body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ toc.name }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ stepNode.name }}

{{ 'ml-toc-proceed' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

{{ 'ml-btn-show-less' | message }} {{ 'ml-btn-show-more' | message }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ ability.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

{{ 'ml-lesson-show-solutions' | message }}

{{ 'ml-lesson-show-hints' | message }}

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Många förlopp kan beskrivas av exponential- eller logaritmfunktioner. Om man vill studera dessa förlopp över tid kan det vara bra att veta hur man deriverar funktionerna.

Regel

Derivatan av exponentialfunktioner

Härledning

D (e^{x}) = e^{x}

För att visa varför derivatan till

e^{x}

är

e^{x}

kan man använda derivatans definition.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

$f (x + h) = e^{x + h}$ , $f (x) = e^{x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x + h} - e ^{x}}{h}

$a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} \cdot e ^{h} - e ^{x}}{h}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} \cdot e ^{h} - e ^{x} \cdot 1}{h}

Bryt ut $e^{x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} ( e ^{h} - 1 )}{h}

MovePartNumLeft

$\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim (e^{x} \cdot \frac{e ^{h} - 1}{h})

Eftersom

e^{x}

inte påverkas av att

h

går mot

0

kan man placera

e^{x}

utanför gränsvärdet:

f^{'} (x) = e^{x} \cdot h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h} .

Man kan visa att gränsvärdet

h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h}

är lika med

1

(detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

f^{'} (x) = e^{x} \cdot 1 = e^{x} .

Härledning

D (a^{x}) = a^{x} \cdot ln (a)

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen $a$ i exponentialfunktionen $f (x) = a^{x}$ enligt sambandet $a = e^{l n (a)}$ . Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen $e .$

f (x) = a^{x}

$a = e^{l n (a)}$

f (x) = (e^{l n (a)})^{x}

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

f (x) = e^{l n (a) \cdot x}

Uttrycken

a^{x}

och

e^{l n (a) \cdot x}

är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln

D (e^{k x}) = k e^{k x}

för att derivera

a^{x} .

Därefter skrivs

e^{l n (a)}

om till

a

igen.

f (x) = e^{l n (a) \cdot x}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{l n (a) \cdot x})

$D (e^{k x}) = k e^{k x}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot e^{l n (a) \cdot x}

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot (e^{l n (a)})^{x}

$e^{l n (a)} = a$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot a^{x}

När man deriverar funktioner på formen

e^{k x} eller a^{k x}

kan man se dem som sammansatta funktioner och därför använda kedjeregeln. De yttre funktionerna är

e^{u}

respektive

a^{u}

och i båda fallen är den inre funktionen

u = k x .

Man får då derivatan

k e^{k x} eller k a^{k x} \cdot ln (a) .

Det är alltså inte nödvändigt att minnas de särskilda deriveringsreglerna för

e^{k x}

respektive

a^{k x}

om man känner till kedjeregeln.

Bestäm derivatans nollställen

fullscreen

Lös ekvationen $f^{'} (x) = 0$ givet att $f (x) = e^{3 x^{2} - 2 x + 1} .$

Visa Lösning

För att kunna lösa ekvationen behöver vi först hitta ett uttryck för derivatan

f^{'} (x) .

Vi noterar att

f (x)

är en sammansatt funktion, med den yttre funktionen

y = e^{u}

och den inre funktionen

u = 3 x^{2} - 2 x + 1 .

Vi använder alltså kedjeregeln.

f (x) = e^{3 x^{2} - 2 x + 1}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{3 x^{2} - 2 x + 1})

$D (e^{u}) = e^{u} \cdot D (u)$

f^{'} (x) = e^{3 x^{2} - 2 x + 1} \cdot D (3 x^{2} - 2 x + 1)

Derivera term för term

f^{'} (x) = e^{3 x^{2} - 2 x + 1} \cdot (D (3 x^{2}) - D (2 x) + D (1))

$D (a x) = a$ , $D (a) = 0$

f^{'} (x) = e^{3 x^{2} - 2 x + 1} \cdot (D (3 x^{2}) - 2)

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = e^{3 x^{2} - 2 x + 1} \cdot (6 x - 2)

Vi kan nu använda nollproduktmetoden för att lösa ekvationen

f^{'} (x) = 0 .

Faktorn

e^{3 x^{2} - 2 x + 1}

kan dock aldrig bli

0

eftersom en potens med positiv bas alltid är positiv. Det räcker därför att lösa ekvationen

6 x - 2 = 0 .

6 x - 2 = 0

Lös ekvationen

$VL + 2 = HL + 2$

6 x = 2

$VL / 6 = HL / 6$

x = \frac{2}{6}

Förkorta med $2$

x = \frac{1}{3}

Derivatan har alltså nollstället

x = \frac{1}{3} .

Regel

Derivatan av $ln (x)$

Derivatan av den naturliga logaritmen, $ln (x),$ är $\frac{1}{x} .$

Härledning

D (ln (x)) = \frac{1}{x}

För att ta fram derivatan av

ln (x)

kan man använda talet

e

och definitionen för den naturliga logaritmen.

x = e^{l n (x)}

Eftersom

x

och

e^{l n (x)}

är lika måste även deras derivator vara lika, dvs.

D (x) = D (e^{l n (x)}) .

Vänsterledet är lika med

1

och högerledet deriveras med kedjeregeln. Den yttre funktionen är

e^{u}

och den inre är

u = ln (x) .

D (x) = D (e^{l n (x)})

$D (x) = 1$

1 = D (e^{l n (x)})

$D (e^{u}) = e^{u} \cdot D (u)$

1 = e^{l n (x)} \cdot D (ln (x))

$e^{l n (a)} = a$

1 = x \cdot D (ln (x))

Genom att nu lösa ut

D (ln (x))

får man ett uttryck för derivatan.

1 = x \cdot D (ln (x))

$VL / x = HL / x$

\frac{1}{x} = D (ln (x))

Omarrangera ekvation

D (ln (x)) = \frac{1}{x}

Derivatan av

ln (x)

är alltså

\frac{1}{x} .

Q.E.D.

Derivera en exponential- och logaritmfunktion

fullscreen

Derivera funktionen $f (x) = e^{x^{2} + x} - ln (2 x) .$

Visa Lösning

Vi har en differens som består av två sammansatta funktioner. De yttre funktionerna är

e^{x}

och

ln (x),

och de inre är

x^{2} + x

och

2 x .

Vi använder därför kedjeregeln tillsammans med deriveringsreglerna för

e^{x}

och

ln (x) .

f (x) = e^{x^{2} + x} - ln (2 x)

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{x^{2} + x}) - D (ln (2 x))

$D (e^{u}) = e^{u} \cdot D (u)$

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot D (x^{2} + x) - D (ln (2 x))

Derivera term för term

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot (D (x^{2}) + D (x)) - D (ln (2 x))

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + D (x)) - D (ln (2 x))

$D (x) = 1$

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1) - D (ln (2 x))

$D (ln (u)) = \frac{1}{u} \cdot D (u)$

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1) - \frac{1}{2 x} \cdot D (2 x)

$D (a x) = a$

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1) - \frac{1}{2 x} \cdot 2

MoveRightFacToNumOne

$\frac{1}{b} \cdot a = \frac{a}{b}$

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1) - \frac{2}{2 x}

Förkorta med $2$

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1) - \frac{1}{x}

Om man vill kan man multiplicera in

e^{x^{2} + x}

i parentesen, men då blir uttrycket längre.

{{ grade.displayTitle }}