Dashboard

Årskurs 8 Visa detaljer

5. Cylinder, kon och klot Åk 8

Klar med uppgifterna

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 8 /

Kapitel 3

Cylinder, kon och klot Åk 8

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Inställningar & verktyg för lektion

	13 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Sida av 13

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Cylinder
Mantelyta
Volymen av en cylinder
Kon
Volymen av en kon
Klot
Volymen av ett klot

Förkunskaper

Volym och begränsningsarea

Teori

Cylinder

En cylinder består av två huvuddelar: en mantelyta och två plana basytor. Mantelytan är ytan som går runt cylindern, medan basytorna är de två plana ytorna som är parallella med varandra. När vi talar om cylinderns yta menar vi oftast den totala ytan, som består av mantelytan och basytorna. Denna kallas begränsningsarea.

Cylinderns basytor kan vara cirklar eller andra former. Det viktiga är att de är plana och parallella. Avståndet mellan basytorna definierar cylinderns höjd.

Formel: Cylinderns volym

För att beräkna volymen (V) för en cylinder multiplicerar vi basytans area (B) med höjden (h).

V = B * h

Basens area

Om basytan är en cirkel kan vi räkna ut arean med formeln:

B = π * r^2

där r är cirkelns radie.

Med denna formel kan vi sedan beräkna cylinderns volym om vi känner höjden.

Teori

Cylinderns mantelyta

När vi vecklar ut en cylinders mantelyta får vi en rektangel. Rektangelns bas är lika lång som bottenytans omkrets, π * d, där d är diametern. Rektangelns höjd är lika med cylinderns höjd, h.

Formel: Mantelarea för en cylinder

Mantelareaens (A) beräknas med formeln:

A = π * d * h

Eftersom d = 2 * r kan vi också skriva formeln som:

A = 2 π * r * h

Exempel

Fyrverkeri

En fyrverkeripjäs har formen av en cylinder med en höjd på 18 centimeter och en basradie på 4 centimeter.

Beräkna fyrverkeripjäsens volym. Avrunda svaret till närmaste heltal.

h = 18cm
r = 4cm

Börja med att skriva ner det du vet.

Formel:
V = π * r^2* h

Volymen av en cylinder beräknas genom att multiplicera basytans area med höjden. Basytan är en cirkel, därför används π * r^2.

V = π * 4^2 * 18cm^3 = 288π cm^3 =
= 904,77... cm^3 ≈ 905cm^3

Sätt in värdena i formeln och använd en miniräknare för att beräkna resultatet.

Svar: Volymen av fyrverkeriet är cirka 905 cm^3.

Höljet av det cylindriska fyrverkeripjäsen är gjort av kartong. Beräkna hur mycket kartong som behövs för att tillverka fyrverkeripjäsens hölje. Avrunda ditt svar till närmaste heltal.

h = 18cm
r = 4cm

Börja med att skriva ner det du vet.

Formel:
A = 2π rh + 2π r^2

En cylinders begränsningsarea består av mantelytan 2π rh och de två cirkulära baserna 2π r^2.

A = (2π * 4 * 18 + 2π * 4^2 )cm^2 =
= 176π cm^2 ≈ 553cm^2

Sätt in värdena i formeln och avrunda resultatet till närmaste heltal.

Svar: Det behövs cirka 553cm^2 kartong för att tillverka fyrverkeripjäsens hölje.

Övning

Hitta Volymen och Begränsningsarea av Cylindrar

Beräkna antingen volymen eller begränsningsarea av en cylinder. Avrunda svaret till en decimal.

Extra

Formler

Formlerna för volymen och ytan av en cylinder med bas radie r och höjd h ges nedan.

V = π r^2 h
A = 2π rh + 2π r^2

Teori

Kon

En kon är en tredimensionell figur med en cirkelformad basyta.

En kon består av flera viktiga delar:

Spetsen: Den högsta punkten på konen.
Höjden: Avståndet från spetsen till basytan.
Mantelytan: Ytan som sträcker sig från spetsen till basytans kant.
Basyta: Cirkelytan som utgör konens botten.

En kon med basradie r, som visar spetsen, höjden och basen.

Formel: Volym av en kon

Om en kon har samma basyta och höjd som en cylinder, är konens volym en tredjedel av cylinderns volym. Volymen beräknas med formeln:

V = B * h/3

där B är arean av basytan och h är konens höjd.

Exempel

Julgran

Följande pappersgran är 12cm hög och diametern på basen är 12,8cm.

Vad är volymen av den koniska julgranen? Avrunda svaret till närmaste kubikcentimeter.

d = 12,8cm
h = 12cm

Börja med att skriva ner det du vet.

r = 12,8/2cm = 6,4cm

Radien på basen är hälften av diametern.

V = B* h/3 ⇒ V=π r^2 h/3

Volymen av en kon är en tredjedel av produkten av arean av dess bas och höjd. Basen är en cirkel, då är basytan B = π * r^2.

V=6,4^2* 12 * π/3cm^3 =

=491,52* π/3cm^3 =

= 514,718... cm^3 ≈ 515cm^3

Använd en miniräknare och avrunda till närmaste heltal.

Svar: Volymen av julgranen är cirka 515 kubikcentimeter.

Övning

Hitta volymen av koner

Vad är volymen av konen? Avrunda svaret till en decimalplats.

Teori

Klot

Ett klot är en tredimensionell form som ofta förekommer i vardagen, till exempel som en boll.

Formel: Volymen av ett klot

Formeln för att beräkna volymen (V) för ett klot är:

V = 4 * π * r^3/3

där r är klotets radie. Observera att r^3 betyder r * r * r, alltså radien upphöjd till tredje potensen.

Exempel

Snögubbes

Snögubbens huvud har en radie på 0,6 meter.

Hur mycket snö används för att göra snögubbens huvud? Avrunda svaret till närmaste kubikmeter.

r=0,6m

Börja med att skriva ner det du vet.

V=4π r^3/3

Volymen av en klot är fyra tredjedelar av produkten av π och radien upphöjd till tre.

V=4π (0,6)^3/3m^3 =

=4π * 0,216/3m^3 = 0,9...m^3 ≈

≈ 1m^3

Avrunda till närmaste heltal.

Svar: Ungefär 1 kubikmeter snö används för att göra snögubbens huvud.

Exempel

Hemisfärisk Snöglob

Radien på den halvklotformade snögloben är 11 centimeter.

Bortsett från granen, hur mycket vätska finns det inuti snöglloben? Avrunda svaret till närmaste kubikcentimeter.

r=11cm

Börja med att skriva ner det du vet.

V_(klot) = 4π r^3/3

Volymen av ett klot är fyra tredjedelar av produkten av π och dess radie upphöjd i kub.

V_(hemisfär)=V_(klot)/2

Volymen av en halvklot är hälften av volymen av ett klot.

V_(hemisfär) = 4π r^3/3/2 = 2π r^3/3

V_(hemisfär) = 2π (11)^3/3cm^3 =

=2 662π/3cm^3 =

= 2 787,6 ... cm^3 ≈ 2 788cm^3

Använd en miniräknare och avrunda till närmaste heltal.

Svar: Mängden vätska inuti snögloben är ungefär 2788 kubikcentimeter.

Övning

Hitta Volymen av Klot

Vad är volymen av klotet? Avrunda svaret till en decimalplats.

Illustration

Förhållandet mellan Volymer av Cylindrar och Koner

Volymerna av en cylinder och en kon, båda med samma radie och höjd, är starkt relaterade. Detta kan ses genom att jämföra deras motsvarande volym formler. Eftersom basen av en cylinder och en kon är cirklar, kan deras basytor skrivas om som B = π * r^2, där r är radien för varje kropp.

Volym av en Cylinder	Volym av en Kon
V_(Cyl) &= B* h &⇓ V_(Cyl) &= π * r^2 * h	V_(Kon) &= B * h/3 &⇓ V_(Kon) &= π * r^2* h/3

Volymen av en kon med radie r och höjd h är en tredjedel av volymen av en cylinder med samma radie och höjd. På motsvarande sätt är volymen av en cylinder 3 gånger volymen av en kon med samma dimensioner.

V_(Kon) = 1/3π r^2 h

3V_(Kon) = π r^2 h

Multiplicera båda sidor med 3.

3V_(Kon) = V_(Cyl)

Sätt in V_(Cyl) för π r^2 h.

Denna relation kan också verifieras med hjälp av en partyhatt, ett cylindriskt glas och lite mjöl. Var medveten om att partyhätten och glaset måste ha samma radie och höjd.

Animation för att fylla en cylinder med en kon

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Cylinder, kon och klot Åk 8

Uppgifter

Beräkna cylinderens mantelarea. Avrunda till heltal.

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 5 cm
h = 12 cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A = 2π * 5 * 12 cm^2 =
=120π cm^2 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för mantelarea av en cylinder, A=2 π r h.
Sätt in r = 5 cm och h = 12 cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 376,99... cm^2 ≈
≈ 377 cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd en miniräknare och avrunda till heltal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Mantelarean av cylindern är ungefär 377 cm^2. </cell> </row>

Tiffaniqua använder en cylindrisk förvaringslåda med följande mått.

Hitta begränsningsarean av denna cylindriska låda. Avrunda svaret till närmaste heltal.

Hitta volymen av denna cylindriska låda. Avrunda svaret till närmaste heltal.

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 18cm
h = 12cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Begränsningsarea är 2B + A där B = π * r^2 och A = 2π * r * h. </cell> <cell right="true" role="exp"> Begränsningsarea är summan av basytorna och mantelarea. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B = π * 18^2cm^2 = 324πcm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Hitta basytan. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A = 2π * 18* 12cm^2 = 432πcm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Hitta mantelarea. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Begränsningsarea = (2* 324π + 432π)cm^2 = 1 080πcm^2= </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 3 392,920...cm^2 ≈ 3 393cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd en miniräknare och avrunda till närmaste heltal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Begränsningsarean av lådan är ungefär 3 393cm^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 18cm
h = 12cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h = π * r^2* h </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en cylinder är produkten av basytan och höjden. Basen är en cirkel, då är basytan B=π* r^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = π * 18^2 * 12cm^3 = 3 888πcm^3= </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in värdena. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 12 214,51... cm^3 ≈ 12 215cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd en miniräknare och avrunda till närmaste heltal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen av lådan är ungefär 12 215cm^3. </cell> </row>

När en cylinder beskärs parallellt med sin basyta, vilken tvådimensionell figur skapas?

<row> <cell left="true" role="sol"> En cylinder som skärs parallellt med basen. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Att skära en cylinder parallellt med dess baser ger en cirkel av samma storlek som baserna. </cell> <cell right="true" role="exp"> Tänk på en korv, som en chorizo. Om du skär den med snitt parallella med baserna blir varje skiva en cirkel. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Cirkel </cell> </row>

Vilket av följande föremål är format som en cylinder?

<row> <cell left="true" role="sol"> En fotboll
En läskburk
En tärning
En partyhatt </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Läskburken har cylindrisk form. </cell> <cell right="true" role="exp"> En cylinder har två cirkulära baser och dess mantelfläche är krökt. Vilket av objekten uppfyller dessa egenskaper? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Fotbollen är formad som en sfär.
Tärningen är formad som ett rätblock.
Partyhatten är formad som en kon. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Läskburken </cell> </row>

Hur stor är volymen? Avrunda till heltal.

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 4 cm
h = 9 cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h/3 ⇓ V = π r^2 h/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för volymen av en kon, V =B * h/3, där B är arean av dess cirkelformade bas, B = π r^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 150,79... cm^3 ≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd en miniräknare. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 151 cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste heltal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen av konen är ungefär 151 cm^3. </cell> </row>

En cylinderformad burk har diametern 28 cm och höjden 12 cm. Hur stor är burkens volym i liter? Avrunda till en decimal.

<row> <cell left="true" role="sol"> d = 28 cm
h = 12 cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r = d/2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Radius är halva diametern. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h ⇓ V = π r^2 h </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för volymen av en cylinder, V =B * h, där B är arean av dess cirkelformade bas, B = π r^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 7 395,86... cm^3≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd miniräknare. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 7 400 cm^3= </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste hundratal. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 7,4 * 1 000cm^3 = 7,4l </cell> <cell right="true" role="exp"> Konvertera kubikcentimeter till liter.
1l = 1 000 cm^3. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen är ungefär 7,4 l. </cell> </row>

Kenny och Janelle sparkar på en fotboll som har en diameter på 21 centimeter.

Hitta volymen av denna fotboll. Avrunda svaret till närmaste heltal.

<row> <cell left="true" role="sol"> d = 21cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 21/2cm = 10,5cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Radien är hälften av diametern. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = 4π* (10,5)^3/3cm^3 = </cell> <cell right="true" role="sol"> Använd formeln för volymen av en klot, V = 4π r^3/3.
Sätt in r=10,5cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 4 849,04826...cm^3 ≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd en miniräknare och avrunda till närmaste heltal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Fotbollen har en volym på ungefär 4 849cm^3. </cell> </row>

Följande lampa har formen av en hemisfär med en diameter på 14cm.

Bestäm volymen av lampa. Avrunda svaret till närmaste heltal.

<row> <cell left="true" role="sol"> En hemisfär med diametern d = 34cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(hemisphere) = V_(sphere)/2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av en hemisfär är hälften av volymen av ett klot med samma radie. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_(hemisphere) = .4π r^3/3 /2. =
=2π r^3/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för volymen av en klot, V = 4π r^3/3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 34/2cm = 17cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Radien av hemisfären är hälften av diametern. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 10 290cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste heltal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Volymen av hemisfären är ungefär 10 290cm^3. </cell> </row>

Cylinder, kon och klot Åk 8

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan