Bråk

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Bråk

Bråk är uttryck skrivna på formen ab\frac{a}{b}, alltså på samma sätt som en division. De används ofta för att beskriva andelar av en helhet, t.ex. "en fjärdedel" eller "tre halvor."

13 \dfrac{1}{3} == En tredjedel
25 \dfrac{2}{5} == Två femtedelar
57 \dfrac{5}{7} == Fem sjundedelar
72 \dfrac{7}{2} == Sju halvor

Talet ovanför bråkstrecket kallas täljare och talet nedanför kallas nämnare. Nämnaren anger antalet delar som utgör en hel och täljaren anger hur många sådana delar man har.

Nämnaren kan aldrig vara 00 eftersom det är förbjudet att dividera med 00, oavsett vad täljaren är.
Regel

Förlänga bråk

När man förlänger ett bråk innebär det att man multiplicerar täljare och nämnare med samma tal. Även om täljaren och nämnaren förändras kommer inte bråkets värde att förändras eftersom bråket fortfarande beskriver samma andel.

ab=akbk\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}

För att visa att värdet av ett bråk är samma efter att man förlängt det kan man t.ex. tänka sig en pizza som delats i 33 lika stora delar, där man ska äta 11 av bitarna.

Förläng med 2

Återställ

Man kan se att 13\frac{1}{3} av pizzan är lika mycket som 26\frac{2}{6} eller 412\frac{4}{12} av pizzan. Eftersom dessa tre bråktal representerar samma mängd pizza betyder det också att de är lika stora.
Uppgift

Förläng 34\dfrac{3}{4} med 3.

Lösning

När man förlänger ett bråk multipliceras både täljare och nämnare med samma faktor.

34\dfrac{3}{4}
3343\dfrac{3\cdot 3}{4\cdot 3}
912\dfrac{9}{12}

Bråken 34\frac{3}{4} och 912\frac{9}{12} är lika stora.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Förkorta bråk

När man förkortar bråk divideras täljare och nämnare med samma tal. Täljaren och nämnaren förändras men det gör inte bråkets värde eftersom bråket fortfarande beskriver samma andel.

ab=a/kb/k\dfrac{a}{b}=\dfrac{a/k}{b/k}

För att visa att värdet av ett bråk är samma efter att det förkortats kan man t.ex. tänka sig en pizza som delats i 1212 lika stora bitar, där man ska äta 88 av dessa.

Förkorta med 2

Återställ

Man kan se att 812\frac{8}{12} av pizzan är lika mycket som 46\frac{4}{6} eller 23\frac{2}{3} av pizzan. Eftersom dessa tre bråktal representerar samma mängd pizza innebär det att de är lika stora. Detta är ett exempel på när man förkortar bråk med 2.2. Till skillnad från när man förlänger ett bråk kan man inte förkorta hur många gånger som helst. För att förkorta ett bråk måste man kunna bryta ut en gemensam faktor från både täljare och nämnare. Kan man inte det säger man att bråket står på sin enklaste form. Exempelvis står 23\frac{2}{3} på enklaste form.
Uppgift

Fökorta 864\dfrac{8}{64} så långt som möjligt.

Lösning
Eftersom både täljare och nämnare är jämna tal kan vi börja med att förkorta med 2.2.
864\dfrac{8}{64}
8/264/2\dfrac{8/2}{64/2}
432\dfrac{4}{32}

Både 44 och 3232 är delbara med 44, så vi förkortar igen.

432\dfrac{4}{32}
4/432/4\dfrac{4/4}{32/4}
18\dfrac{1}{8}

Täljaren och nämnaren har inga fler gemensamma faktorer, så bråket står nu på sin enklaste form.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Gemensam nämnare

Om man har två eller flera bråk med olika nämnare kan man, genom att förlänga eller förkorta, se till att bråkens nämnare blir likadana. Man säger att de har fått gemensam nämnare. Detta är viktigt t.ex. när man adderar och subtraherar bråk. Som exempel kan bråken 13\frac{1}{3} och 12\frac{1}{2} skrivas om med nämnaren 66 genom att man förlänger det första bråket med 22 och det andra med 3.3. 1232=26och1323=36 \dfrac{1\cdot2}{3\cdot2}=\dfrac{2}{6}\qquad\text{och}\qquad\dfrac{1\cdot3}{2\cdot3}=\dfrac{3}{6}

Notera att bråken förlängdes med varandras nämnare. Det är en metod som alltid fungerar för att hitta en gemensam nämnare. Bråken 13\frac{1}{3} och 12\frac{1}{2} har även andra gemensamma nämnare. Dessa kan hittas genom att man fortsätter förlänga bråken med tal som gör att nämnarna blir lika. Den minsta av de gemensamma nämnarna brukar kallas för minsta gemensamma nämnare (MGN).
Uppgift

Hitta en gemensam nämnare till bråken 12,23och34. \dfrac{1}{2}, \quad \dfrac{2}{3} \quad \text{och} \quad \dfrac{3}{4}.

Lösning

Vi kan förlänga bråken med varandras nämnare för hitta en gemensam nämnare. Det innebär att vi förlänger 12\frac{1}{2} med 33 och 4,4, att vi förlänger 23\frac{2}{3} med 22 och 44 samt att vi förlänger 34\frac{3}{4} med 22 och 3.3. 134234=1224224324=1624323423=1824\begin{aligned} \dfrac{1\cdot3\cdot4}{2\cdot3\cdot4}&=\dfrac{12}{24}\\[1.5em] \dfrac{2\cdot2\cdot4}{3\cdot2\cdot4}&=\dfrac{16}{24}\\[1.5em] \dfrac{3\cdot2\cdot3}{4\cdot2\cdot3}&=\dfrac{18}{24} \end{aligned} En gemensam nämnare är alltså 24.24.

Visa lösning Visa lösning


Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}