En cylinder består av två huvuddelar: en mantelyta och två plana basytor. Mantelytan är ytan som går runt cylindern, medan basytorna är de två plana ytorna som är parallella med varandra. När vi talar om cylinderns yta menar vi oftast den totala ytan, som består av mantelytan och basytorna. Denna kallas begränsningsarea.

Cylinderns basytor kan vara cirklar eller andra former. Det viktiga är att de är plana och parallella. Avståndet mellan basytorna definierar cylinderns höjd.

Formel: Cylinderns volym

För att beräkna volymen (V) för en cylinder multiplicerar vi basytans area (B) med höjden (h).

V = B * h

Basens area

Om basytan är en cirkel kan vi räkna ut arean med formeln:

B = π * r^2

där r är cirkelns radie.

Med denna formel kan vi sedan beräkna cylinderns volym om vi känner höjden.

Teori

Cylinderns mantelyta

När vi vecklar ut en cylinders mantelyta får vi en rektangel. Rektangelns bas är lika lång som bottenytans omkrets, π * d, där d är diametern. Rektangelns höjd är lika med cylinderns höjd, h.

Formel: Mantelarea för en cylinder

Mantelareaens (A) beräknas med formeln:

A = π * d * h

Eftersom d = 2 * r kan vi också skriva formeln som:

A = 2 π * r * h

Exempel

Fyrverkeri

En fyrverkeripjäs har formen av en cylinder med en höjd på 18 centimeter och en basradie på 4 centimeter.

Beräkna fyrverkeripjäsens volym. Avrunda svaret till närmaste heltal.

h = 18cm
r = 4cm

Börja med att skriva ner det du vet.

Formel:
V = π * r^2* h

Volymen av en cylinder beräknas genom att multiplicera basytans area med höjden. Basytan är en cirkel, därför används π * r^2.

V = π * 4^2 * 18cm^3 = 288π cm^3 =
= 904,77... cm^3 ≈ 905cm^3

Sätt in värdena i formeln och använd en miniräknare för att beräkna resultatet.

Svar: Volymen av fyrverkeriet är cirka 905 cm^3.

Höljet av det cylindriska fyrverkeripjäsen är gjort av kartong. Beräkna hur mycket kartong som behövs för att tillverka fyrverkeripjäsens hölje. Avrunda ditt svar till närmaste heltal.

h = 18cm
r = 4cm

Börja med att skriva ner det du vet.

Formel:
A = 2π rh + 2π r^2

En cylinders begränsningsarea består av mantelytan 2π rh och de två cirkulära baserna 2π r^2.

A = (2π * 4 * 18 + 2π * 4^2 )cm^2 =
= 176π cm^2 ≈ 553cm^2

Sätt in värdena i formeln och avrunda resultatet till närmaste heltal.

Svar: Det behövs cirka 553cm^2 kartong för att tillverka fyrverkeripjäsens hölje.

Övning

Hitta Volymen och Begränsningsarea av Cylindrar

Beräkna antingen volymen eller begränsningsarea av en cylinder. Avrunda svaret till en decimal.

Extra

Formler

Formlerna för volymen och ytan av en cylinder med bas radie r och höjd h ges nedan.

V = π r^2 h
A = 2π rh + 2π r^2

Teori

Kon

En kon är en tredimensionell figur med en cirkelformad basyta.

En kon består av flera viktiga delar:

Spetsen: Den högsta punkten på konen.
Höjden: Avståndet från spetsen till basytan.
Mantelytan: Ytan som sträcker sig från spetsen till basytans kant.
Basyta: Cirkelytan som utgör konens botten.

En kon med basradie r, som visar spetsen, höjden och basen.

Formel: Volym av en kon

Om en kon har samma basyta och höjd som en cylinder, är konens volym en tredjedel av cylinderns volym. Volymen beräknas med formeln:

V = B * h/3

där B är arean av basytan och h är konens höjd.

Exempel

Julgran

Följande pappersgran är 12cm hög och diametern på basen är 12,8cm.

Vad är volymen av den koniska julgranen? Avrunda svaret till närmaste kubikcentimeter.

d = 12,8cm
h = 12cm

Börja med att skriva ner det du vet.

r = 12,8/2cm = 6,4cm

Radien på basen är hälften av diametern.

V = B* h/3 ⇒ V=π r^2 h/3

Volymen av en kon är en tredjedel av produkten av arean av dess bas och höjd. Basen är en cirkel, då är basytan B = π * r^2.

V=6,4^2* 12 * π/3cm^3 =

=491,52* π/3cm^3 =

= 514,718... cm^3 ≈ 515cm^3

Använd en miniräknare och avrunda till närmaste heltal.

Svar: Volymen av julgranen är cirka 515 kubikcentimeter.

Övning

Hitta volymen av koner

Vad är volymen av konen? Avrunda svaret till en decimalplats.

Teori

Klot

Ett klot är en tredimensionell form som ofta förekommer i vardagen, till exempel som en boll.

Formel: Volymen av ett klot

Formeln för att beräkna volymen (V) för ett klot är:

V = 4 * π * r^3/3

där r är klotets radie. Observera att r^3 betyder r * r * r, alltså radien upphöjd till tredje potensen.

Exempel

Snögubbes

Snögubbens huvud har en radie på 0,6 meter.

Hur mycket snö används för att göra snögubbens huvud? Avrunda svaret till närmaste kubikmeter.

r=0,6m

Börja med att skriva ner det du vet.

V=4π r^3/3

Volymen av en klot är fyra tredjedelar av produkten av π och radien upphöjd till tre.

V=4π (0,6)^3/3m^3 =

=4π * 0,216/3m^3 = 0,9...m^3 ≈

≈ 1m^3

Avrunda till närmaste heltal.

Svar: Ungefär 1 kubikmeter snö används för att göra snögubbens huvud.

Exempel

Hemisfärisk Snöglob

Radien på den halvklotformade snögloben är 11 centimeter.

Bortsett från granen, hur mycket vätska finns det inuti snöglloben? Avrunda svaret till närmaste kubikcentimeter.

r=11cm

Börja med att skriva ner det du vet.

V_(klot) = 4π r^3/3

Volymen av ett klot är fyra tredjedelar av produkten av π och dess radie upphöjd i kub.

V_(hemisfär)=V_(klot)/2

Volymen av en halvklot är hälften av volymen av ett klot.

V_(hemisfär) = 4π r^3/3/2 = 2π r^3/3

V_(hemisfär) = 2π (11)^3/3cm^3 =

=2 662π/3cm^3 =

= 2 787,6 ... cm^3 ≈ 2 788cm^3

Använd en miniräknare och avrunda till närmaste heltal.

Svar: Mängden vätska inuti snögloben är ungefär 2788 kubikcentimeter.

Övning

Hitta Volymen av Klot

Vad är volymen av klotet? Avrunda svaret till en decimalplats.

Illustration

Förhållandet mellan Volymer av Cylindrar och Koner

Volymerna av en cylinder och en kon, båda med samma radie och höjd, är starkt relaterade. Detta kan ses genom att jämföra deras motsvarande volym formler. Eftersom basen av en cylinder och en kon är cirklar, kan deras basytor skrivas om som B = π * r^2, där r är radien för varje kropp.

Volym av en Cylinder	Volym av en Kon
V_(Cyl) &= B* h &⇓ V_(Cyl) &= π * r^2 * h	V_(Kon) &= B * h/3 &⇓ V_(Kon) &= π * r^2* h/3

Volymen av en kon med radie r och höjd h är en tredjedel av volymen av en cylinder med samma radie och höjd. På motsvarande sätt är volymen av en cylinder 3 gånger volymen av en kon med samma dimensioner.

V_(Kon) = 1/3π r^2 h

3V_(Kon) = π r^2 h

Multiplicera båda sidor med 3.

3V_(Kon) = V_(Cyl)

Sätt in V_(Cyl) för π r^2 h.

Denna relation kan också verifieras med hjälp av en partyhatt, ett cylindriskt glas och lite mjöl. Var medveten om att partyhätten och glaset måste ha samma radie och höjd.

Animation för att fylla en cylinder med en kon

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Gnarly Gnars säljer följande storlekar på glasskon.

Hitta volymen av denna kon. Avrunda svaret till närmaste heltal.

<row> <cell left="true" role="sol"> h = 160mm
d = 240mm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 240/2mm = 120mm </cell> <cell right="true" role="exp"> Radien på basen är hälften av diametern. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = π r^2 h/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för volymen av en kon, V =B * h/3, där B är arean av dess cirkelformade bas, B = π r^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 2 412 743mm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste heltal. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =2,412743l ≈ 2,4l </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd faktum att 1l = 1 000 000mm^3 för att omvandla till liter och avrunda till en decimal. </cell> </row>

Den följande fågelburen består av två former — en cylinder och en hemisfär. Den cylindriska delen har en höjd av 45 centimeter och har en radie av 18 centimeter.

Calculate the volume of the birdcage. Avrunda svaret till närmaste heltal.

<row> <cell left="true" role="sol"> Cylinderns höjd: 45cm
Cylinderradien: 18cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> V = V_(botten) + V_(överst) </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Volymen av fågelburen är summan av volymerna av den nedre och den övre delen.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(botten) = B* h = π r^2h </cell> <cell right="true" role="exp"> Den nedre delen är en cylinder. Använd formeln för volymen av en cylinder, V =B * h, där B är arean av dess cirkelformade bas, B = π r^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(botten) = π * 18^2* 45 cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in r=18cm och h=45cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(överst) = .4π r^3/3 /2. = 2π r^3/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Den övre delen är en hemisfär som är hälften av en klot.
Använd formeln för volymen av en klot, V = 4π r^3/3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(överst) = 2π * 18^3/3 cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Radien på hemisfären är densamma som radien på cylindern. Sätt sedan in r=18cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = (14 580π + 3 888π)cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Lägg ihop volymerna av den nedre och den övre delen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 18 468π cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd en miniräknare. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 58 019cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste heltal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen av fågelburen är cirka 58 019cm^3. </cell> </row>

Hur många liter vatten rymmer den stora tunnan? Avrunda till hela liter.

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 30 cm
h = 6 dm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> h = 6 dm = 60 cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Omvandla höjden till centimeter.
1dm = 10cm </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h ⇓ V = π r^2 h </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för volymen av en cylinder, V = B* h, där B är arean av dess cirkelformade bas, B=π* r^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = π * 30^2 * 60 cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in r och h i formeln. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 169 646,003... cm^3≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd en miniräknare. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 169 646cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste heltal. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 170 l </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till hela liter. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den stora tunnan rymmer ungefär 170 liter vatten. </cell> </row>

Den följande figuren visar 75 % av ett diagram.

Vad är begränsningsarean av den givna figuren? Avrunda svaret till närmaste heltal.

Vad är volymen av den givna figuren? Avrunda svaret till närmaste heltal.

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 15cm
h = 3cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Begränsningsarea = 75 % av cylinderns begränsningsarea + arean av två rektanglar. </cell> <cell right="true" role="exp"> Figuren är 75 % av en hel cylinder. Dess begränsningsarea är då lika med 75 % av begränsningsarea av hela cylindern plus arean av de två rektangulära sidoytorna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 15* 3cm^2 = 45cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> De laterala rektanglarna är 15cm långa och 3cm breda. Arean av varje rektangel är produkten av längden och bredden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2π r^2 + 2π r* h </cell> <cell right="true" role="exp"> Begränsningsarean av en cylinder är lika med mantelarean plus arean av de cirkulära baserna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 540π * 75 % cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera begränsningsarea av hela cylindern med 75 %. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =405πcm^3 =
=1 272,34...cm^3 ≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd en miniräknare. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 1 272cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste heltal. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> (1 272 + 2* 45)cm^2 =
=1 362cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Lägg till 75 % av begränsningsarea och två gånger arean av varje rektangulär yta. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den totala begränsningsarea av det givna diagrammet är cirka 1 362cm^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r=15cm
h=3cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = 75 %* V_(cylinder) </cell> <cell right="true" role="exp"> Figuren är 75 % av en hel cylinder. Då är dess volym lika med 75 % av volymen av den hela cylindern. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = 75 % * π r^2* h </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för volymen av en cylinder, V = B* h, där B är arean av dess cirkelformade bas, B=π* r^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =1 590,43... cm^3 ≈
≈ 1 590cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd en miniräknare och avrunda till närmaste heltal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen av det givna partiella diagrammet är cirka 1 590cm^3. </cell> </row>

Hur stor volym har cylindern om konen har volymen 7,5 l? Avrunda till hela liter.

<row> <cell left="true" role="sol"> De fasta ämnena har samma bas och höjd.
V_(kon) = 7,5 L </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(kon) = π r^2h/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för volymen av en kon, V =B * h/3, där B är arean av dess cirkelformade bas, B = π r^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> π r^2h = 3V_(kon) </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera båda sidor med 3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(cyl) ≈ 23 L </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till hela liter. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Cylindern har en volym på ungefär 23 liter. </cell> </row>

En bageri har en stor cylindrisk degbehållare som är helt fylld med deg. Hur många konformade wienerbrödsformar kan de fylla med samma mängd deg?

<row> <cell left="true" role="sol"> d_(cyl) = 40 cm
h_(cyl) = 25 cm
d_(kon) = 20 cm
h_(kon) = 25 cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r_(cyl) = d_(cyl)/2 = 20 cm
r_(kon) = d_(kon)/2 = 10 cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Radien är hälften av diametern. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(cyl) = π* r_(cyl)^2* h_(cyl) </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för volymen av en cylinder, V = B* h, där B är arean av dess cirkelformade bas, B=π* r^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(kon) = π * r_(kon)^2* h_(kon)/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för volymen av en kon, V =B * h/3, där B är arean av dess cirkelformade bas, B = π r^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(cyl)/V_(kon) = .10 000π /2 500/3π. = </cell> <cell right="true" role="exp"> För att veta hur många degformar som kan fyllas med deg, dividera cylinderns volym med konens volym. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Bageriet kan fylla 12 konformade wienerbrödsformar med deg. </cell> </row>

Ett glas har formen av en halv klot med radien 7 cm.

Beräkna volymen av glaset i centiliter. Avrunda till hela centiliter.

<row> <cell left="true" role="sol"> Ett halvklot med r = 7 cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = V_(klot)/2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett halvklot är hälften av volymen av ett klot med radien r. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = .4π r^3/3 /2. = 2π r^3/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för volymen av en klot, V = 4π r^3/3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = 2π * 7^3/3 cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Ersätt r = 7. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 718,3775... cm^3 ≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna värdet med en miniräknare. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 718cm^3 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste heltal. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 71,8 * 10 cm^3 = 71,8 cl ≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 10cm^3 = 1cl, så är 718cm^3 = 71,8cl. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 72 cl </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till hela centiliter. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Glasets volym är ungefär 72 cl. </cell> </row>

Bilden visar en cylinder där mantelytan har arean 132 cm^2 och radien är 3 cm.

Hur stor volym har cylindern?

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 3 cm
A = 132 cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner vad du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A = 2 π r h så att h = A/2π r. </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för mantelyta A = 2π rh. Lös det för h. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = π r^2 h </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en cylinder är produkten av basytan och höjden. Basen är en cirkel, så basytan är B=π r^2. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Cylinderns volym är 198 cm^3. </cell> </row>

Cylinder, kon och klot Åk 8

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan