Beskriva funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Några vanliga sätt att representera funktioner är funktionsuttryck (formler), värdetabeller och grafer. Vad man använder beror på vilka egenskaper hos funktionen man är intresserad av.
Begrepp

Funktionsuttryck

Ett funktionsuttryck är ett sätt att beskriva en funktion. Det anger en omvandlingsregel eller formel som talar om hur funktionsvärdet beror av olika xx-värden. Exempelvis är y=x+3 y=x+3

ett funktionsuttryck som med ord kan beskrivas "addera 3 till xx-värdet."
Begrepp

Graf

En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen.

Grafen i sig visar inte själva funktionsuttrycket vilket är en begränsning. Däremot ger grafen en större överblick av funktionen än formeln då man ser flera par av xx- och yy-värden samtidigt.
Begrepp

Värdetabell

Värdetabeller används för att sammanställa utvalda xx- och yy-värden för en funktion. Från en sådan tabell kan man markera punkter i ett koordinatsystem och på så sätt få en uppfattning om grafens utseende. Man kan t.ex. skapa en värdetabell för funktionen y=x1y=x-1 med några valda värden på x.x. Motsvarande yy-värden bestäms genom att man sätter in respektive xx-värde i formeln.

xx yy
00 -1\text{-}1
11 00
22 11
33 22

Genom att binda samman punkterna får man funktionens graf.

Räknaren har ett inbyggt verktyg för att generera en värdetabell utifrån ett funktionsuttryck. Det kan vara tidsbesparande eftersom det krävs många beräkningar att göra det för hand. Precis som när man ritar en graf på räknaren börjar man med att trycka på Y= och skriva in funktionsuttrycket.

TI-Meny med funktioner

Därefter trycker man på TABLE (2nd + GRAPH). Då genereras automatiskt en värdetabell för några olika xx-värden. Har man skrivit in ett annat funktionsuttryck på Y2_2 kommer yy-värdena för den funktionen att visas i kolumnen längst till höger.

Om man vill ändra de xx-värden som syns i tabellen trycker man på TBLSET (2nd + WINDOW). Där kan man ange vilket xx-värde tabellen ska börja på (TblStart) och hur stort avståndet ska vara mellan värdena (Δ\DeltaTbl). Avståndet anger skillnaden mellan varje xx-värde.

TI-Meny med TBLSET

Genom att trycka på TABLE igen uppdateras tabellen.

Uppgift

Skissa grafen till funktionen y=x21 y=x^2-1 genom att göra en värdetabell.

Lösning

För att göra en värdetabell sätter vi in några valfria xx-värden och beräknar motsvarande funktionsvärden. För att inte missa intressant information väljer vi några negativa och några positiva xx-värden.

xx x21x^2-1 yy Punkt
-2 {\color{#0000FF}{\text{-}2}} (-2)21({\color{#0000FF}{\text{-}2}})^2-1 3 (-2,3)(\text{-}2,3)
-1{\color{#0000FF}{\text{-}1}} (-1)21({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^2-1 0 (-1,0)(\text{-}1,0)
0{\color{#0000FF}{0}} 021{\color{#0000FF}{0}}^2-1 -1\text{-}1 (0,-1)(0,\text{-}1)
1 {\color{#0000FF}{1}} 121{\color{#0000FF}{1}}^2-1 0 (1,0)(1,0)
2 {\color{#0000FF}{2}} 221{\color{#0000FF}{2}}^2-1 3 (2,3)(2,3)

Nu ritar vi upp ett koordinatsystem och prickar in punkterna vi tog fram i tabellen.

Till sist sammanbinder vi punkterna med en kurva.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Bestäm funktion utifrån graf

För att bestämma en funktion utifrån en graf måste man först veta vilken typ av funktion det är. I koordinatsystemet har grafen till en exponentialfunktion ritats.

För att bestämma funktionsuttrycket behöver man minst lika många punkter som antalet konstanter i funktionens allmänna form.

1

Bestäm antalet okända konstanter

Grafen beskriver en exponentialfunktion, vilket betyder att den allmänna formen är y=Cax. y=C\cdot a^x. Antalet okända konstanter är två stycken: startvärdet CC och förändringsfaktorn a.a.

2

Läs av lika många punkter på grafen

Det finns två okända konstanter och därför behövs två olika punkter för att bestämma dessa värden.

Grafen går exempelvis igenom (1,1),(1,1), och (2,3)(2,3).

3

Sätt in punkterna i funktionen

Punkterna sätts in i funktionen och man får då två ekvationer: 1=Ca1och3=Ca2. 1=C\cdot a^{1} \quad \text{och} \quad 3=C\cdot a^{2}.

4

Ställ upp ett ekvationssystem och lös det

Eftersom det finns två okända variabler och två ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem. {1=Ca13=Ca2 \begin{cases}1=C\cdot a^{1} \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases} Nu kan man använda substitutionsmetoden för att bestämma de okända konstanterna.

{1=Ca1(I)3=Ca2(II)\begin{cases}1=C\cdot a^{1} & \, \text {(I)}\\ 3=C\cdot a^{2} & \text {(II)}\end{cases}
(I): {\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}} Förenkla potens
{1=Ca3=Ca2\begin{cases}1=C\cdot a \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}
{1a=C3=Ca2\begin{cases}\frac{1}{a}=C \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}
{C=1a3=Ca2\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}
{C=1a3=1aa2\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3={\color{#0000FF}{\frac{1}{a}}}\cdot a^{2} \end{cases}
{C=1a3=a2a\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=\frac{a^2}{a} \end{cases}
{C=1a3=a\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=a \end{cases}
{C=1aa=3\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ a=3 \end{cases}
{C=13a=3\begin{cases}C=\frac{1}{{\color{#0000FF}{3}}} \\ a=3 \end{cases}

5

Sätt in konstanterna

Till sist sätts värdena för konstanterna in i funktionsuttrycket. y=Caxy=133x y=C\cdot a^x\quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{1}{3}\cdot 3^x

Uppgift

Vilken andragradsfunktion beskriver grafen?

Lösning

Den allmänna formen för en andragradsfunktion är y=ax2+bx+c, y=ax^2+bx+c, där a,a, b,b, och cc är reella konstanter. Konstanten cc kan vi bestämma direkt eftersom det är yy-värdet där grafen skär yy-axeln.

Vi ser att yy-värdet är 4 så c=4,c=4, vilket ger y=ax2+bx+4. y=ax^2+bx+4. Det finns nu två okända konstanter kvar, så vi behöver ytterligare två punkter för att bestämma dem. Vi väljer två där xx- och yy-koordinaterna är lätta att läsa av.

Två punkter på kurvan är (2,8)(2,8) och (6,4),(6,4), och sätter vi in dessa i funktionsuttrycket bildas två ekvationer. Punkten (2,8)(2,8) betyder att när man sätter in x=2x=2 är y=8.y=8. Det ger ekvationen a22+b2+4=8. a\cdot 2^2+b\cdot2+4=8. På samma sätt får man ekvationen a62+b6+4=4a\cdot 6^2+b\cdot6+4=4 genom att sätta in den andra punktens koordinater. Dessa två ekvationer bildar ett ekvationssystem som man kan lösa med exempelvis additionsmetoden.

{a22+b2+4=8(I)a62+b6+4=4(II)\begin{cases}a\cdot 2^2+b\cdot2+4=8 & \, \text {(I)}\\ a\cdot 6^2+b\cdot6+4=4 & \text {(II)}\end{cases}
{4a+2b+4=836a+6b+4=4\begin{cases}4a+2b+4=8 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{-12a6b12=-2436a+6b+4=4\begin{cases}\text{-}12 a-6b-12=\text{-}24 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{-12a6b12+36a+6b+4=-24+436a+6b+4=4\begin{cases}\text{-}12 a-6b-12+{\color{#0000FF}{36a+6b+4}}=\text{-}24+{\color{#0000FF}{4}} \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{24a8=-2036a+6b+4=4\begin{cases}24a-8= \text{-}20 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{24a=-1236a+6b+4=4\begin{cases}24a= \text{-}12 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{a=-0.536a+6b+4=4\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}

Nu sätter vi in värdet på aa i den andra ekvationen.

{a=-0.536a+6b+4=4\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{a=-0.536(-0.5)+6b+4=4\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 36({\color{#0000FF}{\text{-}0.5}})+6b+4=4 \end{cases}
{a=-0.5-18+6b+4=4\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ \text{-}18+6b+4=4 \end{cases}
{a=-0.5-14+6b=4\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ \text{-}14+6b=4 \end{cases}
{a=-0.56b=18\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 6b=18 \end{cases}
{a=-0.5b=3\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ b=3 \end{cases}

aa är -0.5\text{-}0.5 och bb är 3. Sedan tidigare vet vi också att c=4.c=4. Detta ger funktioneny=-0.5x2+3x+4. y=\text{-}0.5 x^2+3x+4.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}