body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

8

Årskurs 8 Visa detaljer

2. Cirkelns area Åk 8

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Kapitel 3

2.

Cirkelns area Åk 8

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	18 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Cirkelns area Åk 8

Sida av 6

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Cirkelns area

Förkunskaper

Omkrets och area

Teori

Arean av en cirkel

För att beräkna arean av en cirkel använder vi talet $\pi.$ Arean beräknas genom att multiplicera cirkelns radie $(r)$ med sig själv och sedan med $\pi.$

\aligned{ A &= \pi \t r \t r \\

 &= \pi \t r^2

}

Till exempel, om en cirkel har radien $4 \text{ cm}$ blir arean

\gathered{ A = \pi \t \col{4}^2 \text{ cm}^2 \approx 3,14 \t 16 \text{ cm}^2 \approx 50,24 \text{ cm}^2 }

Alltså är arean ungefär $50,24 \text{ cm}^2.$

Extra

Att härleda formeln för cirkelns area

En cirkel med radie $r$ kan delas upp i flera lika stora sektorer. Om vi färgar den övre och nedre halvan av cirkeln med olika färger, kan vi se att båglängden av varje halvcirkel är hälften av cirkelns omkrets, som är $2 \pi r.$ Det betyder att båglängden är $\pi r.$

Om vi vecklar ut sektorerna i bilden och placerar dem som tänder som pekar uppåt och nedåt, kan en figur bildas som liknar en parallellogram. Eftersom vi bara har flyttat på delarna, och inte ändrat på deras storlek, så borde den nya figurens area vara densamma som cirkelns area.

Om cirkeln delas upp i ett större antal mindre sektorer, kommer figuren att börja se mer och mer ut som en rektangel. Om cirkeln delas upp i "oändligt många" sektorer, så kommer figuren att bli en perfekt rektangel, där längden av basen är $\pi r$ och höjden är $r.$

Eftersom arean av en rektangel är produkten av dess höjd och dess bas, kan följande formel härledas:

$A = \pi r \cdot r \quad \Leftrightarrow \quad A = \pi r^2$

Därför är arean av en cirkel lika med $\pi$ gånger radien i kvadrat.

Övning

Bestämning av arean och andra dimensioner av en cirkel

Bestäm den okända dimensionen för den givna cirkeln. Avrunda svaret till en decimal.

Slumpmässiga cirklar

Exempel

En bild av en soluppgång

Oliver besöker sina morföräldrars hus och ser en vacker bild av solen som stiger upp över havet. Bilden visar solen i form av en halvcirkel. Oliver mäter diametern på halvcirkeln med en linjal och får $8$ centimeter.

Fil:Cirkelns area Åk 8 slide 4.webp

Vad är solens area i bilden? Avrunda svaret till närmaste kvadratcentimeter.

Diametern på halvcirkeln: $8\text{ cm}$

Börja med att skriva ner det du vet.

Radien:
$r=\dfrac{8\text{ cm}}{2}=4\text{ cm}$

Dela diametern med $2$ för att hitta radien.

Cirkelns area:
$A=\pi \t (4\text{ cm})^2 = 16\pi\text{ cm}^2$

Använd formeln för en cirkels area: $A = \pi r^2.$

Halvcirkelns area:
$A_h = \dfrac{16 \pi }{2} \text{ cm}^2 = 8 \pi \text{ cm}^2 =$

Eftersom solen är en halvcirkel, delas cirkelns area med $2.$ Använd $\pi \approx 3,14$ för att beräkna ett decimalt värde.

$= 8 \t 3,14 \text{ cm}^2 \approx 25,12 \text{ cm}^2 \approx$
$\approx 25 \text{ cm}^2$

Avrunda till närmaste hela kvadratcentimeter.

Svar: Solens area i bilden är cirka $25 \text{ cm}^2.$

Exempel

Ett mönster på bordet

Tobias äter middag hos sina gudföräldrar ibland. Deras matbord har ett mönster som består av en kvadrat med fyra cirklar i hörnen. Kvadratens sida är $90$ centimeter lång. Hitta arean av det gröna mönstret i mitten av bordet. Avrunda svaret till närmaste hela kvadratcentimeter.

Kvadratens sida: $90\text{ cm}$

Börja med att skriva ner det du vet.

Kvadratens area:
$A_k = (90\text{ cm})^2 = 8\,100\text{ cm}^2$

Formeln för en kvadrats area är $A = s^2.$

Cirklarnas radie:
$r=\dfrac{90\text{ cm}}{2} = 45\text{ cm}$

Dela kvadratens sida med $2$ för att hitta radien på varje cirkel.

En cirkels area:
$A_c=\pi \t (45\text{ cm})^2 = 2\,025\pi \text{ cm}^2$

Använd formeln för en cirkels area, $A = \pi r^2.$

Mönstrets area:
$A_m = 8\,100\text{ cm}^2-2\,025\pi\text{ cm}^2 \approx$

De fyra halvcirklarna bildar tillsammans en hel cirkel. Subtrahera cirkelns area från kvadratens area.

$\approx 8\,100\text{ cm}^2 - (2\,025\text{ cm}^2)\t 3,14 \approx$

Använd $3,14$ för $\pi$ för att beräkna ett ungefärligt värde.

$\approx 8\,100\text{ cm}^2 - 6\,358,5\text{ cm}^2\approx$

$\approx1\,741,5\text{ cm}^2\approx 1\,742\text{ cm}^2$

Avrunda svaret till närmaste hela kvadratcentimeter.

Svar: Det gröna mönstret i mitten av bordet har en area på cirka $1\,742\text{ cm}^2.$

Exempel

Det mystiska mönstret

Vad är förhållandet mellan den gröna arean och den vita arean?

Diameter på den gröna cirkeln: $20 \text{ cm}.$
Diameter på den vita cirkeln: $40 \text{ cm}.$

Börja med att skriva ner det du vet.

Cirklarnas area:
$A_{\text{grön}}= \pi \t 10^2 = 100\pi$
$A_{\text{vit}} = \pi \t 20^2 = 400\pi$
$A_{\text{stor}} = \pi \t 30^2 = 900\pi$

Använd formeln för arean av en cirkel, arean av en cirkel, $A=\pi r^2,$ för att beräkna arean av de tre cirklarna som ingår i mönstret.

Gröna områdets area:
$0,5 \t 100\pi + 0,5 \t 900\pi - 0,5 \t 400\pi =$
$= 300\pi$

Det gröna området består av halva den lilla gröna cirkeln och halva den stora cirkeln, minus halva den vita cirkeln.

Vita områdets area:
$0,5 \t 400\pi + 0,5 \t 900\pi - 0,5 \t 100\pi=$
$= 600\pi$

Det vita området består av halva den vita cirkeln och halva den stora cirkeln, minus halva den lilla gröna cirkeln.

$\dfrac{300\pi}{600\pi} = \dfrac{1}{2}$

Dividera den gröna arean med den vita arean för att hitta förhållandet.

Svar: Förhållandet mellan den gröna arean och den vita arean är $\dfrac{1}{2}.$

Cirkelns area Åk 8

Uppgifter

Diameter på en cirkel är $16$ cm.

Hitta cirkelns radien.

Hitta cirkelns area. Använd $3,14$ för $\pi.$

<row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns diameter: $16\text{ cm}.$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\dfrac{16\text{ cm}}{2} = 8\text{ cm}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan dividera diameterns längd med $2$ för att hitta cirkelns radie. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Cirkelns radie är $8\text{ cm}.$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns radie: $8\text{ cm}.$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $A \approx 3,14 \t (8\text{ cm})^2 = 200,96\text{ cm}^2$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda formeln för cirkelns area, $A=\pi \t r^2.$ Använd $3,14$ för $\pi.$ </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Cirkelns area är cirka $200,96\text{ cm}^2.$ </cell> </row>

Radien av en cirkel är 9m. Hitta cirkelns area. Använd 3,14 för π.

<row> <cell left="true" role="sol"> $r=9\text{ m}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $A \approx 3,14 \t (9\text{ m})^2 = 254,34\text{ m}^2$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda formeln för cirkelns area, $A=\pi \t r^2.$ Använd $3,14$ för $\pi.$ </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Cirkelns area är cirka $254,34\text{ m}^2.$ </cell> </row>

Ett mynt har formen av en cirkel med en given radie.

Hitta arean av myntet. Använd 3,14 för π.

<row> <cell left="true" role="sol"> $r=2\text{ cm}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $A \approx 3,14 \t (2\text{ cm})^2 = 12,56\text{ cm}^2$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan nu använda formeln för cirkelns area, $A = \pi \t r^2.$ Använd $3,14$ för $\pi.$ </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Myntets area är cirka $12,56\text{ cm}^2.$ </cell> </row>

Hitta arean av en cirkel med en radie på 6m. Använd 3,14 för π.

<row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns radie: $6\text{ m}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $A \approx 3,14 \t (6\text{ m})^2 = 113,04\text{ m}^2$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda formeln $A = \pi \t r^2$ för att hitta cirkelns area. Använd $3,14$ för $\pi.$ </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Cirkelns area är cirka $113,04\text{ m}^2.$ </cell> </row>

Hitta arean av halvcirkeln. Använd 3,14 för π.

<row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns radie: $11\text{ cm}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<expandable> <row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns area:
$A \approx 3,14 \t (11\text{ cm})^2 =$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda formeln $A = \pi \t r^2$ för att hitta cirkelns area. Använd $3,14$ för $\pi.$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $ = ,14 \t 121\text{ cm}^2 =$ </cell> </row> </expandable>

<row> <cell left="true" role="sol"> $ = 379,94\text{ cm}^2$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Halvcirkelns area:
$A_h = \dfrac{379,94}{2}\text{ cm}^2 = 189,97\text{ cm}^2$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom detta är en halvcirkel måste du dela arean du fick med $2.$ </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Halvcirkelns area är cirka $189,97\text{ cm}^2.$ </cell> </row>

Ida vill skapa en blomsterträdgård i sin trädgård, men hennes kanin, Hops, kanske vill äta upp blommorna. För att undvika detta planerar hon att stänga in ett cirkulärt område av sin trädgård så att Hops inte kan komma in.

Om Ida har $10$ meter staket tillgängligt, vad är diametern, i meter, för det största cirkulära området hon kan göra? Använd $3,14$ för $\pi.$ Avrunda svaret till en decimal.

Vad är arean på den största cirkelformade trädgård Ida kan göra med de 10 meter staket hon har tillgängligt? Använd $3,14$ för $\pi$ och avrunda ditt svar till närmaste hela kvadratmeter.

<row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns omkrets: $10\text{ m}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $10\text{ m} = \pi \t d$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda formeln för cirkelns omkrets för att ställa upp en ekvation för diametern. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $10\text{ m} \approx 3,14 \t d$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd $3,14$ för $\pi.$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\dfrac{10}{3,14} \text{ m} \approx d$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd balansmetoden för att lösa ekvationen för $d.$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $d \approx \dfrac{10}{3,14}\text{ m} = 3,184713\ldots\text{ m}\approx$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $\approx 3,2\text{ m}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda svaret till en decimal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Stängselns diameter är ungefär $3,2\text{ m}.$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns diameter: $3,2\text{ m}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Cirkelns radie: $\dfrac{3,2\text{ m}}{2} = 1,6\text{ m}$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan hitta radien för den cirkelformade trädgården genom att dividera dess diameter med $2.$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $A \approx 3,14 \t (1,6\text{ m})^2 = 8,0384\text{ m}^2 =$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan nu använda formeln för cirkelns area, $A=\pi \t r^2.$ Använd $3,14$ för $\pi.$ </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> $ = 8\text{ m}^2$ </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till närmaste hela kvadratmeter. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Arean av den runda trädgården är ungefär $8\text{ m}^2.$ </cell> </row>

Redigera lektion

≤

>

■2

■▢

e▢

7

8

9

×

÷■1

=

=

√▢

▢√

∫▢▢

4

5

6

+

−

≤

<

log

ln

log▢

1

2

3

()

∣

sin

cos

tan

0

.

π

x

y