Om sektorerna läggs varannan uppåt och varannan nedåt, bildas en figur som liknar en parallellogram. Eftersom delarna bara har flyttats, är arean fortfarande densamma som cirkelns area.

Ju fler sektorer cirkeln delas upp i, desto mer liknar figuren en rektangel. Rektangelns bas är π r och höjden är r.

Cirkelsektorer som bildar en parallellogram

Eftersom arean av en rektangel är basen gånger höjden, får vi formeln:

A = π r * r ⇔ A = π r^2

Därför är arean av en cirkel lika med π gånger radien i kvadrat.

Övning

Bestämning av arean och andra dimensioner av en cirkel

Bestäm den okända dimensionen för den givna cirkeln. Avrunda svaret till en decimal.

Exempel

En bild av en soluppgång

Oliver besöker sina morföräldrars hus och ser en vacker bild av solen som stiger upp över havet. Bilden visar solen i form av en halvcirkel. Oliver mäter diametern på halvcirkeln med en linjal och får 8 centimeter.

Vad är solens area i bilden? Avrunda svaret till närmaste kvadratcentimeter.

Diametern på halvcirkeln: 8cm

Börja med att skriva ner det du vet.

Radien:

r=8cm/2=4cm

Dela diametern med 2 för att hitta radien.

Cirkelns area:

A=π * (4cm)^2 = 16πcm^2

Använd formeln för en cirkels area: A = π r^2.

Halvcirkelns area:

A_h = 16 π/2 cm^2 = 8 π cm^2 =

Eftersom solen är en halvcirkel, delas cirkelns area med 2. Använd π ≈ 3,14 för att beräkna ett decimalt värde.

= 8 * 3,14 cm^2 ≈

≈ 25,12 cm^2 ≈

≈ 25 cm^2

Avrunda till närmaste hela kvadratcentimeter.

Svar: Solens area i bilden är cirka 25 cm^2.

Exempel

Ett mönster på bordet

Tobias äter middag hos sina gudföräldrar ibland. Deras matbord har ett mönster som består av en kvadrat med fyra cirklar i hörnen. Kvadratens sida är 90 centimeter lång.

Hitta arean av det gröna mönstret i mitten av bordet. Avrunda svaret till närmaste hela kvadratcentimeter.

Kvadratens sida: 90cm

Börja med att skriva ner det du vet.

Kvadratens area:

A_k = (90cm)^2 =

=8 100cm^2

Formeln för en kvadrats area är A = s^2.

Cirklarnas radie:

r=90cm/2 =

=45cm

Dela kvadratens sida med 2 för att hitta radien på varje cirkel.

En cirkels area:

A_c=π * (45cm)^2 =

=2 025π cm^2

Använd formeln för en cirkels area, A = π r^2.

Mönstrets area:

A_m = 8 100cm^2-2 025πcm^2 ≈

De fyra halvcirklarna bildar tillsammans en hel cirkel. Subtrahera cirkelns area från kvadratens area.

≈ 8 100cm^2 - (2 025cm^2)* 3,14 ≈

Använd 3,14 för π för att beräkna ett ungefärligt värde.

≈ 8 100cm^2 - 6 358,5cm^2≈

≈ 1 741,5cm^2≈ 1 742cm^2

Avrunda svaret till närmaste hela kvadratcentimeter.

Svar: Det gröna mönstret i mitten av bordet har en area på cirka 1 742cm^2.

Exempel

Det mystiska mönstret

Vad är förhållandet mellan den gröna arean och den vita arean?

Diameter på den gröna cirkeln: 20 cm.

Diameter på den vita cirkeln: 40 cm.

Börja med att skriva ner det du vet.

Cirklarnas area:

A_(grön)= π * 10^2 = 100π

A_(vit) = π * 20^2 = 400π

A_(stor) = π * 30^2 = 900π

Använd formeln för arean av en cirkel, arean av en cirkel, A=π r^2, för att beräkna arean av de tre cirklarna som ingår i mönstret.

Gröna områdets area:

0,5 * 100π & + 0,5 * 900π & - 0,5 * 400π & 300π&

Det gröna området består av halva den lilla gröna cirkeln och halva den stora cirkeln, minus halva den vita cirkeln.

Vita områdets area:

0,5 * 400π & + 0,5 * 900π & - 0,5 * 100π & 600π &

Det vita området består av halva den vita cirkeln och halva den stora cirkeln, minus halva den lilla gröna cirkeln.

300π/600π = 1/2

Dividera den gröna arean med den vita arean för att hitta förhållandet.

Svar: Förhållandet mellan den gröna arean och den vita arean är 1/2.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Cirkelns area Åk 8

Uppgift 2.1

Hugo vill måla en gul halvcirkel på en av väggarna i sitt sovrum för att representera solen som reser sig från havet.

Har Hugo tillräckligt med färg för att göra den halvcirkelformade solen med en diameter på 1,5 meter, om han har 1 kvadratmeter gul färg tillgänglig?

<row> <cell left="true" role="sol"> Halvcirkelns diameter: 1,5m
Tillgänglig färg: 1m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Radien:
r=1,5m/2 = 0,75m </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera solens diameter med 2 för att hitta dess radie. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Halvcirkelns area:
A_h=π * r^2/2= </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda formeln för cirkelns area, A = π * r^2, för att hitta halvcirkelns area. Glöm inte att dela arean med 2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =0,883125m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Hugo behöver 0,883125m^2 färg och han har 1m^2 tillgänglig. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Ja, Hugo har tillräckligt med färg. </cell> </row>

Två cirklar med samma mittpunkt visas. Den inre cirkeln har en diameter på 9 centimeter. Den yttre cirkeln har en radie som är summan av den inre cirkelns radie och 2,5 centimeter.

Bestäm arean av den yttre (gula) regionen. Använd π ≈ 3,14.

<row> <cell left="true" role="sol"> Inre cirkelns diameter: 9cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Radie för inre cirkel:
r_(inre)=9cm/2 = 4,5cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera den inre cirkelns diameter med 2 för att hitta dess radie. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Radie för yttre cirkel:
r_(yttre)=4,5cm+2,5cm=7cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Av diagrammet kan du se att den yttre cirkelns radie är 2,5cm mer än den inre cirkelns radie. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A_(inre) ≈ 3,14 * (4,5cm)^2 = 63,585cm^2
A_(yttre) ≈ 3,14 * (7cm)^2 = 153,86cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda formeln för cirkelns area, A = π * r^2, för att hitta arean av varje cirkel. Använd 3,14 för π. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A_\text{gula} = 153,86\text{ cm}^2-63,585\text{ cm}^2 = 90,275\text{ cm}^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan hitta arean av det gula området genom att subtrahera den inre cirkelns area från den yttre cirkelns area. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Arean av det gula området är cirka 90,275cm^2. </cell> </row>

Den blå cirkeln är inskriven i den gröna cirkeln. Den gröna cirkeln har en radie på 22 meter.

Bestäm arean av den inre (blå) cirkeln. Använd 3,14 som värde för π.

<row> <cell left="true" role="sol"> Den gröna cirkelns radie: 22m </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Radie för den blå cirkeln:
r = 22/2m=11m </cell> <cell right="true" role="exp"> För att hitta arean av den blå cirkeln måste du först hitta dess radie. Observera att den blå cirkelns diameter är densamma som den gröna cirkelns radie. Detta betyder att den blå cirkelns radie är hälften av den gröna cirkelns radie. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A≈ 3,14 * (11m)^2=379,94m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan nu använda formeln för cirkelns area, A = π * r^2. Använd 3,14 som värde för π. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Arean av den blå cirkeln är ungefär 379,94m^2. </cell> </row>

En evenemangsplanerare vill täcka ett cirkulärt område med lera för en hinderbana. Området har en omkrets på cirka 157cm.

Hitta radien på hinderbanan. Använd 3,14 för π.

Kostnaden för att täcka 1 kvadratcentimeter med lera är 15kr. Använd radien du hittade i del A för att uppskatta kostnaden för att täcka hinderbanan med lera. Använd 3,14 för π och avrunda svaret till närmaste hela krona.

<row> <cell left="true" role="sol"> O=157cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O= π * d
</cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda formeln för en cirkels omkrets, O = π * d, för att hitta radien. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = π * (2r) </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv diametern som dubbla radien. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 157cm = 2π r </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom du vet hinderbanans omkrets kan du skriva en ekvation för radien, r. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈157cm/2 * 3,14=25 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd 3,14 för π. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Radien på hinderbanan är ungefär 25cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r=25cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A ≈ 3,14 * (25cm)^2= 1 962,5cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda formeln för cirkelns area, A = π * r^2. Använd 3,14 för π. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 1 962,5cm^2 * 15kr/cm^2= </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom varje kvadratcentimeter kostar 15kr kan du hitta totalkostnaden genom att multiplicera 1 962,5 med 15. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 29 438kr </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda svaret till närmaste hela krona. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Kostnaden för att täcka hinderbanan med lera är ungefär 29 438kr. </cell> </row>

En mjöltortilla har en diameter på 25cm. Antag att du vill täcka två hela tortillor med salsa, hur många kvadratcentimeter salsa skulle du behöva? Använd 3,14 för π.

<row> <cell left="true" role="sol"> Diametern på en tortilla: 25cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 25cm/2 = 12,5cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Hitta radien på tortillan genom att dela diametern med 2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A ≈ 3,14 * (12,5cm)^2 = 490,625cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln för cirkelns area, A = π * r^2, för att hitta arean av en tortilla. Använd 3,14 för π. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 490,625 * 2 * 2 cm^2= 1 962,5cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom en tortilla har två sidor måste du multiplicera arean med 2 för att hitta tortillans yta. Du måste också multiplicera med 2 igen eftersom du vill veta den totala ytan av två tortillas. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den totala ytan av två tortillas är ungefär 1 962,5cm^2. </cell> </row>

Ett mikroskop har en cirkulär platta. Plattans omkrets är 100 π millimeter. Vad är arean av plattan? Använd 3,14 som värde för π.

<row> <cell left="true" role="sol"> Plattans omkrets: 100πmm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> O = π * d </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda formeln för en cirkels omkrets, O = π * d, för att hitta radien. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> d = 100mm </cell> <cell right="true" role="exp"> Lös ekvationen för d med balansmetoden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> r = 100mm/2 = 50mm </cell> <cell right="true" role="exp"> Hitta radien på tallriken genom att dela diametern med 2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A≈ 3,14 * (50mm)^2 = 7 850mm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Till sist kan du använda formeln för cirkelns area, A = π * r^2. Använd 3,14 för π. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Arean av tallriken är 7 850mm^2. </cell> </row>

Cirkelns area Åk 8

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan