Dashboard

Årskurs 8 Visa detaljer

2. Cirkelns area Åk 8

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 8 /

Kapitel 3

Cirkelns area Åk 8

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	18 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Cirkelns area Åk 8

Sida av 6

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Cirkelns area

Förkunskaper

Omkrets och area

Teori

Arean av en cirkel

För att beräkna arean av en cirkel använder vi talet π.

Formeln för cirkelns area

Arean beräknas genom att multiplicera cirkelns radie (r) med sig själv och sedan med π.

A = π * r * r

⇓

A = π * r^2

Exempel

Till exempel, om en cirkel har radien 4 cm blir arean

A = π * 4^2 cm^2 ≈ 3,14 * 16 cm^2 ≈ 50,24 cm^2.

Alltså är arean ungefär 50,24 cm^2.

Att härleda formeln för cirkelns area

En cirkel med radien r kan delas upp i flera lika stora sektorer. Hälften av cirkelns omkrets är π r, eftersom hela omkretsen är 2 π r.

Om sektorerna läggs varannan uppåt och varannan nedåt, bildas en figur som liknar en parallellogram. Eftersom delarna bara har flyttats, är arean fortfarande densamma som cirkelns area.

Ju fler sektorer cirkeln delas upp i, desto mer liknar figuren en rektangel. Rektangelns bas är π r och höjden är r.

Cirkelsektorer som bildar en parallellogram

Eftersom arean av en rektangel är basen gånger höjden, får vi formeln:

A = π r * r ⇔ A = π r^2

Därför är arean av en cirkel lika med π gånger radien i kvadrat.

Övning

Bestämning av arean och andra dimensioner av en cirkel

Bestäm den okända dimensionen för den givna cirkeln. Avrunda svaret till en decimal.

Exempel

En bild av en soluppgång

Oliver besöker sina morföräldrars hus och ser en vacker bild av solen som stiger upp över havet. Bilden visar solen i form av en halvcirkel. Oliver mäter diametern på halvcirkeln med en linjal och får 8 centimeter.

Vad är solens area i bilden? Avrunda svaret till närmaste kvadratcentimeter.

Diametern på halvcirkeln: 8cm

Börja med att skriva ner det du vet.

Radien:

r=8cm/2=4cm

Dela diametern med 2 för att hitta radien.

Cirkelns area:

A=π * (4cm)^2 = 16πcm^2

Använd formeln för en cirkels area: A = π r^2.

Halvcirkelns area:

A_h = 16 π/2 cm^2 = 8 π cm^2 =

Eftersom solen är en halvcirkel, delas cirkelns area med 2. Använd π ≈ 3,14 för att beräkna ett decimalt värde.

= 8 * 3,14 cm^2 ≈

≈ 25,12 cm^2 ≈

≈ 25 cm^2

Avrunda till närmaste hela kvadratcentimeter.

Svar: Solens area i bilden är cirka 25 cm^2.

Exempel

Ett mönster på bordet

Tobias äter middag hos sina gudföräldrar ibland. Deras matbord har ett mönster som består av en kvadrat med fyra cirklar i hörnen. Kvadratens sida är 90 centimeter lång.

Hitta arean av det gröna mönstret i mitten av bordet. Avrunda svaret till närmaste hela kvadratcentimeter.

Kvadratens sida: 90cm

Börja med att skriva ner det du vet.

Kvadratens area:

A_k = (90cm)^2 =

=8 100cm^2

Formeln för en kvadrats area är A = s^2.

Cirklarnas radie:

r=90cm/2 =

=45cm

Dela kvadratens sida med 2 för att hitta radien på varje cirkel.

En cirkels area:

A_c=π * (45cm)^2 =

=2 025π cm^2

Använd formeln för en cirkels area, A = π r^2.

Mönstrets area:

A_m = 8 100cm^2-2 025πcm^2 ≈

De fyra halvcirklarna bildar tillsammans en hel cirkel. Subtrahera cirkelns area från kvadratens area.

≈ 8 100cm^2 - (2 025cm^2)* 3,14 ≈

Använd 3,14 för π för att beräkna ett ungefärligt värde.

≈ 8 100cm^2 - 6 358,5cm^2≈

≈ 1 741,5cm^2≈ 1 742cm^2

Avrunda svaret till närmaste hela kvadratcentimeter.

Svar: Det gröna mönstret i mitten av bordet har en area på cirka 1 742cm^2.

Exempel

Det mystiska mönstret

Vad är förhållandet mellan den gröna arean och den vita arean?

Diameter på den gröna cirkeln: 20 cm.

Diameter på den vita cirkeln: 40 cm.

Börja med att skriva ner det du vet.

Cirklarnas area:

A_(grön)= π * 10^2 = 100π

A_(vit) = π * 20^2 = 400π

A_(stor) = π * 30^2 = 900π

Använd formeln för arean av en cirkel, arean av en cirkel, A=π r^2, för att beräkna arean av de tre cirklarna som ingår i mönstret.

Gröna områdets area:

0,5 * 100π & + 0,5 * 900π & - 0,5 * 400π & 300π&

Det gröna området består av halva den lilla gröna cirkeln och halva den stora cirkeln, minus halva den vita cirkeln.

Vita områdets area:

0,5 * 400π & + 0,5 * 900π & - 0,5 * 100π & 600π &

Det vita området består av halva den vita cirkeln och halva den stora cirkeln, minus halva den lilla gröna cirkeln.

300π/600π = 1/2

Dividera den gröna arean med den vita arean för att hitta förhållandet.

Svar: Förhållandet mellan den gröna arean och den vita arean är 1/2.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Cirkelns area Åk 8

Uppgifter

Diameter på en cirkel är 16 cm.

Hitta cirkelns radien.

Hitta cirkelns area. Använd 3,14 för π.

<row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns diameter: 16cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 16cm/2 = 8cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan dividera diameterns längd med 2 för att hitta cirkelns radie. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Cirkelns radie är 8cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns radie: 8cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A ≈ 3,14 * (8cm)^2 = 200,96cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda formeln för cirkelns area, A=π * r^2. Använd 3,14 för π. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Cirkelns area är cirka 200,96cm^2. </cell> </row>

Radien av en cirkel är 9m. Hitta cirkelns area. Använd 3,14 för π.

<row> <cell left="true" role="sol"> r=9m </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A ≈ 3,14 * (9m)^2 = 254,34m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda formeln för cirkelns area, A=π * r^2. Använd 3,14 för π. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Cirkelns area är cirka 254,34m^2. </cell> </row>

Ett mynt har formen av en cirkel med en given radie.

Hitta arean av myntet. Använd 3,14 för π.

<row> <cell left="true" role="sol"> r=2cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A ≈ 3,14 * (2cm)^2 = 12,56cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan nu använda formeln för cirkelns area, A = π * r^2. Använd 3,14 för π. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Myntets area är cirka 12,56cm^2. </cell> </row>

Hitta arean av en cirkel med en radie på 6m. Använd 3,14 för π.

<row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns radie: 6m </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A ≈ 3,14 * (6m)^2 = 113,04m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda formeln A = π * r^2 för att hitta cirkelns area. Använd 3,14 för π. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Cirkelns area är cirka 113,04m^2. </cell> </row>

Hitta arean av halvcirkeln. Använd 3,14 för π.

<row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns radie: 11cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<expandable> <row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns area:
A ≈ 3,14 * (11cm)^2 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda formeln A = π * r^2 för att hitta cirkelns area. Använd 3,14 för π. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Halvcirkelns area:
A_h = 379,94/2cm^2 = 189,97cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom detta är en halvcirkel måste du dela arean du fick med 2. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Halvcirkelns area är cirka 189,97cm^2. </cell> </row>

Ida vill skapa en blomsterträdgård i sin trädgård, men hennes kanin, Hops, kanske vill äta upp blommorna. För att undvika detta planerar hon att stänga in ett cirkulärt område av sin trädgård så att Hops inte kan komma in.

Om Ida har 10 meter staket tillgängligt, vad är diametern, i meter, för det största cirkulära området hon kan göra? Använd 3,14 för π. Avrunda svaret till en decimal.

Vad är arean på den största cirkelformade trädgård Ida kan göra med de 10 meter staket hon har tillgängligt? Använd 3,14 för π och avrunda ditt svar till närmaste hela kvadratmeter.

<row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns omkrets: 10m </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 10m = π * d </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda formeln för cirkelns omkrets för att ställa upp en ekvation för diametern. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 10m ≈ 3,14 * d </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd 3,14 för π. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 10/3,14 m ≈ d </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd balansmetoden för att lösa ekvationen för d. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> ≈ 3,2m </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda svaret till en decimal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Stängselns diameter är ungefär 3,2m. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns diameter: 3,2m </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns radie: 3,2m/2 = 1,6m </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan hitta radien för den cirkelformade trädgården genom att dividera dess diameter med 2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A ≈ 3,14 * (1,6m)^2 = 8,0384m^2 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan nu använda formeln för cirkelns area, A=π * r^2. Använd 3,14 för π. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 8m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste hela kvadratmeter. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Arean av den runda trädgården är ungefär 8m^2. </cell> </row>

Cirkelns area Åk 8

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan