi kan undersöka funktionens deriverbarhet vid x = 0 genom att använda vänster- och högerderivatan.
Högerderivata
Formeln för högerderivatan vid x = 0 är: f'_+(0) = lim_(h → 0^+) f(h) - f(0)h Vi har f(0) = 0 och f(h) = h^(.1 /3.).
När h → 0^+ går h^(- 23) mot oändligheten. Därför existerar inte högerderivatan eftersom gränsvärdet går mot oändligheten. Detta visar att funktionen inte är deriverbar i x = 0.
Vänsterderivata
Vänsterderivatan existerar inte heller. Vi får samma gränsvärdesuttryck. f'_-(0) =lim _(h → 0^-) 1/h^(.2 /3.) När h → 0^+ går h^(- 23) mot oändligheten. Vänsterderivatan existerar inte.
Slutsats
Eftersom både höger- och vänsterderivatan går mot oändligheten existerar inte derivatan i x = 0. Därför är y = x^(13) inte deriverbar i x = 0.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
{"type":"choice","form":{"alts":["Funktionen \u00e4r kontinuerlig men inte deriverbar i x = 1.","Funktionen \u00e4r kontinuerlig och deriverbar i x = 0.","Funktionen \u00e4r varken kontinuerlig eller deriverbar i x = 0.","Funktionen \u00e4r inte kontinuerlig men deriverbar i x = 0. "],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
security
report
code
security
report
code
Låt oss rita grafen av funktionen själva. Men först kommer vi att gå igenom vad det absoluta värdet av ett tal betyder. För icke-negativa värden av x returnerar funktionen x själv, och för negativa värden av x returnerar den motsatsen till x, vilket är positivt. |x| = x , & x ≥ 0 - x, & x < 0 Med detta i åtanke, låt oss skriva om den givna funktionen. Observera att x inte kan vara 0 eftersom det gör funktionsuttrycket odefinierat. y= x/x, & x > 0 [0.8em] - x/x, & x < 0 ⇒ y= 1, & x > 0 - 1, & x < 0 Alltså består grafen av en horisontell linje vid y = 1 för alla x > 0 och en annan horisontell linje vid y = - 1 för alla x < 0. Den har en diskontinuitet vid x = 0.
Svaret är D.
Vi har visat att grafen av funktionen har ett språng vid x = 0.
Funktionen är inte kontinuerlig vid x = 0 och därmed inte deriverbar där.
Funktionen är kontinuerlig och deriverbar överallt utom vid x = 0. Därför är den kontinuerlig och deriverbar vid x = 1. Dess derivata är 0 vid x = 1.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Betrakta följande funktion: f(x) = x^2, & x ≤ 1 2x-1, & x > 1 Vilket av följande påståenden om funktionen är sant?
{"type":"choice","form":{"alts":["A. f(x) \u00e4r kontinuerlig och f'_+(1) = f'_-(1).","B. f(x) \u00e4r kontinuerlig men inte deriverbar vid x = 1.","C. f(x) \u00e4r inte kontinuerlig och f'_+(1) ≠ f'_-(1).","D. f(x) \u00e4r deriverbar \u00f6verallt utom vid x=0."],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att rita grafen för den givna funktionen. f(x) = x^2, & x ≤ 1 2x-1, & x > 1 Vid x=1 har båda delarna av funktionen värdet 1, vilket betyder att de möts i samma punkt.
| x=1 | Fylld/Ofylld punkt | |
|---|---|---|
| y=x^2 | y=(1)^2=1 | Fylld |
| y=2x-1 | y=2*1 -1=1 | Ofylld |
För alla x-värden mindre än eller lika med 1 beter sig funktionen som f(x)=x^2, och för alla x-värden större än 1 beter sig funktionen som f(x)=2x-1. Dessa två delar är sammanhängande vid x=1 eftersom de ger samma y-värde vid x=1.
Som vi ser är funktionen definierad och kontinuerlig för alla x. Den har inga skarpa hörn, så den är deriverbar för alla x. Låt oss algebraiskt verifiera att funktionen är deriverbar vid x=1.
På samma sätt kommer vi att bestämma den vänstra derivatan.
Den vänstra derivatan är f'_-(1) = 2, och den högra derivatan är f'_+(1) = 2, så de är lika. Därför är funktionen deriverbar vid x=1. Alltså är svaret A.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"choice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
{"type":"multichoice","form":{"alts":["I. The function is differentiable at every integer value of x.","II. The function is differentiable at every non-integer value of x.","III. At every non-integer value of x, the derivative of the function is 0."],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[1,2]}
security
report
code
security
report
code
Låt oss först titta på några exempel.
| x | f(x): Det största heltalet som är mindre än eller lika med x |
|---|---|
| 0,5 | 0 |
| 0,75 | 0 |
| 1,25 | 1 |
| 2 | 2 |
| 2,9 | 2 |
Vi kan dra slutsatsen att om x är ett heltal, så kommer värdet på y att vara x självt. Om x inte är ett heltal, så kommer värdet på y att vara heltalet precis före x. Funktionen är konstant mellan två heltal och hoppar med ett steg vid varje heltal. Till exempel, vid x = 1 är värdet f(1) = 1, inte 0. Alltså har grafen en öppen punkt vid (1, 0) (utesluten) och en fylld punkt vid (1, 1) (inkluderad).
Svaret är C.
Från grafen av funktionen kan vi säga att funktionen har hopp vid heltalsvärden av x. Funktionen är inte kontinuerlig och därför inte deriverbar vid varje heltalsvärde av x.
Funktionen är konstant där x inte är ett heltal. En konstant funktion är deriverbar, och dess derivata är 0. Därför är den givna funktionen deriverbar för alla icke-heltalsvärden av x. Därför är de korrekta påståendena II och III.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Deriverbarhet
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll