6. De Moivres formel
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
6.
De Moivres formel
De Moivres formel är en viktig del av matematiken, speciellt när det gäller att lösa trigonometriska ekvationer. Formeln är särskilt användbar för att beräkna potenser av komplexa tal. Dessutom kan den användas för att lösa potensekvationer. En intressant aspekt av formeln är att lösningarna till potensekvationer alltid bildar en regelbunden månghörning med origo som medelpunkt i det komplexa talplanet. Detta innebär att om man markerar dem i det komplexa talplanet kommer de att hamna på en cirkel med en viss radie. Denna insikt kan vara mycket användbar i olika matematiska sammanhang.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 12 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
De Moivres formel
Sida av 5
Om ett komplext tal med absolutbelopp $1$ upphöjs till ett heltal $n,$ kan det beräknas med ett samband som kallas de Moivres formel.
$\left( \cos(v) + i\sin(v) \right)^n = \cos(nv) + i\sin(nv)$
Detta kan man visa genom att skriva det komplexa talet på exponentiell form.
Härledning
de Moivres formelMan börjar med att använda Eulers formel och sedan en av potenslagarna.
\(\left( \cos(v) + i\sin(v) \right)^n\)
CompTrigToEulerOne
\CompTrigToEulerOne
\(\left( e^{iv} \right)^n\)
PowPow
\PowPow
\(e^{inv}\)
Nu kan man använda Eulers formel åt andra hållet för att byta tillbaka till trigonometrisk form. Argumentet kan man läsa av som $nv.$ \[ e^{inv}=\CompTrigOneArg{nv} \]
$\left( r\left( \cos(v) + i\sin(v) \right) \right)^n = r^n \left(\cos(nv) + i\sin(nv) \right)$
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Använd de Moivres formel
Visa Lösning expand_more
Vi sätter in uttrycket för det komplexa talet i $z^9.$ Det ger \[ z^9=\left(\CompTrigArg{2}{\dfrac{5\pi}{3}}\right)^9. \] Nu använder vi de Moivres formel för att beräkna potensen.
\(z^9=\left( \CompTrigArg{2}{\dfrac{5\pi}{3}} \right)^9\)
CompTrigPow
\CompTrigPow
\(z^9=2^9 \left(\CompTrigOneArg{9 \g \dfrac{5\pi}{3}} \right)\)
MoveLeftFacToNum
\MoveLeftFacToNum
\(z^9=2^9 \left(\CompTrigOneArg{\dfrac{45\pi}{3}} \right)\)
SimpQuot
\SimpQuot
\(z^9=2^9 \left(\CompTrigOneArg{15\pi} \right)\)
CalcPow
\CalcPow
\(z^9=512 \left(\CompTrigOneArg{15\pi} \right)\)
Eftersom man kan dra bort hela varv utan att trigonometriska värden förändras kan vi dra bort multiplar av $2\pi$ från argumentet. Genom att dra bort $14\pi,$ dvs. sju hela varv, får vi standardvinkeln $\pi$ som vi känner till de trigonometriska värdena för.
\(z^9=512 \left(\CompTrigOneArg{\pi} \right)\)
CosRad
\CosRad{180}, \SinRad{180}
\(z^9=512(\N1)\)
Multiply
\Multiply
\(z^9=\N512\)
Svaret blir alltså det reella talet $\N512.$
Dela
Rapportera fel
Översätt
Förklaring
Potensekvationer med komplexa rötter
de Moivres formel är användbar för att beräkna potenser av komplexa tal, men den är speciellt användbar för att lösa potensekvationer. Man kan exempelvis använda den för att lösa ekvationen \[ z^3=\N8. \] En lösning är $z=\N2$ eftersom $(\N2)^3=\N8,$ men det finns även icke-reella rötter, \tex $z=1+i\sqrt{3}.$ Alla ekvationer har alltså inte enbart helt reella lösningar, utan i många fall kan de också innehålla imaginärdelar. Faktum är att ekvationer på formen \[ z^n=w \]
har $n$ stycken komplexa rötter. Ekvationen $z^3=\N8$ har alltså $3$ komplexa lösningar varav två är icke-reella.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Lösa potensekvationer med komplexa rötter
För att lösa potensekvationer av typen \[ z^4=\CompTrigArg{16}{\dfrac{3\pi}{2}} \] använder man de Moivres formel. Om högerledet är skrivet på rektangulär form börjar man med att omvandla det till polär form.
1
Använd de Moivres formel
expand_more Högerledet är ett uttryck för $z^4.$ Ett generellt uttryck för komplexa tal $z$ är \[
z=\CompTrigArg{r}{v}.
\]
Nu kan man utveckla $z^4$ med de Moivres formel.
\(z^4\)
SubstituteExpressions
\SubstituteExpressions
\(\left(\CompTrigArg{r}{v}\right)^4\)
CompTrigPow
\CompTrigPow
\(\CompTrigArg{r^4}{4v}\)
Man har nu två olika uttryck för $z^4\text{:}$ \begin{aligned} z^4 &= \CompTrigArg{r^4}{4v} \\ z^4 &= \CompTrigArg{16}{\dfrac{3\pi}{2}}. \end{aligned}
2
Likställ absolutbeloppen och argumenten
expand_more De två uttrycken beskriver samma komplexa tal. Därför måste absolutbeloppen vara samma:
\[r^4 = 16.\]
Argumenten behöver däremot inte vara exakt samma, bara de motsvarar samma riktning i det komplexa talplanet. Är de inte lika måste de alltså vara åtskilda av ett helt antal varv:
\[4v=\dfrac{3\pi}{2}+n\g 2\pi.\]
3
Lös ekvationerna
expand_more De två ekvationerna kan nu lösas separat. Absolutbeloppet måste vara ett reellt, icke-negativt tal så här behöver man inte ta hänsyn till några icke-reella rötter.
\(r^4=16\)
RadicalEqn
\RadicalEqn{4}
\(r=\pm \sqrt[4]{16}\)
CalcRoot
\CalcRoot
\(r=\pm 2\)
\Greater{r}{0}
\(r=2\)
Absolutbeloppet är $r=2.$ Nu bestämmer man argumentet.
\(4v=\dfrac{3\pi}{2}+n\t 2\pi\)
DivEqn
\DivEqn{4}
\(v=\dfrac{3\pi}{2\g 4}+n\t\dfrac{2\pi}{4}\)
Multiply
\Multiply
\(v=\dfrac{3\pi}{8}+n\t\dfrac{2\pi}{4}\)
ReduceFracII
\ReduceFracII{\dfrac{2\pi}{4}}{2}
\(v=\dfrac{3\pi}{8}+n\t\dfrac{\pi}{2}\)
De komplexa talen som löser ekvationen har alltså argumenten \[ v=\dfrac{3\pi}{8}+n\t\dfrac{\pi}{2}, \] där $n$ är ett heltal.
4
Välj argument
expand_more Antalet lösningar är lika många som exponenten i ursprungsekvationen. I det här fallet är det $4.$ Argumentekvationen gav oändligt många lösningar, men bara fyra som motsvarar unika riktningar i talplanet. Resten är periodiska upprepningar av dessa. De fyra argumenten kan hittas med \tex de fyra första $n$-värdena, från $0$ till $3.$
| $n$ | $\dfrac{3\pi}{8}+n\t\dfrac{\pi}{2}$ | $v$ |
|---|---|---|
| $\col{0}$ | $\dfrac{3\pi}{8}+\col{0}\t\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{3\pi}{8}$ |
| $\col{1}$ | $\dfrac{3\pi}{8}+\col{1}\t\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{7\pi}{8}$ |
| $\col{2}$ | $\dfrac{3\pi}{8}+\col{2}\t\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{11\pi}{8}$ |
| $\col{3}$ | $\dfrac{3\pi}{8}+\col{3}\t\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{15\pi}{8}$ |
Provar man högre eller lägre $n$-värden kan man se att man bara hittar helvarvsförskjutningar av dessa fyra. Det är dock inget speciellt med just dessa, utan det går lika bra att använda \tex $n=3,4,5,6.$ Huvudsaken är att valet motsvarar unika riktningar i talplanet, så att samtliga $4$ komplexa tal hittas.
5
Skriv på rätt form
expand_more Talet $z$ ska alltså ha absolutbeloppet $2$ och något av argumenten $\frac{3\pi}{8},$ $\frac{7\pi}{8},$ $\frac{11\pi}{8}$ och $\frac{15\pi}{8}.$ Ekvationens lösningar bör nu anges som tal och inte bara som polära koordinater. Eftersom ekvationen gavs på trigonometrisk form är det lämpligt att använda det även här:
\begin{aligned}
&z=\CompTrigArg{2}{\dfrac{3\pi}{8}} \\
&z=\CompTrigArg{2}{\dfrac{7\pi}{8}} \\
&z=\CompTrigArg{2}{\dfrac{11\pi}{8}} \\
&z=\CompTrigArg{2}{\dfrac{15\pi}{8}}.
\end{aligned}
Dela
Rapportera fel
Översätt
Förklaring
Hur tolkar man lösningarna till en potensekvation i det komplexa talplanet?
När man löser potensekvationer av typen $z^n=w$ får man $n$ st. komplexa rötter. Exempelvis har ekvationen $z^3=\N8$ lösningarna \begin{aligned} &z=\CompTrigArg{2}{60\Deg} \\ &z=\CompTrigArg{2}{180\Deg} \\ &z=\CompTrigArg{2}{300\Deg}. \end{aligned} Alla rötter har absolutbeloppet $2.$ Det betyder att om man markerar dem i det komplexa talplanet kommer de att hamna på en cirkel med radien $2.$
Eftersom vinkelavståndet mellan varje lösning är $120\Deg$ betyder det att om man drar raka streck mellan dem kommer det att bildas en regelbunden $n$-hörning, i det här fallet en liksidig triangel.
Ekvationen $z^9=3815$ har $9$ rötter som bildar en regelbunden niohörning.
Dela
Rapportera fel
Översätt
De Moivres formel
Uppgift 3.1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"st","answer":{"text":["133"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"st","answer":{"text":["49"]}}
security
report
code
security
report
code
Potensekvationer på formen $z^n = w,$ där $n$ är ett positivt heltal, har $n$ stycken komplexa rötter. Ekvationen har alltså $133$ rötter och alla dessa är komplexa. Vissa av dessa rötter må vara rent imaginära eller reella, men de är ändå komplexa.
Dessa rötter utgör en regelbunden $n\N$hörning i det komplexa talplanet eftersom de har samma absolutbelopp och är separerade med samma vinkel. Vinkeln de är separerade med måste därmed vara $\frac{1}{133}$ av ett varv, alltså $\frac{2\pi}{133}.$ Den reella roten $z = \sqrt[133]{7}$ har argumentet $0.$ Vi kan då ställa upp ett uttryck för rötternas argument.
\begin{aligned}
\text{arg}(z) = 0 + n \t \dfrac{2\pi}{133} = n \t \dfrac{2\pi}{133},
\end{aligned}
där $n$ är ett heltal. Vi ska nu avgöra hur många av dessa lösningar som ligger i det specificerade området. För att göra detta vill vi undersöka vilka $n$ som ger argument större än $\frac{5\pi}{4}$ och mindre än $2\pi.$ Vi börjar med den nedre gränsen.
Det minsta $n$ sådant att roten ligger inom området är alltså $84.$ Vi genomför nu samma beräkning för den övre gränsen.
Det största $n$ är därmed $132.$ Detta innebär att det finns exakt \begin{aligned} 132 - 84 + 1 = 49 \end{aligned} rötter till ekvationen som ligger i det specificerade området. Vi adderade $1$ eftersom både $n = 84$ och $n = 132$ ingår i vår sökta mängd.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm arean av den figur som bildas av rötterna till ekvationen z^5=32. Avrunda till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"\\ae","answer":{"text":["9,5"]}}
security
report
code
security
report
code
Rötterna till potensekvationer på formen z^n = w, där n är ett positivt heltal, bildar en regelbunden $n\N$hörning i det komplexa talplanet. I det här fallet kommer rötterna alltså spänna upp en regelbunden femhörning, ungefär som i figuren nedan.
För att bestämma arean av en regelbunden femhörning kan man beräkna arean för 1 av de 5 kongruenta trianglar som femhörningen kan delas in i, och sedan multiplicera med 5. Om vi kan ta reda på den nedan markerade sidlängden x och vinkeln w kan vi bestämma arean av en triangel med areasatsen: Area=absin(C)/2, där a och b är sidlängder i triangeln och C är mellanliggande vinkel.
Vinkeln w kan vi bestämma genom att dividera ett helt varv, 2π, med 5, så w= 2π5. Sidlängden x motsvarar rötternas absolutbelopp, vilket vi bestämmer genom att skriva om ekvationens vänsterled på trigonometrisk polär form.
Nu kan vi läsa av absolutbeloppet som r^5. Detta ska vara lika med absolutbeloppet av 32, dvs. 32.
Rötternas absolutbelopp är alltså 2, så x=2.
Nu kan vi bestämma arean för en av trianglarna.
För att undvika avrundningsfel beräknar vi inte arean än. Till sist multiplicerar vi arean för en av trianglarna med 5 för att få femhörningens totala area.
Arean av femhörningen som bildas av rötterna till ekvationen z^5=32 är alltså cirka 9,5 a.e. Notera att vi inte behövde hitta rötternas argument för att bestämma arean. Om man skulle göra det samt markera rötterna i det komplexa talplanet skulle det se ut på följande sätt.
Detta bekräftar det vi redan vet – att rötterna har absolutbeloppet 2 och att varje par av intilliggande rötter separeras av vinkeln 2π5.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
De Moivres formel
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll