Derivatan av en kvot

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Om två funktioner f(x)f(x) och g(x)g(x) divideras med varandra skapas en ny funktion, f(x)g(x),\frac{f(x)}{g(x)}, som är en kvot av de båda funktionerna. Exempelvis är y=xcos(x) y=\dfrac {\sqrt{x}}{\cos(x)}

en kvot av funktionerna f(x)=xf(x)=\sqrt{x} och g(x)=cos(x).g(x)=\cos(x).
Bevis

Kvotregeln

För att derivera funktioner som är kvoter av andra funktioner kan man använda kvotregeln.

Bevis

D(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x))2D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left(g(x) \right)^2}
För att bevisa kvotregeln börjar man med att skriva om uttrycket så att det inte längre är en kvot. f(x)g(x)=f(x)1g(x)=f(x)(g(x))-1 \dfrac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} = f(x) \left( g(x) \right)^{\text{-}1} Om man nu ser (g(x))-1\left( g(x) \right)^{\text{-}1} som en ny funktion som multipliceras med f(x)f(x) kan man använda produktregeln för att börja derivera.
f(x)g(x)=f(x)(g(x))-1\dfrac{f(x)}{g(x)} = f(x) \left( g(x) \right)^{\text{-}1}
D(f(x)g(x))=D(f(x)(g(x))-1)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left( f(x) \left( g(x) \right)^{\text{-}1} \right)
D(f(x)g(x))=D(f(x))(g(x))-1+f(x)D((g(x))-1)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} + f(x) \cdot D\left( \left( g(x) \right)^{\text{-}1} \right)
Nu kan man använda kedjeregeln på den sista derivatan, där man ser u-1u^{\text{-}1} som den yttre funktionen och u=g(x)u = g(x) som den inre.
D(f(x)g(x))=D(f(x))(g(x))-1+f(x)D((g(x))-1)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} + f(x) \cdot D\left( \left( g(x) \right)^{\text{-}1} \right)
D(f(x)g(x))=D(f(x))(g(x))-1+f(x)(-1(g(x))-2)D(g(x))D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} + f(x) \cdot \left( \text{-}1 \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \right) \cdot D\left( g(x) \right)
D(f(x)g(x))=D(f(x))(g(x))-1f(x)(g(x))-2D(g(x))D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} - f(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \cdot D\left( g(x) \right)
D(f(x)g(x))=f(x)(g(x))-1f(x)(g(x))-2g(x)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = f'(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} - f(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \cdot g'(x)
För att få derivatan på en mer lättläst form skriver man sedan om de negativa exponenterna som bråk och sätter dem på gemensam nämnare.
D(f(x)g(x))=f(x)(g(x))-1f(x)(g(x))-2g(x)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = f'(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} - f(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \cdot g'(x)
D(f(x)g(x))=f(x)1g(x)f(x)1(g(x))2g(x)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = f'(x) \cdot \dfrac{1}{g(x)} - f(x) \cdot \dfrac{1}{\left( g(x) \right)^2} \cdot g'(x)
D(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x))2D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}
Förläng f(x)g(x)\dfrac{f'(x)}{g(x)} med g(x)g(x)
D(f(x)g(x))=f(x)g(x)(g(x))2f(x)g(x)(g(x))2D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x)}{\left( g(x) \right)^2} - \dfrac{f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}
D(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x))2D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}
Nu står kvotregeln på den form man brukar presentera den: D(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x))2. D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}.
Uppgift

"Stora Fina Korvar AB" var under ca 2626 år ledande inom kycklingkorvsindustrin innan korvkrisen 19871987 ledde till att företaget gick i konkurs. Under denna period kunde antalet ton korv som producerades per år beskrivas av funktionen f(x)=x+xx27, f(x)=x+\dfrac{x}{x-27}, där xx är antalet år efter att företaget startade. Korvproduktionen nådde sin kulmen under dessa år. Vad var hastigheten för korvproduktionen vid den tidpunkt företaget producerade som mest?

Lösning
Eftersom funktionen beskriver just produktionshastighet kan vi bestämma den maximala hastigheten genom att hitta funktionens största värde. Detta finns i någon av funktionens stationära punkter eller ändpunkter. Men vi behöver inte undersöka ändpunkterna eftersom vi vet att korvproduktionen nådde sitt maximum någon gång mellan företagets start och konkurs. Vi börjar därför med att derivera funktionen för att hitta stationära punkter.
f(x)=x+xx27f(x)=x+\dfrac{x}{x-27}
f(x)=D(x)+D(xx27)f'(x)=D(x)+D\left(\dfrac{x}{x-27}\right)
f(x)=1+D(xx27)f'(x)=1+D\left(\dfrac{x}{x-27}\right)
Vi använder kvotregeln för att derivera xx27.\frac{x}{x-27}.
f(x)=1+D(xx27)f'(x)=1+D\left(\dfrac{x}{x-27}\right)
f(x)=1+D(x)(x27)xD(x27)(x27)2f'(x)=1+\dfrac{D(x)\cdot(x-27)-x\cdot D(x-27)}{(x-27)^2}
f(x)=1+D(x)(x27)x(D(x)D(27))(x27)2f'(x)=1+\dfrac{D(x)\cdot(x-27)-x\cdot (D(x)-D(27))}{(x-27)^2}
f(x)=1+D(x)(x27)xD(x)(x27)2f'(x)=1+\dfrac{D(x)\cdot(x-27)-x\cdot D(x)}{(x-27)^2}
f(x)=1+1(x27)x1(x27)2f'(x)=1+\dfrac{1\cdot(x-27)-x\cdot1}{(x-27)^2}
f(x)=1+(x27)x(x27)2f'(x)=1+\dfrac{(x-27)-x}{(x-27)^2}
f(x)=1+x27x(x27)2f'(x)=1+\dfrac{x-27-x}{(x-27)^2}
f(x)=1+-27(x27)2f'(x)=1+\dfrac{\text{-}27}{(x-27)^2}
f(x)=(x27)2(x27)2+-27(x27)2f'(x)=\dfrac{(x-27)^2}{(x-27)^2}+\dfrac{\text{-}27}{(x-27)^2}
f(x)=(x27)227(x27)2f'(x)=\dfrac{(x-27)^2-27}{(x-27)^2}
Nu sätter vi derivatan lika med 00 och löser ekvationen för att bestämma x-x\text{-}värdena där derivatan är 0.0.
(x27)227(x27)2=0\dfrac{(x-27)^2-27}{(x-27)^2}=0
(x27)227=0(x-27)^2-27=0
(x27)2=27(x-27)^2=27
x27=±27x-27=\pm\sqrt{27}
x=27±27x=27\pm\sqrt{27}
Eftersom företaget bara fanns i ca 2626 år är x-x\text{-}värdet som är större än 2727 ointressant. Därför måste x=2727x=27-\sqrt{27} vara det xx som ger funktionens största värde.
f(x)=x+xx27f(x)=x+\dfrac{x}{x-27}
f(2727)=2727+2727272727f\left({\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}\right)={\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}+\dfrac{{\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}}{{\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}-27}
f(2727)=2727+2727-27f\left(27-\sqrt{27}\right)=27-\sqrt{27}+\dfrac{27-\sqrt{27}}{\text{-}\sqrt{27}}
f(2727)=17.60769f\left(27-\sqrt{27}\right)=17.60769\ldots
Vid tidpunkten då företaget producerade som mest korv var produktionshastigheten alltså ca 17.617.6 ton/år.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}