Beskriva funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Några vanliga sätt att representera funktioner är funktionsuttryck (formler), värdetabeller och grafer. Vad man använder beror på vilka egenskaper hos funktionen man är intresserad av.
Begrepp

Funktionsuttryck

Ett funktionsuttryck är ett sätt att beskriva en funktion. Det anger en omvandlingsregel eller formel som talar om hur funktionsvärdet beror av olika xx-värden. Exempelvis är y=x+3 y=x+3

ett funktionsuttryck som med ord kan beskrivas "addera 3 till xx-värdet."
Begrepp

Värdetabell

Värdetabeller används för att sammanställa utvalda xx- och yy-värden för en funktion. Från en sådan tabell kan man markera punkter i ett koordinatsystem och på så sätt få en uppfattning om grafens utseende.

Räknaren har ett inbyggt verktyg för att generera en värdetabell utifrån ett funktionsuttryck. Det kan vara tidsbesparande eftersom det krävs många beräkningar att göra det för hand. Precis som när man ritar en graf på räknaren börjar man med att trycka på Y= och skriva in funktionsuttrycket.

TI-Meny med funktioner

Därefter trycker man på TABLE (2nd + GRAPH). Då genereras automatiskt en värdetabell för några olika xx-värden. Har man skrivit in ett annat funktionsuttryck på Y2_2 kommer yy-värdena för den funktionen att visas i kolumnen längst till höger.

Om man vill ändra de xx-värden som syns i tabellen trycker man på TBLSET (2nd + WINDOW). Där kan man ange vilket xx-värde tabellen ska börja på (TblStart) och hur stort avståndet ska vara mellan värdena (Δ\DeltaTbl). Avståndet anger skillnaden mellan varje xx-värde.

TI-Meny med TBLSET

Genom att trycka på TABLE igen uppdateras tabellen.

Begrepp

Graf

En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen.

Grafen i sig visar inte själva funktionsuttrycket vilket är en begränsning. Däremot ger grafen en större överblick av funktionen än formeln då man ser flera par av xx- och yy-värden samtidigt.
Uppgift

Skissa grafen till funktionen y=x21 y=x^2-1 genom att göra en värdetabell.

Lösning

För att göra en värdetabell sätter vi in några valfria xx-värden och beräknar motsvarande funktionsvärden. För att inte missa intressant information väljer vi några negativa och några positiva xx-värden.

xx x21x^2-1 yy Punkt
-2 {\color{#0000FF}{\text{-}2}} (-2)21({\color{#0000FF}{\text{-}2}})^2-1 3 (-2,3)(\text{-}2,3)
-1{\color{#0000FF}{\text{-}1}} (-1)21({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^2-1 0 (-1,0)(\text{-}1,0)
0{\color{#0000FF}{0}} 021{\color{#0000FF}{0}}^2-1 -1\text{-}1 (0,-1)(0,\text{-}1)
1 {\color{#0000FF}{1}} 121{\color{#0000FF}{1}}^2-1 0 (1,0)(1,0)
2 {\color{#0000FF}{2}} 221{\color{#0000FF}{2}}^2-1 3 (2,3)(2,3)

Nu ritar vi upp ett koordinatsystem och prickar in punkterna vi tog fram i tabellen.

Till sist sammanbinder vi punkterna med en kurva.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Grafisk lösning

Vissa ekvationer kan vara svåra att lösa algebraiskt, exempelvis exponentialekvationen1.5x=5.0625. 1.5^x=5.0625. Då kan man prova att lösa den grafiskt istället genom att tolka ekvationens led som två separata funktioner och bestämma var graferna till dessa skär varandra.

1

Skriv ekvationens led som funktioner

Skriv ekvationens vänster- och högerled som två separata funktioner: y=1.5xochy=5.0625. y=1.5^x \quad \text{och} \quad y=5.0625.

2

Rita graferna till funktionerna

Rita funktionernas grafer för hand, t.ex. med hjälp av värdetabell, eller på grafräknare.

3

Läs av xx-värden där graferna skär varandra

Lösningen till ekvationen 1.5x=5.06251.5^x=5.0625 får man genom att läsa av xx-värdet för den punkt där graferna skär varandra.

Graferna skär varandra där x=4,x=4, vilket alltså är lösningen på ekvationen. På många grafräknare finns det inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkten.

Att lösa en ekvation grafiskt innebär att man skriver in ekvationens vänster- och högerled som två funktioner och hittar skärningspunktens xx-värde. Det är ofta praktiskt att använda räknaren för detta.

Digitala verktyg

Skriv in funktionerna på räknaren

Ekvationernas led skrivs in som funktioner på räknaren. Det görs genom att först trycka på Y= och sedan skriva in funktionsuttrycken på raderna Y1\text{Y}_1, Y2\text{Y}_2 osv. För att skriva xx använder man X,T,θ,n.\theta, n.

Fönster som visar plot1 plot2 plot3 på en TI82-räknare
Digitala verktyg

Rita funktionerna

När funktionerna skrivits in på räknaren trycker man på GRAPH för att rita ut funktionerna i ett koordinatsystem.

Graffönster från TI-82

För att ändra de xx- och yy-värden som koordinatsystemet ritas mellan kan man trycka på WINDOW, där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.


Digitala verktyg

Hitta skärningspunkten

Man kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två graferna. Verktyget som gör detta hittar man genom att först trycka på 2nd + TRACE och sedan 5:intersect.

Graffönster från TI-82

När man har valt 5:intersect visas de graferna igen och man kan nu välja mellan vilka av dem som skärningspunkten ska bestämmas.

  • First curve: Välj den första grafen genom att trycka på ENTER. Man kan välja mellan graferna med upp- och nedpilarna.
  • Second curve: Välj den andra grafen.
  • Guess: För att räknaren ska kunna bestämma skärningspunkten snabbare ber den om en gissning som startpunkt. Placera markören i närheten av skärningspunkten genom att använda höger- och vänsterpilarna och tryck sedan på ENTER.
Nu skrivs skärningspunktens xx- och yy-värde ut och xx är ekvationens lösning.
Uppgift

Lös följande ekvation grafiskt. x3=62+x x^3=62 + \sqrt{x}

Lösning

Ekvationen är svår att lösa algebraiskt. För att kunna lösa ekvationen grafiskt behöver vi digitala verktyg, exempelvis en grafritande räknare. Vi låter ekvationens led utgöra varsin funktion: y=x3ochy=62+x. y = x^3 \quad \text{och} \quad y = 62+ \sqrt{x}. Vårt mål är nu att rita upp dessa funktioner på räknaren och sedan läsa av skärningspunkten med räknarens verktyg för detta. xx-värdet där graferna skär varandra är ekvationens lösning. Börja med att trycka på Y= och skriv in funktionsuttrycken.

räknarfönster med funktioner

Tryck sedan på knappen GRAPH för att rita ut funktionerna i ett koordinatsystem. För att ändra de xx- och yy-värden som koordinatsystemet ritas mellan kan du trycka på WINDOW, där finns inställningar för hur koordinatsystemet visas.

Nu vill vi hitta skärningspunkten mellan graferna, och gör det genom att först trycka på 2nd + TRACE och sedan "5:intersect".

Nu visas graferna igen och vi väljer vilken som ska utgöra "first curve" och "second curve" (spelar ingen roll hur vi väljer). Till sist gissar vi var skärningspunkten finns med ENTER.

Nu skrivs skärningspunktens xx- och yy-värde ut och xx löser ekvationen. Lösningen till vår ekvation är alltså x=4.x=4.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Lös olikheten grafiskt: x2<2x+15. x^2 \lt 2x+15.

Lösning

Lösningen till en olikhet är ett intervall. Vi letar alltså efter alla tal xx som gör att x2x^2 är mindre än 2x+15.2x+15. Vi delar upp vänster- och högerledet till varsin funktion, dvs. y1=x2 och y2=2x+15. y_1 = x^2 \quad \text{ och } \quad y_2 = 2x + 15. Vi ritar funktionerna, antingen med digitalt hjälpmedel eller via en värdetabell. Vi hittar skärningspunkterna och läser av när grafen till y1=x2y_1=x^2 är under y2=2x+15 y_2=2x+15 .

Den blå kurvan är mindre än den röda linjen i intervallet -3<x<5, \text{-} 3 \lt x \lt 5, eftersom alla yy-värden för x2x^2 är mindre än yy-värdena för den räta linjen. Om olikheten hade varit x22x+15x^2\leq 2x+15 skulle intervallet inkludera -3\text{-} 3 och 5 dvs. -3x5.\text{-} 3\leq x \leq 5.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) har ritats in i ett koordinatsystem.


a

I vilken punkt skär grafen xx-axeln?

b

I vilken punkt skär grafen yy-axeln?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skapa en värdetabell till y=-2x+5y=\text{-} 2x+5 för x-värdena -2,-1,0,1och2. \text{-} 2, \quad \text{-} 1, \quad 0, \quad 1 \quad \text{och} \quad 2. Kontrollera din lösning genom att skapa en värdetabell på räknare.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa för hand grafen till den funktion som beskrivs av värdetabellen.

xx yy
-2 -3
0 -1
2 1
3 2
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen går igenom två markerade punkter.


a

Ange funktionens funktionsvärde för punkten i andra kvadranten.

b

Ange xx-värdet för punkten i den fjärde kvadranten.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 3x3=63x - 3 = 6 grafiskt för hand. Kontrollera sedan lösningen med räknare.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet har två linjära funktioner ritats. Motivera vilken funktion du tror har störst funktionsvärde när x=25.x = 25.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) har ritats in i ett koordinatsystem.

Vilket tal ska adderas till funktionen för att dess graf ska passera genom origo?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet har f(x)f(x) och g(x)g(x) ritats.


a

Läs av funktionsvärdena f(0)f(0) och g(0)g(0).

b

Lös ekvationen g(x)=6g(x) = 6 grafiskt.

c

Lös ekvationen f(x)=g(x)f(x) = g(x) grafiskt.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Uppskatta med hjälp av värdetabellen för vilket värde på xx som graferna till de linjära funktionerna f(x)f(x) och g(x)g(x) skär varandra.

xx f(x)f(x) g(x)g(x)
1 0 1.5
3 2 2.5
5 4 3.5
7 6 4.5


b

Rita för hand graferna till f(x)f(x) och g(x)g(x) i ett koordinatsystem och ange skärningspunkten.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen x2+x8=-6x^2+x-8=\text{-} 6 grafiskt med räknare.

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En ekonomiskt lagd matematiker brukar ofta åka taxi. Hon brukar växla mellan två olika taxibolag, Taxi Flopp och Taxi Galopp. Taxi Flopp har en grundkostnad på 50 kr och en kilometerkostnad på 12 kr, medan Taxi Galopp kostar 28 kr i grundavgift och 14 kr per kilometer. Hon sätter upp två funktioner som beskriver kostnaden för att åka med de olika bolagen: f(x)=12x+50g(x)=14x+28, f(x)=12x+50 \quad g(x)=14x+28, där xx är antal km och f(x)f(x) och g(x)g(x) anger kostnaden i kronor för Taxi Flopp respektive Taxi Galopp.


a

Gör en värdetabell för hand som visar de båda funktionernas yy-värden för xx-värdena 0,5,100, 5, 10 och 15.15. Rita sedan de båda graferna för hand i ett koordinatsystem.

b
Hur långt ska man åka för att det ska kosta lika mycket att åka med de olika bolagen?
2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Din mattelärare Axel Leifsson försöker lösa ekvationen x2+4=2x4 x^2+4=2x-4 men lyckas inte. Använd räknare för att grafiskt motivera varför det inte finns någon lösning.

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita de två funktionerna y1=2x5y_1=2x-5 och y2=-x+1y_2=\text{-} x+1 och lös olikheten 2x5-x+1 2x-5 \geq \text{-} x+1 grafiskt.

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I diagrammet kan man avläsa hur långt man färdas på en viss tid med farten 7070 km/h respektive 110110 km/h.

a

Bestäm hur lång tid det tar att åka 3030 km med farten 7070 km/h.

b

En sträcka tar 5050 min att köra med farten 110110 km/h. Hur mycket längre blir restiden med farten 7070 km/h?

Nationella provet VT02 MaA
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös olikheten x21>-x2+3x^2-1>\text{-} x^2+3 grafiskt.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Jack säger att detta är en linjär funktion. Rose säger att det inte är det. Hur kan de ha resonerat?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd grafen till y=f(x)y=f(x) för att bestämma för vilka xx olikheten 4<y<104 \lt y \lt 10 gäller. Svara med olikhetstecken.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet är grafen till funktionen y=-x3+8x+1y=\text{-} x^3+8x+1 ritad. Olikheten -4<-x3+8x+1<7\text{-}4<\text{-} x^3+8x+1<7 har tre heltalslösningar. Vilka?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita upp funktionerna f(x)=2x+2,f(x)=2x+2, g(x)=-0.5x+2.5g(x)=\text{-}0.5x+2.5 och h(x)=x2x+0.75.h(x)=x^2-x+0.75. Markera sedan för vilka xx som båda dessa olikheter är uppfyllda: x2x+0.75<2x+2-0.5x+2.5>x2x+0.75. \begin{aligned} &x^2-x+0.75<2x+2\\ &\text{-}0.5x+2.5>x^2-x+0.75.\\ \end{aligned}

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}