Om sektorerna läggs varannan uppåt och varannan nedåt, bildas en figur som liknar en parallellogram. Eftersom delarna bara har flyttats, är arean fortfarande densamma som cirkelns area.

Ju fler sektorer cirkeln delas upp i, desto mer liknar figuren en rektangel. Rektangelns bas är π r och höjden är r.

Cirkelsektorer som bildar en parallellogram

Eftersom arean av en rektangel är basen gånger höjden, får vi formeln:

A = π r * r ⇔ A = π r^2

Därför är arean av en cirkel lika med π gånger radien i kvadrat.

Övning

Bestämning av arean och andra dimensioner av en cirkel

Bestäm den okända dimensionen för den givna cirkeln. Avrunda svaret till en decimal.

Exempel

En bild av en soluppgång

Oliver besöker sina morföräldrars hus och ser en vacker bild av solen som stiger upp över havet. Bilden visar solen i form av en halvcirkel. Oliver mäter diametern på halvcirkeln med en linjal och får 8 centimeter.

Vad är solens area i bilden? Avrunda svaret till närmaste kvadratcentimeter.

Diametern på halvcirkeln: 8cm

Börja med att skriva ner det du vet.

Radien:

r=8cm/2=4cm

Dela diametern med 2 för att hitta radien.

Cirkelns area:

A=π * (4cm)^2 = 16πcm^2

Använd formeln för en cirkels area: A = π r^2.

Halvcirkelns area:

A_h = 16 π/2 cm^2 = 8 π cm^2 =

Eftersom solen är en halvcirkel, delas cirkelns area med 2. Använd π ≈ 3,14 för att beräkna ett decimalt värde.

= 8 * 3,14 cm^2 ≈

≈ 25,12 cm^2 ≈

≈ 25 cm^2

Avrunda till närmaste hela kvadratcentimeter.

Svar: Solens area i bilden är cirka 25 cm^2.

Exempel

Ett mönster på bordet

Tobias äter middag hos sina gudföräldrar ibland. Deras matbord har ett mönster som består av en kvadrat med fyra cirklar i hörnen. Kvadratens sida är 90 centimeter lång.

Hitta arean av det gröna mönstret i mitten av bordet. Avrunda svaret till närmaste hela kvadratcentimeter.

Kvadratens sida: 90cm

Börja med att skriva ner det du vet.

Kvadratens area:

A_k = (90cm)^2 =

=8 100cm^2

Formeln för en kvadrats area är A = s^2.

Cirklarnas radie:

r=90cm/2 =

=45cm

Dela kvadratens sida med 2 för att hitta radien på varje cirkel.

En cirkels area:

A_c=π * (45cm)^2 =

=2 025π cm^2

Använd formeln för en cirkels area, A = π r^2.

Mönstrets area:

A_m = 8 100cm^2-2 025πcm^2 ≈

De fyra halvcirklarna bildar tillsammans en hel cirkel. Subtrahera cirkelns area från kvadratens area.

≈ 8 100cm^2 - (2 025cm^2)* 3,14 ≈

Använd 3,14 för π för att beräkna ett ungefärligt värde.

≈ 8 100cm^2 - 6 358,5cm^2≈

≈ 1 741,5cm^2≈ 1 742cm^2

Avrunda svaret till närmaste hela kvadratcentimeter.

Svar: Det gröna mönstret i mitten av bordet har en area på cirka 1 742cm^2.

Exempel

Det mystiska mönstret

Vad är förhållandet mellan den gröna arean och den vita arean?

Diameter på den gröna cirkeln: 20 cm.

Diameter på den vita cirkeln: 40 cm.

Börja med att skriva ner det du vet.

Cirklarnas area:

A_(grön)= π * 10^2 = 100π

A_(vit) = π * 20^2 = 400π

A_(stor) = π * 30^2 = 900π

Använd formeln för arean av en cirkel, arean av en cirkel, A=π r^2, för att beräkna arean av de tre cirklarna som ingår i mönstret.

Gröna områdets area:

0,5 * 100π & + 0,5 * 900π & - 0,5 * 400π & 300π&

Det gröna området består av halva den lilla gröna cirkeln och halva den stora cirkeln, minus halva den vita cirkeln.

Vita områdets area:

0,5 * 400π & + 0,5 * 900π & - 0,5 * 100π & 600π &

Det vita området består av halva den vita cirkeln och halva den stora cirkeln, minus halva den lilla gröna cirkeln.

300π/600π = 1/2

Dividera den gröna arean med den vita arean för att hitta förhållandet.

Svar: Förhållandet mellan den gröna arean och den vita arean är 1/2.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Cirkelns area Åk 8

Uppgift 3.1

Följande figur som liknar ett bi är gjord av en rektangel och fyra halvcirklar.

Hitta arean av denna figur. Använd 3,14 för π och avrunda svaret till närmaste kvadratmeter.

<row> <cell left="true" role="sol"> Vingarna diameter: 4m
Huvudet diameter: 2m </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Vingarna radie: 2m
Huvudet radie: 1m </cell> <cell right="true" role="exp"> Radien på varje cirkulär del av biet är hälften av dess diameter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A_(vingarna) = π * (2m)^2 = 4π m^2
A_(huvudet) = π * (1m)^2 = π m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Figuren kan delas upp i två stora halvcirklar, två små halvcirklar och en rektangel. Du kan använda formeln för cirkelns area, A = π * r^2, för att hitta arean av varje cirkel. Kom ihåg att två halvcirklar bildar en hel cirkel. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A_(rektangel) = 4 * 2m^2 = 8m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Rektangelns bas och höjd motsvarar cirklarnas diametrar. Använd formeln för rektangelns area, A = b * h. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A = (4π + π + 8) m^2≈ </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera alla areor som utgör biets figur. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ (4 * 3,14 + 3,14 + 8 )m^2= </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd 3,14 för π. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 24m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda svaret till närmaste kvadratmeter. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Binets area är ungefär 24m^2. </cell> </row>

En bild av framifrån av en sjöboj består av två halvcirklar. Den nedre halvcirkeln har en diameter på 20 centimeter och den övre halvcirkeln har en diameter på 15 centimeter.

Hitta arean av ritningen. Använd 3,14 som värde för π. Avrunda svaret till närmaste kvadratcentimeter.

<row> <cell left="true" role="sol"> Diametern på den stora halvcirkel: 20cm
Diametern på den lilla halvcirkel: 15cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Radien på den stora halvcirkel: 10cm
Radien på den lilla halvcirkel: 7,5cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Radien på varje del av bojen är hälften av dess motsvarande diameter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A_(stora) ≈ 3,14 * (10cm)^2/2 = 157cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Bojen består av två halvcirklar. Du kan använda formeln för cirkelns area, A = π * r^2, för att hitta arean av varje. Glöm inte att dela varje area med 2. Använd 3,14 som värde för π. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A_(lilla) ≈ 3,14 * (7,5cm)^2/2 = 88,3125cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A = 157cm^2 + 88,3125cm^2 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera areorna av båda halvcirklarna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 245,3125cm^2 ≈ 245cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda svaret till närmaste kvadratcentimeter. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar:Arean av bojfiguren är ungefär 245cm^2. </cell> </row>

Är förhållandet mellan area och omkrets detsamma för alla cirklar? Motivera ditt svar.

<row> <cell left="true" role="sol"> Area: A=π * r^2
Omkrets: O=π * d </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = π * (2r) = 2π * r </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom diametern på en cirkel är dubbelt så stor som dess radie, d=2r, kan du skriva om formeln för omkretsen så att den uttrycks med radien. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A/O = π * r^2/2π *r= </cell> <cell right="true" role="exp"> Dela arean med omkretsen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =r/2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla kvoten. Du kan se att förhållandet mellan arean och omkretsen beror på cirkelns radie. Detta betyder att förhållandet inte är detsamma för varje cirkel. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Nej, det beror på cirkelns radie. </cell> </row>

Anta att du känner till en cirkels omkrets, O. Vilket av följande uttryck kan användas för att beräkna dess area?

<row> <cell left="true" role="sol"> Omkrets: O=π * d
Area: A = π * r^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = π * (2r) = 2π * r </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom du vill få fram arean bör du skriva diametern d som 2 * r. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O* r/2 &= 2π * r* r/2 O* r/2 &= π * r^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera båda sidor med r/2 och förenkla. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O * r/2 = A </cell> <cell right="true" role="exp"> Uttrycket på högra sidan är lika med cirkelns area och den vänstra sidan motsvarar alternativet C. </cell> </row>

En lila kvadrat har fyra identiska vita cirklar inuti sig. Varje cirkels radie är 3 centimeter.

Vad är arean av det lila området? Använd 3,14 för π.

<row> <cell left="true" role="sol"> Radie för varje vit cirkel: 3cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A_(cirkel) ≈ 3,14 * (3cm)^2 = 28,26cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Det lila området är en kvadrat med fyra identiska vita cirklar inuti. Använd först formeln för arean av en cirkel, A = π * r^2, för att hitta arean av en vit cirkel. Använd 3,14 för π. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> s = 4 * 3cm=12cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Sidan av en kvadrat är lika lång som fyra radier av en cirkel. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A_(kvadrat) = (12cm)^2 = 144cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för arean av en kvadrat, A = s^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A = (144 - 4* 28,26)cm^2 ≈ 30,96cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> För att hitta det lila området kan du subtrahera arean av fyra cirklar från arean av kvadraten. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Arean av det lila området är ungefär 30,96cm^2. </cell> </row>

Tänk på följande figur.

Vad är arean av det blå området? Skriv svaret i termer av π.

Cirkel	Diameter	Radie
Hela	120cm	60cm
Blå	40cm	20cm
Vit	80cm	40cm

</cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Det blå området består av den övre delen av den stora cirkeln och den nedre halvan av en mindre cirkel med en diameter på 40cm. Det vita området består av den nedre halvan av den stora cirkeln och den övre halvan av en cirkel med en diameter på 80cm.

Du kan hitta radien för varje cirkel genom att dividera dess diameter med 2. </cell> </row>

Cirkel	Diameter	Radie	π r^2	Arean
Hela	120cm	60cm	π * (60cm)^2	3 600π cm^2
Blå	40cm	20cm	π * (20cm)^2	400π cm^2
Vit	80cm	40cm	π * (40cm)^2	1 600π cm^2

</cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Du kan hitta arean för varje cirkel genom att använda formeln för arean av en cirkel, A = π* r^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Arean av det blå området:
(3 600π/2 + 400π/2-1 600π/2)cm^2 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Det blå området i diagrammet är hälften av hela cirkeln plus hälften av den blå cirkeln minus hälften av den vita cirkeln. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Arean av det blå området är 1200πcm^2. </cell> </row>

Cirkelns area Åk 8

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan