body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Dashboard

De Moivres formel Visa detaljer

Innehållsförteckning

Klar med uppgifterna

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Kapitel

De Moivres formel

De Moivres formel är en viktig del av matematiken, speciellt när det gäller att lösa trigonometriska ekvationer. Formeln är särskilt användbar för att beräkna potenser av komplexa tal. Dessutom kan den användas för att lösa potensekvationer. En intressant aspekt av formeln är att lösningarna till potensekvationer alltid bildar en regelbunden månghörning med origo som medelpunkt i det komplexa talplanet. Detta innebär att om man markerar dem i det komplexa talplanet kommer de att hamna på en cirkel med en viss radie. Denna insikt kan vara mycket användbar i olika matematiska sammanhang.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

De Moivres formel

Sida av 8

Utforska

Potenser av komplexa tal i det komplexa planet

Det komplexa talet z = 1/sqrt(2)+1/sqrt(2)i har absolutbeloppet 1 och argumentet 45^(∘). Det visas i det komplexa planet nedan.

Detta komplexa tal kan också skrivas på polär form. z = cos(45^(∘))+isin(45^(∘)) De första potenserna av z visas i följande komplexa plan.

Observera hur potenserna av z ligger på enhetscirkeln och hur deras argument är jämnt fördelade.

Hur är argumentet för ett komplext tal relaterat till argumentet för dess n-te potens?
Hur förändras potenserna om talets absolutbelopp inte är 1?

Regel

de Moivres formel

Om ett komplext tal med absolutbelopp 1 upphöjs till ett heltal n, kan det beräknas med ett samband som kallas de Moivres formel.

( cos(v) + isin(v) )^n = cos(nv) + isin(nv)

Genom att lägga till ett generellt absolutbelopp r och använda en potenslag får man en version av de Moivres formel som gäller för alla komplexa tal.

( r( cos(v) + isin(v) ) )^n = r^n (cos(nv) + isin(nv) )

Ett komplext tal upphöjt till n har alltså absolutbeloppet r^n och argumentet nv. Detta kan man visa genom att skriva det komplexa talet på exponentiell form.

Bevis

de Moivres formel

Man börjar med att använda Eulers formel och sedan en av potenslagarna.

( cos(v) + isin(v) )^n =

CompTrigToEulerOne

cos(v) + i sin(v) = e^(iv)

= ( e^(iv) )^n =

PowPow

(a^b)^c=a^(b* c)

= e^(inv)

Nu kan man använda Eulers formel åt andra hållet för att byta tillbaka till trigonometrisk form. Argumentet kan man läsa av som nv. e^(inv)=cos(nv)+isin(nv)

Använd de Moivres formel

fullscreen

Använd de Moivres formel för att utföra beräkningen z^9 om z = 2(cos(5π/3)+isin(5π/3)). Svara på rektangulär form.

Visa Lösning

Vi sätter in uttrycket för det komplexa talet i z^9. Det ger z^9=(2(cos(5π/3)+isin(5π/3)))^9. Nu använder vi de Moivres formel för att beräkna potensen.

z^9=( 2(cos(5π/3)+isin(5π/3)) )^9

CompTrigPow

(r(cos(v)+isin(v)))^n=r^n(cos(nv)+isin(nv))

z^9=2^9 (cos(9 * 5π/3)+isin(9 * 5π/3) )

MoveLeftFacToNum

a*b/c= a* b/c

z^9=2^9 (cos(45π/3)+isin(45π/3) )

SimpQuot

Förenkla kvot

z^9=2^9 (cos(15π)+isin(15π) )

CalcPow

Beräkna potens

z^9=512 (cos(15π)+isin(15π) )

Eftersom man kan dra bort hela varv utan att trigonometriska värden förändras kan vi dra bort multiplar av 2π från argumentet. Genom att dra bort 14π, dvs. sju hela varv, får vi standardvinkeln π som vi känner till de trigonometriska värdena för.

z^9=512 (cos(π)+isin(π) )

CosRad

\ifnumequal{180}{0}{\cos\left(0\right)=1}{}\ifnumequal{180}{30}{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{45}{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{60}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{90}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{180}{120}{\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=- \dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{135}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=- \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{150}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=- \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{180}{\cos\left(\pi\right)=- 1}{}\ifnumequal{180}{210}{\cos\left(\dfrac{7\pi}6\right)=- \dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{225}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{240}{\cos\left(\dfrac{4\pi}3\right)=- \dfrac {1}2}{}\ifnumequal{180}{270}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{180}{300}{\cos\left(\dfrac{5\pi}3\right)=\dfrac{1}2}{}\ifnumequal{180}{315}{\cos\left(\dfrac{7\pi}4\right)=\dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{330}{\cos\left(\dfrac{11\pi}6\right)=\dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{360}{\cos\left(2\pi\right)=1}{}, \ifnumequal{180}{0}{\sin\left(0\right)=0}{}\ifnumequal{180}{30}{\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{45}{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{60}{\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{90}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1}{}\ifnumequal{180}{120}{\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{135}{\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{150}{\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{180}{\sin\left(\pi\right)=0}{}\ifnumequal{180}{210}{\sin\left(\dfrac{7\pi}6\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{180}{225}{\sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{240}{\sin\left(\dfrac{4\pi}3\right)=- \dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{270}{\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=- 1}{}\ifnumequal{180}{300}{\sin\left(\dfrac{5\pi}3\right)=- \dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{315}{\sin\left(\dfrac{7\pi}4\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{330}{\sin\left(\dfrac{11\pi}6\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{180}{360}{\sin\left(2\pi\right)=0}{}

z^9=512(-1)

Multiply

Multiplicera faktorer

z^9=-512

Svaret blir alltså det reella talet -512.

Förklaring

Potensekvationer med komplexa rötter

de Moivres formel är användbar för att beräkna potenser av komplexa tal, men den är speciellt användbar för att lösa potensekvationer. Man kan exempelvis använda den för att lösa ekvationen z^3=-8. En lösning är z=-2 eftersom (-2)^3=-8, men det finns även icke-reella rötter, t.ex. z=1+isqrt(3). Alla ekvationer har alltså inte enbart helt reella lösningar, utan i många fall kan de också innehålla imaginärdelar. Faktum är att ekvationer på formen z^n=w

har n stycken komplexa rötter. Ekvationen z^3=-8 har alltså 3 komplexa lösningar varav två är icke-reella.

Metod

Lösa potensekvationer med komplexa rötter

För att lösa potensekvationer av typen z^4=16(cos(3π/2)+isin(3π/2)) använder man de Moivres formel. Om högerledet är skrivet på rektangulär form börjar man med att omvandla det till polär form.

Använd de Moivres formel

Högerledet är ett uttryck för z^4. Ett generellt uttryck för komplexa tal z är z=r(cos(v)+isin(v)). Nu kan man utveckla z^4 med de Moivres formel.

z^4

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

(r(cos(v)+isin(v)))^4

CompTrigPow

(r(cos(v)+isin(v)))^n=r^n(cos(nv)+isin(nv))

r^4(cos(4v)+isin(4v))

Man har nu två olika uttryck för z^4: z^4 &= r^4(cos(4v)+isin(4v)) z^4 &= 16(cos(3π/2)+isin(3π/2)).

Likställ absolutbeloppen och argumenten

De två uttrycken beskriver samma komplexa tal. Därför måste absolutbeloppen vara samma: r^4 = 16. Argumenten behöver däremot inte vara exakt samma, bara de motsvarar samma riktning i det komplexa talplanet. Är de inte lika måste de alltså vara åtskilda av ett helt antal varv: 4v=3π/2+n* 2π.

Lös ekvationerna

De två ekvationerna kan nu lösas separat. Absolutbeloppet måste vara ett reellt, icke-negativt tal så här behöver man inte ta hänsyn till några icke-reella rötter.

r^4=16

RadicalEqn

sqrt(VL)=sqrt(HL)

r=± sqrt(16)

CalcRoot

Beräkna rot

r=± 2

r > 0

r=2

Absolutbeloppet är r=2. Nu bestämmer man argumentet.

4v=3π/2+n* 2π

DivEqn

.VL /4.=.HL /4.

v=3π/2* 4+n*2π/4

Multiply

Multiplicera faktorer

v=3π/8+n*2π/4

ReduceFracII

Förkorta 2π/4 med 2

v=3π/8+n*π/2

De komplexa talen som löser ekvationen har alltså argumenten v=3π/8+n*π/2, där n är ett heltal.

Välj argument

Antalet lösningar är lika många som exponenten i ursprungsekvationen. I det här fallet är det 4. Argumentekvationen gav oändligt många lösningar, men bara fyra som motsvarar unika riktningar i talplanet. Resten är periodiska upprepningar av dessa. De fyra argumenten kan hittas med t.ex. de fyra första n-värdena, från 0 till 3.

n	3π/8+n*π/2	v
0	3π/8+ 0*π/2	3π/8
1	3π/8+ 1*π/2	7π/8
2	3π/8+ 2*π/2	11π/8
3	3π/8+ 3*π/2	15π/8

Provar man högre eller lägre n-värden kan man se att man bara hittar helvarvsförskjutningar av dessa fyra. Det är dock inget speciellt med just dessa, utan det går lika bra att använda t.ex. n=3,4,5,6. Huvudsaken är att valet motsvarar unika riktningar i talplanet, så att samtliga 4 komplexa tal hittas.

Skriv på rätt form

Talet z ska alltså ha absolutbeloppet 2 och något av argumenten 3π8, 7π8, 11π8 och 15π8. Ekvationens lösningar bör nu anges som tal och inte bara som polära koordinater. Eftersom ekvationen gavs på trigonometrisk form är det lämpligt att använda det även här: &z=2(cos(3π/8)+isin(3π/8)) [0.9em] &z=2(cos(7π/8)+isin(7π/8)) [0.9em] &z=2(cos(11π/8)+isin(11π/8)) [0.9em] &z=2(cos(15π/8)+isin(15π/8)).

Förklaring

Hur tolkar man lösningarna till en potensekvation i det komplexa talplanet?

När man löser potensekvationer av typen z^n=w får man n st. komplexa rötter. Exempelvis har ekvationen z^3=-8 lösningarna &z=2(cos(60^(∘))+isin(60^(∘))) &z=2(cos(180^(∘))+isin(180^(∘))) &z=2(cos(300^(∘))+isin(300^(∘))). Alla rötter har absolutbeloppet 2. Det betyder att om man markerar dem i det komplexa talplanet kommer de att hamna på en cirkel med radien 2.

Eftersom vinkelavståndet mellan varje lösning är 120^(∘) betyder det att om man drar raka streck mellan dem kommer det att bildas en regelbunden n-hörning, i det här fallet en liksidig triangel.

Ekvationen z^9=3815 har 9 rötter som bildar en regelbunden niohörning.

Samtliga lösningar till potensekvationer på formen z^n=w bildar alltid en regelbunden n-hörning med origo som medelpunkt i det komplexa talplanet.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

De Moivres formel

Uppgift 3.1

Potensekvationen z^(133) = 7 har ett antal rötter.

Hur många av rötterna är komplexa?

Hur många av rötterna ligger i området 5π/4 < arg(z) < 2π?

Potensekvationer på formen z^n = w, där n är ett positivt heltal, har n stycken komplexa rötter. Ekvationen har alltså 133 rötter och alla dessa är komplexa. Vissa av dessa rötter må vara rent imaginära eller reella, men de är ändå komplexa.

Dessa rötter utgör en regelbunden n-hörning i det komplexa talplanet eftersom de har samma absolutbelopp och är separerade med samma vinkel. Vinkeln de är separerade med måste därmed vara 1/133 av ett varv, alltså 2π/133. Den reella roten z = sqrt(7) har argumentet 0. Vi kan då ställa upp ett uttryck för rötternas argument. arg(z) = 0 + n * 2π/133 = n * 2π/133, där n är ett heltal. Vi ska nu avgöra hur många av dessa lösningar som ligger i det specificerade området. För att göra detta vill vi undersöka vilka n som ger argument större än 5π/4 och mindre än 2π. Vi börjar med den nedre gränsen.

Det minsta n sådant att roten ligger inom området är alltså 84. Vi genomför nu samma beräkning för den övre gränsen.

Det största n är därmed 132. Detta innebär att det finns exakt 132 - 84 + 1 = 49 rötter till ekvationen som ligger i det specificerade området. Vi adderade 1 eftersom både n = 84 och n = 132 ingår i vår sökta mängd.

Bestäm arean av den figur som bildas av rötterna till ekvationen z^5=32. Avrunda till en decimal.

Rötterna till potensekvationer på formen z^n = w, där n är ett positivt heltal, bildar en regelbunden n-hörning i det komplexa talplanet. I det här fallet kommer rötterna alltså spänna upp en regelbunden femhörning, ungefär som i figuren nedan.

För att bestämma arean av en regelbunden femhörning kan man beräkna arean för 1 av de 5 kongruenta trianglar som femhörningen kan delas in i, och sedan multiplicera med 5. Om vi kan ta reda på den nedan markerade sidlängden x och vinkeln w kan vi bestämma arean av en triangel med areasatsen: Area=absin(C)/2, där a och b är sidlängder i triangeln och C är mellanliggande vinkel.

Vinkeln w kan vi bestämma genom att dividera ett helt varv, 2π, med 5, så w=2π/5. Sidlängden x motsvarar rötternas absolutbelopp, vilket vi bestämmer genom att skriva om ekvationens vänsterled på trigonometrisk polär form.

Nu kan vi läsa av absolutbeloppet som r^5. Detta ska vara lika med absolutbeloppet av 32, dvs. 32.

Rötternas absolutbelopp är alltså 2, så x=2.

Nu kan vi bestämma arean för en av trianglarna.

För att undvika avrundningsfel beräknar vi inte arean än. Till sist multiplicerar vi arean för en av trianglarna med 5 för att få femhörningens totala area.

Arean av femhörningen som bildas av rötterna till ekvationen z^5=32 är alltså cirka 9,5 a.e. Notera att vi inte behövde hitta rötternas argument för att bestämma arean. Om man skulle göra det samt markera rötterna i det komplexa talplanet skulle det se ut på följande sätt.

Detta bekräftar det vi redan vet – att rötterna har absolutbeloppet 2 och att varje par av intilliggande rötter separeras av vinkeln 2π5.

De Moivres formel

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan