DashboardNyheterInställningarHjälp
Premium
Dashboard
Dashboard Logga ut
3b
Kurs 3b Visa detaljer
4. Deriverbarhet
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Uppgifter
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 3b , Ma 3c ) /
Kapitel 3
4. 

Deriverbarhet

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation Metod Resonemang Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
8 sidor teori
10 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Deriverbarhet
Sida av 8

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Högerderivata
  • Vänsterderivata
  • Deriverbarhet

Förkunskaper
Utforska

Närmar sig från vänster och höger

Betrakta en polynomfunktion y = f(x). Den är en jämn och kontinuerlig funktion eftersom det är en polynomfunktion. För att hitta derivatan vid x = a, rita en sekantlinje genom två närliggande punkter till a och beräkna linjens lutning.

Innan du fortsätter, ta ett ögonblick för att fundera över några intressanta frågor.

  • Vad märks angående lutningen när vi närmar oss från vänster jämfört med höger?
  • Kan sekantlinjer ritade från vänster och höger närma sig olika tangentlinjer? Visar andra funktioner detta fenomen?
Koncept

Högerderivata

Högerderivatan för en funktion f(x) i en viss punkt a definieras som gränsvärdet för ändringskvoten f(a+h)-f(a)h när h går mot 0 från höger. Detta skrivs vanligtvis enligt följande.

f'_+(a) = lim _(h → 0^+)f(a+h) - f(a)/h
Plustecknet indikerar att h går mot 0 från just höger, dvs. från större till mindre x-värden.
Koncept

Vänsterderivata

Vänsterderivatan för en funktion f(x) i en viss punkt a definieras som gränsvärdet för ändringskvoten f(a+h)-f(a)h när h går mot 0 från vänster. Detta skrivs vanligtvis enligt följande.

f'_-(a) = lim _(h → 0^-)f(a+h) - f(a)/h
Minustecknet indikerar att h går mot 0 från just vänster, dvs. från mindre till större x-värden. Om vänsterderivatan för en funktion i en viss punkt är lika med högerderivatan i samma punkt så betyder det att även derivatan i punkten existerar.
Exempel

Beräkna vänster- och högerderivatan

Betrakta funktionen. f(x) = x^2+x, & x ≥ 1 2x, & x < 1

a Beräkna den högra derivatan av funktionen vid x = 0.

b Beräkna den vänstra derivatan av funktionen vid x = 0.

c Är den vänstra och högra derivatan lika med varandra?

Ledtråd
a Vilken del av funktionen ska användas för att beräkna högra derivatan när x = 1 närmas från höger?
b Vilken del av funktionen ska användas för att beräkna vänstra derivatan när x = 1 närmas från vänster?
c Jämför svaren som hittades i delarna A och B.

Lösning
a Vi behöver undersöka funktionen vid x = 1.

f'_+( 1) = lim _(h → 0^+)f( 1+h) - f( 1)/h Eftersom den högra derivatan av en funktion innebär att vi närmar oss punkten från höger sida, ska vi använda den första raden i funktionen. Med det i åtanke, låt oss beräkna f(1+h) och f(1).

f(x)=x^2+x
▼
Sätt in 1+h=x och förenkla
SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

f( 1+h)=( 1+h)^2+ 1+h
ExpandPosPerfectSquare

Utveckla med första kvadreringsregeln

f(1+h)=1+2h+h^2+1+h
AddTerms

Addera termerna

f(1+h)=h^2+3h+2

Vi kommer också att hitta f(1).

f(x)=x^2+x
▼
Sätt in 1=x och beräkna
Substitute

x= 1

f( 1)=( 1)^2+ 1
BaseOne

1^a=1

f(1)=1+1
AddTerms

Addera termerna

f(1)=2

Dessa värden sätts sedan in för att beräkna gränsvärdet.

f'_+( 1) = lim _(h → 0^+)f( 1+h) - f( 1)/h
SubstituteII

f(1+h)= h^2+3h+2 och f(1)= 2

f'_+( 1) =lim _(h → 0^+)h^2+3h+2- 2/h
▼
Beräkna högerled
SubTerm

Subtrahera term

f'_+(1) =lim _(h → 0^+)h^2+3h/h
FactorOut

Bryt ut h

f'_+(1) =lim _(h → 0^+)h(h+3)/h
SimpQuot

Förenkla kvot

f'_+(1) =lim _(h → 0^+) h+3
To

h → 0

f'_+(1) = 0 +3
AddTerms

Addera termerna

f'_+(1) =3

b Vi kommer nu att beräkna den vänstra derivatan.

f'_-( 1) = lim _(h → 0^-)f( 1+h) - f( 1)/h Observera att 1 + h är mindre än 1. Det betyder att vi behöver använda uttrycket på andra raden i den givna funktionen.

f(x)= 2x
▼
Sätt in 1+h=x och förenkla
Substitute

x= - 2.5+h

f( 1+h)=2( 1+h)
Distr

Multiplicera in 2

f(1+h)= 2 + 2h
RearrangeTerms

Omarrangera termer

f(1+h)= 2h+2

Vi vet redan att f(1) = 2. Dessa värden sätts in i uttrycket för att bestämma det vänstra gränsvärdet.

f'_-(1) = lim _(h → 0^-)f(1+h) - f(1)/h
SubstituteII

f(- 2.5+h)= 2h+2 och f(1)= 2

f'_-(1) =lim _(h → 0^-)2h+2- 2/h
▼
Beräkna högerled
SubTerm

Subtrahera term

f'_-(1) =lim _(h → 0^-)2h/h
SimpQuot

Förenkla kvot

f'_-(1) =lim _(h → 0^-) 2
LimConst

lim_(x→ a) C = C

f'_-(1) = 2

b Vi har beräknat att värdet på den högra derivatan är 3 och värdet på den vänstra derivatan är 2.

r f'_+(1) = 3 [0.7em]f'_-(1)=2 ⇒ f'_+(1) ≠ f'_-(1) Eftersom värdena inte är lika, existerar inte derivatan av funktionen vid x = 1.
Utforska

Utforska egenskaper hos funktioner

Tre olika funktioner visas i applet.

Det här är jättebra. Nu, fundera på dessa frågor som ger ännu mer insikt:

  • Vad har dessa funktioner gemensamt?
  • Har de alla reella tal i sin definitionsmängd?
  • Vilken är kontinuerlig, och vilken har ett skarpt hörn?
  • Är det möjligt att avgöra om funktionerna är deriverbara vid x = 2?
Koncept

Deriverbarhet

En funktion som är deriverbar kan deriveras i alla punkter och har alltid "slät" graf, dvs. den saknar skarpa kanter. Exempelvis är polynomfunktioner alltid deriverbara, medan diskontinuerliga funktioner och de flesta funktioner med absolutbelopp är exempel på funktioner som inte är deriverbara i alla punkter.

Den formella definitionen av deriverbarhet är att gränsvärdet som definierar funktionens derivata, f'(x_0)=lim_(h→ 0)f(x_0+h)-f(x_0)/h,

existerar för varje punkt x_0 i definitionsmängden.
Exempel

Är funktionen deriverbar?

För vilka värden på x saknar funktionen en derivata?

Ledtråd
Vad är funktionens definitionsmängd? Är funktionen kontinuerlig? Har grafen ett skarpt hörn?

Lösning
En funktion är deriverbar vid vissa punkter om någon av följande villkor uppfylls:

  1. Definitionsmängd: Funktionen är definierad vid den punkten.
  2. Kontinuitet: Funktionen är kontinuerlig vid den punkten. En funktion måste vara kontinuerlig där den ska vara deriverbar.
  3. Hörn: Grafen har inget skarpt hörn som gör att vänster- och högerderivatan är olika (eller inte definierade).

Nu, låt oss titta på grafen. Det finns flera kandidater där funktionen kan vara icke-deriverbar.

Låt oss gå igenom varje punkt en i taget.

  • Vid x = 4: Det finns ett hörn (grafen ändrar riktning skarpt).
  • Vid x = 0: Funktionen är inte definierad vid den punkten.
  • Vid x = 6: Det finns ett avbrott. Grafen har ett hopp.
  • Vid x = 11: Grafen har en skarp svängning och bildar återigen ett hörn. Detta innebär att derivatan från vänster inte är lika med derivatan från höger.

Alltså saknar funktionen en derivata vid x = 4, x = 0, x = 6 och x = 11.
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Deriverbarhet
Uppgift 1.1

Betrakta följande funktion: f(x) = x^2-4/x+2 Vilket av följande påståenden är sant?

Definitionsmängden för en funktion är alla x som kan sättas in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med 0, är funktionen definierad för alla x utom de som gör nämnaren till 0. f(x) = x^2-4/x+2 I det här fallet blir nämnaren 0 när x = - 2. x + 2 = 0 ⇔ x = - 2 Funktionen är definierad för alla x utom x = - 2. Detta innebär också att funktionen är diskontinuerlig vid x = - 2. Observera att funktionen kan förenklas till f(x) = x - 2.

Funktionen representerar en rät linje. Däremot är f(- 2) odefinierad. För alla andra värden av x beter sig funktionen kontinuerligt och följer den linjära ekvationen y = x - 2.

Funktionen är odefinierad vid x = - 2, men kontinuerlig överallt annars. Svaret är B.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Är funktionen som visas nedan deriverbar för alla värden av x?

Funktionen f(x) = 2sin(x) är kontinuerlig och jämn för alla reella tal, och dess derivata existerar vid varje punkt. Detta är tydligt från dess graf.

Grafen är jämn och kontinuerlig utan några skarpa hörn, hopp eller vertikala tangenter. Vid varje punkt existerar en tangentlinje. Detta innebär att funktionen är deriverbar överallt.


Funktionen f(x) = tan(x) är inte deriverbar för alla värden av x, och detta kan observeras från dess graf.

Grafen för y = tan(x) har vertikala linjer (asymptoter) där funktionen är odefinierad vid x = π2 + nπ för varje heltal n. Vid dessa punkter skjuter grafen uppåt eller nedåt oändligt, vilket innebär att funktionen inte är deriverbar där.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Vilka av följande funktioner är deriverbara för alla x?

Låt oss gå igenom varje funktion och avgöra om den är deriverbar för alla x.

  • y = 1x är inte deriverbar för x = 0 eftersom funktionen inte är definierad där.
  • y = x är en polynomfunktion och polynom är deriverbara överallt.
  • y = 1x^2 är inte deriverbar för x = 0 eftersom funktionen inte är definierad där.
  • y = x^2 är deriverbar i alla punkter.

Låt oss också undersöka graferna för dessa funktioner. Grafen för icke-deriverbara funktioner består av två delar.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Undersök absolutbeloppsfunktionen. y=|4x+8|+12 Bestäm högerderivatan vid x=- 2.

Bestäm vänsterderivatan vid x=- 2.

Är funktionen deriverbar där?

Vi börjar med att undersöka för vilka värden av x uttrycket |4x+8| är positivt.

Därför kan vår funktion skrivas som f(x) = 4x + 8 + 12 när x ≥ - 2. Funktionen blir f(x) = - 4x - 8 + 12 när x < - 2. f(x) = 4x+20, & x ≥ - 2 - 4x+4, & x < - 2 Vi kan nu hitta den högra derivatan av funktionen vid x_0 = - 2. f'_+( - 2) = lim _(h → 0^+)f( - 2+h) - f( - 2)/h Om denna gräns inte existerar, har vi visat att funktionen inte är deriverbar vid x = - 2. Eftersom vi närmar oss punkten från höger, använder vi den första raden av funktionen. Med det i åtanke, låt oss beräkna f(- 2 + h) och f(- 2).

Vi hittar också f(- 2).

Vi stoppar in dessa värden för att beräkna gränsvärdet.


Vi ska nu beräkna vänsterderivatan. f'_-(- 2) = lim _(h → 0^-)f(- 2+h) - f(- 2)/h I det här fallet använder vi uttrycket på den andra raden av funktionen, vilket är - 4x + 4.

Vi vet redan att f(- 2) = 12. Vi stoppar nu in dessa värden för att bestämma det vänstra gränsvärdet.


Vi har beräknat höger- och vänsterderivatan av funktionen. f'_+(- 2) = 4 f'_-(- 2)=- 4 De har olika värden, så funktionen är inte deriverbar vid x = - 2.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

För vilka värden på x saknar funktionen en derivata?

En funktion är deriverbar i vissa punkter om följande villkor är uppfyllda:

  • Definitionsmängd: Funktionen är definierad i den punkten.
  • Diskontinuitet: Funktionen är kontinuerlig i den punkten. En funktion måste vara kontinuerlig för att vara deriverbar där.
  • Hörn: Grafen har inget skarpt hörn, vilket annars skulle göra att vänster- och högerderivatan skiljer sig (eller inte existerar).

Låt oss nu titta på grafen. Det finns flera kandidater där funktionen kan vara icke-deriverbar.

Låt oss gå igenom varje punkt en i taget.

Resonera
x=- 5 Det finns en diskontinuitet. Grafen har ett hopp.
x=5 Funktionen har en diskontinuitet — ett hopp.
x=7 Funktionen har ett skarpt hörn (en spets).
x=15 Funktionen har en spets.

Därför saknar funktionen en derivata vid x = 5, 7, och 15.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Deriverbarhet

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1​
=
=
√▢​
▢​√
∫▢▢​
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢​
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y