5. Beskriva funktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
5.
Beskriva funktioner
Denna lektion fokuserar på att beskriva funktioner genom olika metoder, inklusive funktionsuttryck, värdetabeller och grafer. Den förklarar hur man kan använda dessa metoder för att förstå och tolka olika typer av funktioner, inklusive linjära och icke-linjära funktioner. Lektionenen ger också en detaljerad förklaring av hur man kan skapa en värdetabell för en funktion och hur man kan använda denna tabell för att skapa en graf. Dessutom förklaras hur man kan använda grafer och värdetabeller för att lösa ekvationer.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 21 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Beskriva funktioner
Sida av 8
Några vanliga sätt att representera funktioner är funktionsuttryck (formler), värdetabeller och grafer. Vad man använder beror på vilka egenskaper hos funktionen man är intresserad av.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Funktionsuttryck
- Graf
- Värdetabell
- Värdetabell på räknare
- Bestäm funktion utifrån graf
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Funktionsuttryck
Ett funktionsuttryck är ett sätt att beskriva en funktion. Det anger en omvandlingsregel eller formel som talar om hur funktionsvärdet beror av olika x-värden. Exempelvis är y=x+3
ett funktionsuttryck som med ord kan beskrivasaddera 3 till x-värdet.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Graf
En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen. Klicka på vilken punkt som helst på grafen för att se dess koordinater.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Värdetabell
En värdetabell är ett diagram som hjälper till att organisera och visualisera information. Den används ofta för att visa relationen mellan två variabler.
| x | y |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 9 |
| 4 | 12 |
| 5 | 15 |
2y-värdet
6.Detta representeras vanligtvis med notation (2,6).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Digitala verktyg
Värdetabell på räknare
Räknaren har ett inbyggt verktyg för att generera en värdetabell utifrån ett funktionsuttryck. Det kan vara tidsbesparande eftersom det krävs många beräkningar att göra det för hand.
1
Ange funktionen
expand_more Precis som när man ritar en graf på räknaren börjar man med att trycka på Y= och skriva in funktionsuttrycket.
2
Visa tabellen
expand_more Därefter trycker man på TABLE (2ND + GRAPH). Då genereras automatiskt en värdetabell för några olika x-värden. Har man skrivit in ett annat funktionsuttryck på Y_2 kommer y-värdena för den funktionen att visas i kolumnen längst till höger.
3
Justera tabellinställningarna
expand_more Om man vill ändra de x-värden som syns i tabellen trycker man på TBLSET (2ND +WINDOW). Där kan man ange vilket x-värde tabellen ska börja på (TblStart) och hur stort avståndet ska vara mellan värdena (ΔTbl). Avståndet anger skillnaden mellan varje x-värde.
4
Återgå till tabellen och kontrollera värdena
expand_more Genom att trycka på TABLE igen uppdateras tabellen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Skissa graf utifrån funktionsuttryck
Skissa grafen till funktionen y=x^2-1 genom att göra en värdetabell.
Svar
Exempelgraf:
Ledtråd
Välj några positiva och negativa x-värden och använd dem för att utvärdera den givna funktionen.
Lösning
För att göra en värdetabell sätter vi in några valfria x-värden och beräknar motsvarande funktionsvärden. För att inte missa intressant information väljer vi några negativa och några positiva x-värden.
| x | x^2-1 | y | Punkt |
|---|---|---|---|
| -2 | ( -2)^2-1 | 3 | (-2,3) |
| -1 | ( -1)^2-1 | 0 | (-1,0) |
| 0 | 0^2-1 | -1 | (0,-1) |
| 1 | 1^2-1 | 0 | (1,0) |
| 2 | 2^2-1 | 3 | (2,3) |
Nu ritar vi upp ett koordinatsystem och prickar in punkterna vi tog fram i tabellen.
Till sist sammanbinder vi punkterna med en kurva.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Bestäm funktion utifrån graf
För att bestämma en funktion utifrån en graf måste man först veta vilken typ av funktion det är. I koordinatsystemet har grafen till en exponentialfunktion ritats.
För att bestämma funktionsuttrycket behöver man minst lika många punkter som antalet konstanter i funktionens allmänna form.
1
Bestäm antalet okända konstanter
expand_more Grafen beskriver en exponentialfunktion, vilket betyder att den allmänna formen är y=C* a^x.
Antalet okända konstanter är två stycken: startvärdet C och förändringsfaktorn a.
2
Läs av lika många punkter på grafen
expand_more Det finns två okända konstanter och därför behövs två olika punkter för att bestämma dessa värden.
Grafen går exempelvis igenom (1,1), och (2,3).
3
Sätt in punkterna i funktionen
expand_more Punkterna sätts in i funktionen och man får då två ekvationer:
1=C* a^1 och 3=C* a^2.
4
Ställ upp ett ekvationssystem och lös det
expand_more Eftersom det finns två okända variabler och två ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem.
1=C* a^1 3=C* a^2
Nu kan man använda substitutionsmetoden för att bestämma de okända konstanterna.
1=C* a^1 & (I) 3=C* a^2 & (II)
(I): Förenkla potens
1=C* a 3=C* a^2
DivEqn
(I): .VL /a.=.HL /a.
1a=C 3=C* a^2
RearrangeEqn
(I): Omarrangera ekvation
C= 1a 3=C* a^2
Substitute
(II): C= 1/a
C= 1a 3= 1a* a^2
Multiply
(II): Multiplicera faktorer
C= 1a 3= a^2a
SimpQuot
(II): Förenkla kvot
C= 1a 3=a
RearrangeEqn
(II): Omarrangera ekvation
C= 1a a=3
Substitute
(I): a= 3
C= 1 3 a=3
5
Sätt in konstanterna
expand_more Till sist sätts värdena för konstanterna in i funktionsuttrycket.
y=C* a^x ⇒ y=1/3* 3^x
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm funktionen med hjälp av grafen
Vilken andragradsfunktion beskriver grafen?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-0,5x^2+3x+4"]}}
Ledtråd
Använd den allmänna formeln för en andragradsekvation. Analysera den givna grafen och hitta y-skärningspunkten och koordinaterna för vertexen.
Lösning
Den allmänna formen för en andragradsfunktion är
y=ax^2+bx+c,
där a, b, och c är reella konstanter. Konstanten c kan vi bestämma direkt eftersom det är y-värdet där grafen skär y-axeln.
Vi ser att y-värdet är 4 så c=4, vilket ger y=ax^2+bx+4. Det finns nu två okända konstanter kvar, så vi behöver ytterligare två punkter för att bestämma dem. Vi väljer två där x- och y-koordinaterna är lätta att läsa av.
Två punkter på kurvan är (2,8) och (6,4), och sätter vi in dessa i funktionsuttrycket bildas två ekvationer. Punkten (2,8) betyder att när man sätter in x=2 är y=8. Det ger ekvationen a* 2^2+b*2+4=8. På samma sätt får man ekvationen a* 6^2+b*6+4=4 genom att sätta in den andra punktens koordinater. Dessa två ekvationer bildar ett ekvationssystem som man kan lösa med exempelvis additionsmetoden.
a* 2^2+b*2+4=8 & (I) a* 6^2+b*6+4=4 & (II)
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
4a+2b+4=8 36a+6b+4=4
MultEqn
(I): VL * (-3)=HL* (-3)
-12 a-6b-12=-24 36a+6b+4=4
SysEqnAdd
(I): Addera (II)
-12 a-6b-12+ 36a+6b+4=-24+ 4 36a+6b+4=4
SimpTerms
(I): Förenkla termerna
24a-8= -20 36a+6b+4=4
AddEqn
(I): VL+8=HL+8
24a= -12 36a+6b+4=4
DivEqn
(I): .VL /24.=.HL /24.
a= -0,5 36a+6b+4=4
Nu sätter vi in värdet på a i den andra ekvationen.
a= -0,5 36a+6b+4=4
Substitute
(II): a= -0,5
a= -0,5 36( -0,5)+6b+4=4
MultPosNeg
(II):a(- b)=- a * b
a= -0,5 -18+6b+4=4
SimpTerms
(II): Förenkla termerna
a= -0,5 -14+6b=4
AddEqn
(II):VL+14=HL+14
a= -0,5 6b=18
DivEqn
(II): .VL /6.=.HL /6.
a= -0,5 b=3
a är -0,5 och b är 3. Sedan tidigare vet vi också att c=4. Detta ger funktionen y=-0,5 x^2+3x+4.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Beskriva funktioner
Uppgift 2.1
Funktionen f(x) har ritats in i ett koordinatsystem.
Vilket tal ska adderas till funktionen för att dess graf ska passera genom origo?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
security
report
code
security
report
code
Just nu skär linjen y-axeln vid y=-3. För att den ska gå genom origo vill vi flytta upp den 3 steg.
Det betyder att alla y-värden ökar med 3. Vi ska alltså lägga till 3 för att flytta upp grafen 3 steg. Vi kan skriva det som f(x)+3.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
| x | f(x) | g(x) |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 1,5 |
| 3 | 2 | 2,5 |
| 5 | 4 | 3,5 |
| 7 | 6 | 4,5 |
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3 < x < 5","5 > x > 3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"4","text2":"3"}}
security
report
code
security
report
code
När linjära funktioner skär varandra innebär det att ena funktionen har gått från att vara mindre till att vara större och vice versa. I värdetabellen har vi markerat den funktion som är störst för aktuellt x-värde med grönt.
| x | f(x) | g(x) |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 1,5 |
| 3 | 2 | 2,5 |
| 5 | 4 | 3,5 |
| 7 | 6 | 4,5 |
Vi ser att det är mellan x=3 och x=5 som f(x) blir större än g(x). Detta innebär att grafen till f(x) har korsat grafen till g(x) någonstans mellan dessa x-värden. Funktionernas grafer skär därför varandra i någon punkt i intervallet 3 < x < 5.
Den givna värdetabellen ger oss fyra punkter för f(x) och fyra punkter för g(x).
| x | (x, f(x)) | (x, g(x)) |
|---|---|---|
| 1 | (1, 0) | (1, 1,5) |
| 3 | (3, 2) | (3, 2,5) |
| 5 | (5, 4) | (5, 3,5) |
| 7 | (7, 6) | (7, 4,5) |
Vi markerar dessa i ett koordinatsystem och ritar de båda graferna utifrån dessa. Därefter läser vi av skärningspunktens koordinater.
Funktionerna skär varandra i punkten (4,3).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Skissa för hand grafen till funktionen y=0,25x^3+x^2 i intervallet -5 ≤ x ≤ 2 genom att göra en värdetabell. Du får använda räknaren till beräkningarna. Kontrollera sedan grafens utseende med din grafritande räknare.
security
report
code
security
report
code
För att göra värdetabellen sätter vi in x-värdena -5, -4, ... , 2 och beräknar det motsvarande funktionsvärdet. x- och y-värdena representerar punker som funktionen går genom.
| x | 0,25x^3+x^2 | y | Punkt |
|---|---|---|---|
| -5 | 0,25 * ( -5)^3+( -5)^2 | - 6,25 | (-5;-6,25) |
| -4 | 0,25 * ( -4)^3+( -4)^2 | 0 | (-4,0) |
| -3 | 0,25 * ( -3)^3+( -3)^2 | 2,25 | (-3;2,25) |
| -2 | 0,25 * ( -2)^3+( -2)^2 | 2 | (-2,2) |
| -1 | 0,25 * ( -1)^3+( -1)^2 | 0,75 | (-1;0,75) |
| 0 | 0,25 * 0^3+ 0^2 | 0 | (0,0) |
| 1 | 0,25 * 1^3+ 1^2 | 1,25 | (1;1,25) |
| 2 | 0,25 * 2^3+ 2^2 | 6 | (2,6) |
Nu ritar vi upp ett koordinatsystem och markerar punkterna vi tog fram i tabellen.
Nu kan vi sammanbinda punkterna med en kurva.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"Bl\u00e5"},{"id":1,"text":"R\u00f6d"}],[{"id":0,"text":"g(x)"},{"id":1,"text":"f(x)"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1],[0,1]]}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"b=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"a=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1,5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi måste först ta reda på vilken graf som hör till vilken funktion. Den blå kurvan har en minimipunkt, medan den röda inte har någon extrempunkt alls. Andragradskurvor har alltid en extrempunkt så g(x) måste vara den blå grafen.
Vi läser av en punkt på grafen.
Punkten (1,5) ligger på grafen, så om vi sätter in x=1 och y=5 i g(x) kan vi bestämma b.
b är alltså lika med 2.
Nu läser vi av en punkt på den röda kurvan.
Punkten (1,3) ligger på den röda kurvan så vi sätter in den i f(x) för att bestämma a.
a är alltså 1,5.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Nedan visas grafen till en exponentialfunktion f(x).
Bestäm funktionen f(x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,5\\cdot 2^x"]}}
security
report
code
security
report
code
En exponentialfunktion på allmän form skrivs y=C* a^x, där C och a är konstanter. Det finns två okända konstanter så vi behöver två punkter från grafen.
Vi läser av punkterna (1,1) och (2,2). Insättning av dessa i funktionen ger oss två ekvationer som bildar ett ekvationssystem: 1=C* a^1 2=C* a^2. Vi kan lösa det med t.ex. substitutionsmetoden.
C är 0,5 och a är 2, vilket ger funktionen f(x)=0,5* 2^x.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
I koordinatsystemet visas grafen till en andragradsfunktion, f(x).
Bestäm f(x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2x^2-6x-3"]}}
security
report
code
security
report
code
Kurvan skär y-axeln i y=-3. Det betyder att konstanttermen är -3, vilket ger f(x)=ax^2+bx-3, där a och b är reella konstanter. För att bestämma de andra behöver vi två punkter på grafen.
Vi läser av punkterna (1,-7) och (3,-3) och sätter in dem i funktionen. Det ger två nya ekvationer som bildar ett ekvationssystem: -7=a* 1^2+b*1-3 -3=a* 3^2+b*3-3. Vi löser det med t.ex. substitutionsmetoden.
Nu har vi löst ut a. Då sätter vi in det i den andra ekvationen.
a är 2 och b är -6 vilket ger funktionen f(x)=2x^2-6x-3.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Vad finns det mer för villkor på a för
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["a>1","1<a"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["a<1","1>a"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["a>1","1<a"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom kurvan skär positiva y-axeln är C positivt. Vi ser att kurvan är växande, dvs. antar större och större y-värden. Det betyder att det är en procentuell ökning, så förändringsfaktorn a måste vara större än 1: a > 1.
Även här är C positivt, men kurvan är avtagande. Det innebär att funktionsvärdet minskar, alltså att förändringsfaktorn är mindre än 1. Villkoret blir a < 1.
Nu har vi en exponentialfunktion med ett negativt startvärde. Ju större x blir desto mindre blir y. Förändringsfaktorn a måste vara positiv och funktionen går mot större och större negativa värden. Därför måste a^x bli större och större. Där a är större än 1:
a>1.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Tyrolf och Nefertiti ska bestämma basen a i exponentialfunktionen f(x)= 6* a^x med hjälp av nedanstående graf. Tyrolf tycker att skärningspunkten med y-axeln är lämplig att använda för att bestämma a. Nefertiti säger emellertid att det inte kommer att fungera. Vem har rätt?
{"type":"choice","form":{"alts":["Tyrolf","Nefertiti"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Tyrolf har rätt i att skärningen med y-axeln är en lättavläst punkt, men eftersom denna punkt motsvarar konstanten 6 i exponentialfunktionen f(x)=6* a^x kommer den inte leda till att vi kan lösa ut a. Vi visar vad som händer när vi sätter in (0,6) i funktionen.
När vi sätter in skärningspunkten med y-axeln blir potensens värde 1 så vi får helt enkelt en likhet mellan två sexor. De måste alltså välja någon annan punkt längs grafen för att kunna lösa ut a. Nefertiti har rätt.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Anta att den årliga procentuella förändringen av antalet blåvalar var konstant under 1900-talet och fortsätter att vara konstant under 2000-talet.
Nationella provet VT15 2a
{"type":"choice","form":{"alts":["f(x)","g(x)","h(x)"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
Nationella provet VT15 2a
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"st","answer":{"text":["112"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att antalet blåvalar minskar med lika många procent dvs. funktionen som beskriver minskningen är en exponentialfunktion. Detta utesluter y=f(x) som är en rät linje. Den blir dessutom negativ efter ett tag vilket inte heller är rimligt. Grafen till y=g(x) stiger efter x=100 vilket innebär att antalet blåvalar skulle öka efter år 2000. Detta stämmer inte minskningen förväntas fortsätta, även efter år 2000. Funktionen som beskriver minskningen är alltså y=h(x).
För att bestämma antalet blåvalar år 2065 ska vi sätta in x=165 i funktionen som beskriver y=h(x). Då måste vi först bestämma förändringsfaktorn a och startvärdet C i exponentialfunktionen
h(x)=C* a^x.
C anger var funktionen skär y-värdet och från grafen ser vi att detta sker i punkten (0,239 000) så C=239 000. För att hitta förändringsfaktorn a sätter vi in punkten (100,2300) i h(x) och löser ut a.
Förändringsfaktorn är ca 0,95 vilket betyder att antalet blåvalar minskar med 5 % per år. Förändringsfaktorn kan inte vara negativ så vi bortser från den negativa lösningen. Nu kan vi bestämma antalet blåvalar år 2065 genom att sätta in x=165 i vår funktion. Vi använder det exakt värdet på a för att undvika avrundningsfel.
Antalet blåvalar år 2065 är ca 112 stycken enligt modellen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Beskriva funktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll