Derivatan av en kvot

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Om två funktioner f(x)f(x) och g(x)g(x) divideras med varandra skapas en ny funktion, f(x)g(x),\frac{f(x)}{g(x)}, som är en kvot av de båda funktionerna. Exempelvis är y=xcos(x) y=\dfrac {\sqrt{x}}{\cos(x)}

en kvot av funktionerna f(x)=xf(x)=\sqrt{x} och g(x)=cos(x).g(x)=\cos(x).
Bevis

Kvotregeln

För att derivera funktioner som är kvoter av andra funktioner kan man använda kvotregeln.

Bevis

D(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x))2D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left(g(x) \right)^2}
För att bevisa kvotregeln börjar man med att skriva om uttrycket så att det inte längre är en kvot. f(x)g(x)=f(x)1g(x)=f(x)(g(x))-1 \dfrac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} = f(x) \left( g(x) \right)^{\text{-}1} Om man nu ser (g(x))-1\left( g(x) \right)^{\text{-}1} som en ny funktion som multipliceras med f(x)f(x) kan man använda produktregeln för att börja derivera.
f(x)g(x)=f(x)(g(x))-1\dfrac{f(x)}{g(x)} = f(x) \left( g(x) \right)^{\text{-}1}
D(f(x)g(x))=D(f(x)(g(x))-1)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left( f(x) \left( g(x) \right)^{\text{-}1} \right)
D(f(x)g(x))=D(f(x))(g(x))-1+f(x)D((g(x))-1)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} + f(x) \cdot D\left( \left( g(x) \right)^{\text{-}1} \right)
Nu kan man använda kedjeregeln på den sista derivatan, där man ser u-1u^{\text{-}1} som den yttre funktionen och u=g(x)u = g(x) som den inre.
D(f(x)g(x))=D(f(x))(g(x))-1+f(x)D((g(x))-1)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} + f(x) \cdot D\left( \left( g(x) \right)^{\text{-}1} \right)
D(f(x)g(x))=D(f(x))(g(x))-1+f(x)(-1(g(x))-2)D(g(x))D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} + f(x) \cdot \left( \text{-}1 \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \right) \cdot D\left( g(x) \right)
D(f(x)g(x))=D(f(x))(g(x))-1f(x)(g(x))-2D(g(x))D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} - f(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \cdot D\left( g(x) \right)
D(f(x)g(x))=f(x)(g(x))-1f(x)(g(x))-2g(x)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = f'(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} - f(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \cdot g'(x)
För att få derivatan på en mer lättläst form skriver man sedan om de negativa exponenterna som bråk och sätter dem på gemensam nämnare.
D(f(x)g(x))=f(x)(g(x))-1f(x)(g(x))-2g(x)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = f'(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} - f(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \cdot g'(x)
D(f(x)g(x))=f(x)1g(x)f(x)1(g(x))2g(x)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = f'(x) \cdot \dfrac{1}{g(x)} - f(x) \cdot \dfrac{1}{\left( g(x) \right)^2} \cdot g'(x)
D(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x))2D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}
Förläng f(x)g(x)\dfrac{f'(x)}{g(x)} med g(x)g(x)
D(f(x)g(x))=f(x)g(x)(g(x))2f(x)g(x)(g(x))2D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x)}{\left( g(x) \right)^2} - \dfrac{f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}
D(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x))2D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}
Nu står kvotregeln på den form man brukar presentera den: D(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x))2. D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}.
Uppgift

"Stora Fina Korvar AB" var under ca 2626 år ledande inom kycklingkorvsindustrin innan korvkrisen 19871987 ledde till att företaget gick i konkurs. Under denna period kunde antalet ton korv som producerades per år beskrivas av funktionen f(x)=x+xx27, f(x)=x+\dfrac{x}{x-27}, där xx är antalet år efter att företaget startade. Korvproduktionen nådde sin kulmen under dessa år. Vad var hastigheten för korvproduktionen vid den tidpunkt företaget producerade som mest?

Lösning
Eftersom funktionen beskriver just produktionshastighet kan vi bestämma den maximala hastigheten genom att hitta funktionens största värde. Detta finns i någon av funktionens stationära punkter eller ändpunkter. Men vi behöver inte undersöka ändpunkterna eftersom vi vet att korvproduktionen nådde sitt maximum någon gång mellan företagets start och konkurs. Vi börjar därför med att derivera funktionen för att hitta stationära punkter.
f(x)=x+xx27f(x)=x+\dfrac{x}{x-27}
f(x)=D(x)+D(xx27)f'(x)=D(x)+D\left(\dfrac{x}{x-27}\right)
f(x)=1+D(xx27)f'(x)=1+D\left(\dfrac{x}{x-27}\right)
Vi använder kvotregeln för att derivera xx27.\frac{x}{x-27}.
f(x)=1+D(xx27)f'(x)=1+D\left(\dfrac{x}{x-27}\right)
f(x)=1+D(x)(x27)xD(x27)(x27)2f'(x)=1+\dfrac{D(x)\cdot(x-27)-x\cdot D(x-27)}{(x-27)^2}
f(x)=1+D(x)(x27)x(D(x)D(27))(x27)2f'(x)=1+\dfrac{D(x)\cdot(x-27)-x\cdot (D(x)-D(27))}{(x-27)^2}
f(x)=1+D(x)(x27)xD(x)(x27)2f'(x)=1+\dfrac{D(x)\cdot(x-27)-x\cdot D(x)}{(x-27)^2}
f(x)=1+1(x27)x1(x27)2f'(x)=1+\dfrac{1\cdot(x-27)-x\cdot1}{(x-27)^2}
f(x)=1+(x27)x(x27)2f'(x)=1+\dfrac{(x-27)-x}{(x-27)^2}
f(x)=1+x27x(x27)2f'(x)=1+\dfrac{x-27-x}{(x-27)^2}
f(x)=1+-27(x27)2f'(x)=1+\dfrac{\text{-}27}{(x-27)^2}
f(x)=(x27)2(x27)2+-27(x27)2f'(x)=\dfrac{(x-27)^2}{(x-27)^2}+\dfrac{\text{-}27}{(x-27)^2}
f(x)=(x27)227(x27)2f'(x)=\dfrac{(x-27)^2-27}{(x-27)^2}
Nu sätter vi derivatan lika med 00 och löser ekvationen för att bestämma x-x\text{-}värdena där derivatan är 0.0.
(x27)227(x27)2=0\dfrac{(x-27)^2-27}{(x-27)^2}=0
(x27)227=0(x-27)^2-27=0
(x27)2=27(x-27)^2=27
x27=±27x-27=\pm\sqrt{27}
x=27±27x=27\pm\sqrt{27}
Eftersom företaget bara fanns i ca 2626 år är x-x\text{-}värdet som är större än 2727 ointressant. Därför måste x=2727x=27-\sqrt{27} vara det xx som ger funktionens största värde.
f(x)=x+xx27f(x)=x+\dfrac{x}{x-27}
f(2727)=2727+2727272727f\left({\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}\right)={\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}+\dfrac{{\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}}{{\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}-27}
f(2727)=2727+2727-27f\left(27-\sqrt{27}\right)=27-\sqrt{27}+\dfrac{27-\sqrt{27}}{\text{-}\sqrt{27}}
f(2727)=17.60769f\left(27-\sqrt{27}\right)=17.60769\ldots
Vid tidpunkten då företaget producerade som mest korv var produktionshastigheten alltså ca 17.617.6 ton/år.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm

a

D(ln(x)x2)D \left( \dfrac{\ln(x)}{x^2} \right)

b

D(3x2ex)D \left( \dfrac{3x^2}{e^x} \right)

c

D(4xx)D \left( \dfrac{4^x}{x} \right)

d

D(e5x(x+3)3)D \left( \dfrac{e^{5x}}{(x+3)^3} \right)

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm f(2)f'(2) och svara sedan exakt.

a

f(x)=2x4ln(x)f(x)=\dfrac{2x^4}{\ln(x)}

b

f(x)=6xexf(x)=\dfrac{6^x}{e^x}

c

f(x)=(x2+1)2xf(x)=\dfrac{(x^2+1)^2}{x}

d

f(x)=43x3x4f(x)=\dfrac{4^{3x}}{3x^4}

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm ekvationen för linjen som tangerar grafen till f(x)=ln(x)1x f(x) = \dfrac{\ln (x) }{1-x} när x=2.x=2.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Edwina har precis adopterat kattungen Halvard och har ställt upp en modell för hans vikt: V(t)=5tt+15, V(t) = \dfrac{5t}{t+15}, där VV är vikten i kilo och tt är Halvards ålder i veckor. Använd modellen för att bestämma hur snabbt Halvards vikt ökar när han är 4747 veckor gammal.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Milton är glad för han har precis blivit färdig med att beräkna h(4)h'(4) för en funktion. Så här har Milton räknat på sitt papper.

Uppgift 3268.svg

Har Milton räknat rätt? Om inte, vad är det faktiska värdet av h(4)?h'(4)?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera a(x)=2x5xa(x) = \dfrac{2\sqrt{x} -5}{x}

a
med kvotregeln
b
med produktregeln
c
utan kvotregeln eller produktregeln.
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen f(x)=cxx+3 f(x) = \frac{cx}{x+3} gäller att f(1)=1.f'(1) = 1. Bestäm konstanten c.c.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) kan skrivas som en kvot enligt f(x)=1g(x).f(x)=\frac{1}{g(x)}. Bestäm derivatan f(x)f'(x) med

a

kvotregeln

b

kedjeregeln genom att skriva om den som den sammansatta funktionen (g(x))-1.\left( g(x) \right)^{\text{-}1}.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Företaget Humboldts Pingvinstatyer AB tillverkar i sin fabrik statyer föreställande pingviner för export framförallt till Sydamerika. Statyerna är mycket populära och de skulle kunna sälja betydligt fler än de hinner tillverka. Statistikavdelningen på företaget har funnit att företagets vinst kan approximeras med funktionen V(t)=-10+0.8t4+t30.5e0.4(t+3)0<t<15 V(t)=\text{-} 10 + 0.8\dfrac{t^4+t^3}{0.5e^{0.4(t+3)}} \quad 0<t<15 där VV är vinsten i tusental kronor/dag och tt är antalet timmar som produktionsanläggningen är i drift under dagen. Hur stor vinst kan företaget göra som mest per dag? Avrunda till hela tusental kronor.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att produktregeln, dvs. D(fg)=fg+fg, D(f\cdot g)=f'\cdot g+f\cdot g', gäller genom att skriva om produkten fgf\cdot g som kvoten fg-1 \dfrac{f}{g^{\,\text{-} 1}} och använda kvotregeln.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionerna p(x)=f(x)g(x)p(x)=f(x)g(x) och q(x)=f(x)g(x)q(x)=\frac{f(x)}{g(x)} har båda en stationär punkt för x=a.x = a. Visa att även f(x)f(x) måste ha en stationär punkt i x=a.x=a.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}