En cylinder består av två huvuddelar: en mantelyta och två plana basytor. Mantelytan är ytan som går runt cylindern, medan basytorna är de två plana ytorna som är parallella med varandra. När vi talar om cylinderns yta menar vi oftast den totala ytan, som består av mantelytan och basytorna. Denna kallas begränsningsarea.

Cylinderns basytor kan vara cirklar eller andra former. Det viktiga är att de är plana och parallella. Avståndet mellan basytorna definierar cylinderns höjd.

Formel: Cylinderns volym

För att beräkna volymen (V) för en cylinder multiplicerar vi basytans area (B) med höjden (h).

V = B * h

Basens area

Om basytan är en cirkel kan vi räkna ut arean med formeln:

B = π * r^2

där r är cirkelns radie.

Med denna formel kan vi sedan beräkna cylinderns volym om vi känner höjden.

Teori

Cylinderns mantelyta

När vi vecklar ut en cylinders mantelyta får vi en rektangel. Rektangelns bas är lika lång som bottenytans omkrets, π * d, där d är diametern. Rektangelns höjd är lika med cylinderns höjd, h.

Formel: Mantelarea för en cylinder

Mantelareaens (A) beräknas med formeln:

A = π * d * h

Eftersom d = 2 * r kan vi också skriva formeln som:

A = 2 π * r * h

Exempel

Fyrverkeri

En fyrverkeripjäs har formen av en cylinder med en höjd på 18 centimeter och en basradie på 4 centimeter.

Beräkna fyrverkeripjäsens volym. Avrunda svaret till närmaste heltal.

h = 18cm
r = 4cm

Börja med att skriva ner det du vet.

Formel:
V = π * r^2* h

Volymen av en cylinder beräknas genom att multiplicera basytans area med höjden. Basytan är en cirkel, därför används π * r^2.

V = π * 4^2 * 18cm^3 = 288π cm^3 =
= 904,77... cm^3 ≈ 905cm^3

Sätt in värdena i formeln och använd en miniräknare för att beräkna resultatet.

Svar: Volymen av fyrverkeriet är cirka 905 cm^3.

Höljet av det cylindriska fyrverkeripjäsen är gjort av kartong. Beräkna hur mycket kartong som behövs för att tillverka fyrverkeripjäsens hölje. Avrunda ditt svar till närmaste heltal.

h = 18cm
r = 4cm

Börja med att skriva ner det du vet.

Formel:
A = 2π rh + 2π r^2

En cylinders begränsningsarea består av mantelytan 2π rh och de två cirkulära baserna 2π r^2.

A = (2π * 4 * 18 + 2π * 4^2 )cm^2 =
= 176π cm^2 ≈ 553cm^2

Sätt in värdena i formeln och avrunda resultatet till närmaste heltal.

Svar: Det behövs cirka 553cm^2 kartong för att tillverka fyrverkeripjäsens hölje.

Övning

Hitta Volymen och Begränsningsarea av Cylindrar

Beräkna antingen volymen eller begränsningsarea av en cylinder. Avrunda svaret till en decimal.

Extra

Formler

Formlerna för volymen och ytan av en cylinder med bas radie r och höjd h ges nedan.

V = π r^2 h
A = 2π rh + 2π r^2

Teori

Kon

En kon är en tredimensionell figur med en cirkelformad basyta.

En kon består av flera viktiga delar:

Spetsen: Den högsta punkten på konen.
Höjden: Avståndet från spetsen till basytan.
Mantelytan: Ytan som sträcker sig från spetsen till basytans kant.
Basyta: Cirkelytan som utgör konens botten.

En kon med basradie r, som visar spetsen, höjden och basen.

Formel: Volym av en kon

Om en kon har samma basyta och höjd som en cylinder, är konens volym en tredjedel av cylinderns volym. Volymen beräknas med formeln:

V = B * h/3

där B är arean av basytan och h är konens höjd.

Exempel

Julgran

Följande pappersgran är 12cm hög och diametern på basen är 12,8cm.

Vad är volymen av den koniska julgranen? Avrunda svaret till närmaste kubikcentimeter.

d = 12,8cm
h = 12cm

Börja med att skriva ner det du vet.

r = 12,8/2cm = 6,4cm

Radien på basen är hälften av diametern.

V = B* h/3 ⇒ V=π r^2 h/3

Volymen av en kon är en tredjedel av produkten av arean av dess bas och höjd. Basen är en cirkel, då är basytan B = π * r^2.

V=6,4^2* 12 * π/3cm^3 =

=491,52* π/3cm^3 =

= 514,718... cm^3 ≈ 515cm^3

Använd en miniräknare och avrunda till närmaste heltal.

Svar: Volymen av julgranen är cirka 515 kubikcentimeter.

Övning

Hitta volymen av koner

Vad är volymen av konen? Avrunda svaret till en decimalplats.

Teori

Klot

Ett klot är en tredimensionell form som ofta förekommer i vardagen, till exempel som en boll.

Formel: Volymen av ett klot

Formeln för att beräkna volymen (V) för ett klot är:

V = 4 * π * r^3/3

där r är klotets radie. Observera att r^3 betyder r * r * r, alltså radien upphöjd till tredje potensen.

Exempel

Snögubbes

Snögubbens huvud har en radie på 0,6 meter.

Hur mycket snö används för att göra snögubbens huvud? Avrunda svaret till närmaste kubikmeter.

r=0,6m

Börja med att skriva ner det du vet.

V=4π r^3/3

Volymen av en klot är fyra tredjedelar av produkten av π och radien upphöjd till tre.

V=4π (0,6)^3/3m^3 =

=4π * 0,216/3m^3 = 0,9...m^3 ≈

≈ 1m^3

Avrunda till närmaste heltal.

Svar: Ungefär 1 kubikmeter snö används för att göra snögubbens huvud.

Exempel

Hemisfärisk Snöglob

Radien på den halvklotformade snögloben är 11 centimeter.

Bortsett från granen, hur mycket vätska finns det inuti snöglloben? Avrunda svaret till närmaste kubikcentimeter.

r=11cm

Börja med att skriva ner det du vet.

V_(klot) = 4π r^3/3

Volymen av ett klot är fyra tredjedelar av produkten av π och dess radie upphöjd i kub.

V_(hemisfär)=V_(klot)/2

Volymen av en halvklot är hälften av volymen av ett klot.

V_(hemisfär) = 4π r^3/3/2 = 2π r^3/3

V_(hemisfär) = 2π (11)^3/3cm^3 =

=2 662π/3cm^3 =

= 2 787,6 ... cm^3 ≈ 2 788cm^3

Använd en miniräknare och avrunda till närmaste heltal.

Svar: Mängden vätska inuti snögloben är ungefär 2788 kubikcentimeter.

Övning

Hitta Volymen av Klot

Vad är volymen av klotet? Avrunda svaret till en decimalplats.

Illustration

Förhållandet mellan Volymer av Cylindrar och Koner

Volymerna av en cylinder och en kon, båda med samma radie och höjd, är starkt relaterade. Detta kan ses genom att jämföra deras motsvarande volym formler. Eftersom basen av en cylinder och en kon är cirklar, kan deras basytor skrivas om som B = π * r^2, där r är radien för varje kropp.

Volym av en Cylinder	Volym av en Kon
V_(Cyl) &= B* h &⇓ V_(Cyl) &= π * r^2 * h	V_(Kon) &= B * h/3 &⇓ V_(Kon) &= π * r^2* h/3

Volymen av en kon med radie r och höjd h är en tredjedel av volymen av en cylinder med samma radie och höjd. På motsvarande sätt är volymen av en cylinder 3 gånger volymen av en kon med samma dimensioner.

V_(Kon) = 1/3π r^2 h

3V_(Kon) = π r^2 h

Multiplicera båda sidor med 3.

3V_(Kon) = V_(Cyl)

Sätt in V_(Cyl) för π r^2 h.

Denna relation kan också verifieras med hjälp av en partyhatt, ett cylindriskt glas och lite mjöl. Var medveten om att partyhätten och glaset måste ha samma radie och höjd.

Animation för att fylla en cylinder med en kon

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Cylinder, kon och klot Åk 8

Uppgift 3.1

Vincenzo passade in tre tennisbollar i en glasbehållare. De tre bollarna passar exakt i glasbehållaren.

Radien av en tennisboll är 3,4 centimeter. Beräkna volymen som inte är upptagen av tennisbollarna i behållaren. Avrunda svaret till närmaste heltal.

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 3,4cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = V_(behållare) - 3* V_(boll) </cell> <cell right="true" role="exp"> Det utrymme som inte upptas av tennisbollarna är volymen av den cylindriska behållaren minus volymen av de tre tennisbollarna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = π r^2 h - 3* 4π r^3/3 =
=π r^2 h - 4π r^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en cylinder är π r^2 h.
Volymen av en tennisboll är volymen av ett klot, vilket är 4π r^3/3.
Observera att behållaren och bollarna har samma radie. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> h = 3* d_(boll) </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom de tre bollarna passar perfekt i behållaren är behållarens höjd lika med 3 gånger diametern på en tennisboll. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> d_()boll = 2r </cell> <cell right="true" role="exp"> Diametern på en tennisboll är två gånger dess radie. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = π r^2 * 6r - 4π r^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Ersätt h=6r i uttrycket för volymen av det outnyttjade utrymmet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = 2π* 3,4^3 cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Ersätt r = 3,4cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =246,95... cm^3 ≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd en miniräknare. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 247cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste heltal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen av behållaren som inte upptas av tennisbollarna är ungefär 247cm^3. </cell> </row>

Om radien på ett klot tredubblas, hur många gånger blir volymen större än den ursprungliga volymen?

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(ny) = 4π (3r)^3/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en klot är V_(urs) = 4π r^3/3.
Om radien tredubblas, blir den nya radien 3r.
Bestäm volymen av den nya klotet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(ny) = 4π* 27r^3/3 = 27 * 4/3π r^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla (3r)^3=27r^3 och faktorisera. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(ny) = 27 V_(urs) </cell> <cell right="true" role="exp"> Jämför med den ursprungliga volymen. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen blir 27 gånger så stor som den ursprungliga volymen. </cell> </row>

En boll har diametern 18 cm. Bollen är tillverkad av plast. Hur mycket väger bollen om 1 cm^3 plast väger 0,9 g? Svara i kilogram och avrunda till tiondelar.

<row> <cell left="true" role="sol"> d = 18 cm
densitet = 0,9 g/cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner vad du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 18/2cm = 9cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Radien av klotet är hälften av dess diameter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = 4π * 9^3/3cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd volymformeln för ett klot, V=4π r^3/3.
Sätt in r = 9 cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> vikt = 0,9 * 972 π g = </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera bollens volym med densiteten för att bestämma dess vikt. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 2 748,26... g = </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd miniräknare. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 2,7 kg </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste tiondel. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Bollen väger ungefär 2,7 kg. </cell> </row>

En burk har formen av en cylinder. Bottenytans diameter är 7 cm. Man häller 2,3 dl mjölk i burken. Hur många centimeter hög blir vätskenivån? Avrunda till hela centimeter.

<row> <cell left="true" role="sol"> Burkens diameter: 7 cm
Mjölkens volym: 2,3 dl </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner vad du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Burkens radie är r = 7/2cm = 3,5 cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna burkens radie genom att dela diametern med 2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2,3dl = 2,3 * 100 cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Omvandla deciliter till kubikcentimeter med hjälp av att 1dl = 100cm^3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Måtten av mjölken motsvarar en cylinder med radie 3,5cm och volym 230cm^3. </cell> <cell right="true" role="exp"> Vilken form antar mjölken inne i behållaren? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = π r^2 h så att h = V/π r^2. </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för volymen av en cylinder, V = B* h, där B är arean av dess cirkelformade bas, B=π* r^2. Lös ut h. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> h = 230/π * (3,5)^2 cm= </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in de kända värdena. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 46/7,697= </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna med miniräknare. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 6 cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till hela centimeter. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Vätskenivån blir ungefär 6 cm hög. </cell> </row>

Överväg ett klot och en cylinder med samma radie r och höjd r.

Vilket av följande påståenden är sant? A.& Volymen av klotet är dubbelt så stor som & volymen av cylindern. B.& Volymen av klotet är4/3 gånger volymen av & cylindern. C.& Deras volymer är lika.

<row> <cell left="true" role="sol"> Klotradie: r
Cylinderradie: r
Cylindrhöjd: r </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(cyl) = π r^2* h = π r^2* r
⇓
V_(cyl) = π r^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för volymen av en cylinder, V = B* h, där B är arean av dess cirkelformade bas, B=π* r^2.
Ersätt h=r. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(klot) = 4π r^3/3 = 4V_(cyl)/3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett klot är V_(klot) = 4π r^3/3.
Ersätt V_(cyl) = π r^3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Volymen av klotet är 4/3 av volymen av en cylinder. </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv relationen mellan volymerna. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Det korrekta påståendet är B. </cell> </row>

Hur många gånger större är volymen i kopp A jämfört med kopp B?

<row> <cell left="true" role="sol"> d_A = 12 cm
h_A = 16 cm
d_B = 6 cm
h_B = 8 cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r_A = d_A/2=6 cm
r_B = d_B/2=3 cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Radien av en kon är hälften av dess diameter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_A = π r^2 h/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för volymen av en kon, V =B * h/3, där B är arean av dess cirkelformade bas, B = π r^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_B = π * 3^2 * 8/3 cm^3= </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt sedan in r_B = 3cm och h_B = 8cm för att hitta volymen av kopp B. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_A/V_B = 192π/24π = 8 ⇓ V_A = 8V_B </cell> <cell right="true" role="exp"> Bildar kvoten för att jämföra volymerna. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen i kopp A är 8 gånger så stor som volymen i kopp B. </cell> </row>

En solid kopparstav har formen av en cylinder. Dess längd är 2,5 m och diametern 8 mm. Koppar har densiteten 8,96 g/cm^3. Hur mycket väger staven? Avrunda till tiotal gram.

<row> <cell left="true" role="sol"> l = 2,5 m
d = 8 mm
densitet = 8,96 g/cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner vad du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 0,8/2cm=0,4 cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Radien av cylindern är hälften av dess diameter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B = π * (0,4)^2 cm^2 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Basen av cylindern är en cirkel. Dess area är B = π r^2. Sätt in r = 0,4cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V= 0,16 π * 250 cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av staven är basytan multiplicerad med längden, V = B * l.
Sätt in B = 0,16πcm^2 och l = 250cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> vikt = densitet * V </cell> <cell right="true" role="exp"> Vikten är lika med densiteten multiplicerad med volymen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> vikt = 8,96 * 40π g = </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in värdena. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 1 125,946... g ≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd miniräknare. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 1 130 g </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste tiotal gram. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Kopparstaven väger ungefär 1 130 g. </cell> </row>

En glassfär har en total diameter på 12cm och ett skal som är 2mm tjockt. Hur stor är volymen av skalet? Avrunda till tiotal kubikcentimeter.

<row> <cell left="true" role="sol"> Diameter: 12cm
Tjocklek: 2mm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner vad du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2mm=0,2cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Omvandla tjockleken till centimeter med hjälp av 1mm = 0,1cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 12/2cm=6cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Radien av glasfären är hälften av diametern. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Glasfären med skalet:
V = 4π * 6^3/3cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett klot är V = 4π r^3/3.
Beräkna volymen av glasfären med skalet.
Sätt in r = 6cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Glasfären utan skalet:
r_2 = (6 - 0,2)cm = 5,8cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera skalets tjocklek från den totala radien för att få radien av glasfären utan skalet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_2 = 4π * (5,8)^3/3cm^3 ≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna volymen av glasfären utan skalet.
Sätt in r_2 = 5,8cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(skal) = (288π - 260,15π)cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> För att beräkna skalets volym, subtrahera volymen av glasfären utan skalet från volymen av glasfären med skalet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 87,493...cm^3≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd miniräknare. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 90cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste tiotal kubikcentimeter. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen av skalet är ungefär 90cm^3. </cell> </row>

Cylinder, kon och klot Åk 8

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan