body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ toc.name }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ stepNode.name }}

{{ 'ml-toc-proceed' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

( Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

{{ 'ml-btn-show-less' | message }} {{ 'ml-btn-show-more' | message }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ ability.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

{{ 'ml-lesson-show-solutions' | message }}

{{ 'ml-lesson-show-hints' | message }}

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Koordinatgeometri

I koordinatgeometri löser man geometriska problem med hjälp av punkter och geometriska figurer i koordinatsystem. Beräknar man exempelvis avståndet eller mittpunkten mellan två punkter använder man sig av koordinatgeometri.

Regel

Avståndsformeln

För två punkter

(x_{1}, y_{1})

och

(x_{2}, y_{2})

i ett koordinatsystem kan avståndet mellan dem beräknas med avståndsformeln.

Bevis

Bevis för avståndsformeln

Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem (betecknas ofta $d$ ) kan ses som hypotenusan i en rätvinklig triangel där kateterna är de vågräta och lodräta avstånden mellan punkterna, alltså $Δ x$ och $Δ y .$

Enligt Pythagoras sats förhåller sig hypotenusan till kateterna som

d^{2} = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2},

där

Δ x

och

Δ y

är differensen mellan punkternas koordinater.

Δ x

är alltså

x_{2} - x_{1}

och

Δ y

är

y_{2} - y_{1}

. Detta sätts in i uttrycket och

d

löses ut för att få avståndsformeln.

d^{2} = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}

$Δ x = x_{2} - x_{1}$ , $Δ y = y_{2} - y_{1}$

d^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

$VL = HL$

d = \pm (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

$d > 0$

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

Eftersom $d$ är en sträcka är den alltid positiv. Därför är den negativa lösningen inte intressant.

Q.E.D.

Bestäm avståndet mellan punkterna med avståndsformeln

fullscreen

Beräkna avståndet mellan punkterna i koordinatsystemet.

Visa Lösning

För att bestämma avståndet mellan punkterna använder vi avståndsformeln. Vi börjar då med att läsa av koordinaterna för punkterna.

Punkterna ligger i koordinaterna $(- 6, - 4)$ och $(8, 8) .$ Vi sätter in dessa i avståndsformeln.

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

SubstitutePoints

Sätt in $(8, 8)$ & $(- 6, - 4)$

d = (8 - (- 6))^{2} + (8 - (- 4))^{2}

$a - (- b) = a + b$

d = 1 4^{2} + 1 2^{2}

Beräkna potens

d = 196 + 144

Förenkla termer

d = 340

Avståndet mellan punkterna är $340$ le.

Regel

Mittpunktsformeln

Mittpunkten $(x_{m}, y_{m})$ mellan två punkter, $(x_{1}, y_{1})$ och $(x_{2}, y_{2}),$ kan bestämmas med hjälp av mittpunktsformeln. Mittpunktens koordinater är medelvärdet av punkternas $x$ - respektive $y$ -koordinater.

Regel

x_{m} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2} och y_{m} = \frac{y _{1} + y _{2}}{2}

För att bestämma mittpunkten mellan två punkter kan man börja med att se sträckan $d$ mellan punkterna som hypotenusan i en rätvinklig triangel. Mittpunkten kommer då att halvera denna. Eftersom hypotenusan halveras kommer även de två kateterna att delas på hälften.

I koordinatsystemet kan avstånden i $x$ -led mellan punkterna $(- 3, - 2),$ mittpunkten $(x_{m}, y_{m})$ och $(5, 6)$ uttryckas som skillnaden mellan $x$ -koordinaterna.

Eftersom $(x_{m}, y_{m})$ är mittpunkt på den tänkta hypotenusan blir de två avstånden i $x$ -led, $x_{m} - (- 3)$ och $5 - x_{m},$ lika stora. Man kan därför sätta dessa lika för att få en ekvation som man kan lösa ut $x_{m}$ ur.

x_{m} - (- 3) = 5 - x_{m}

$VL + x_{m} = HL + x_{m}$

2 x_{m} - (- 3) = 5

$a - (- b) = a + b$

2 x_{m} + 3 = 5

$VL - 3 = HL - 3$

2 x_{m} = - 3 + 5

$VL / 2 = HL / 2$

x_{m} = \frac{- 3 + 5}{2}

Med mittpunktsformeln blir

x

-koordinaten

x_{m} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2} = \frac{- 3 + 5}{2},

dvs. samma som med resonemanget ovan. På motsvarande sätt kan man motivera att mittpunkten i

y

-led är

y_{m} = \frac{y _{1} + y _{2}}{2} .

Bestäm mittpunkten mellan punkterna

fullscreen

Bestäm koordinaterna för den punkt som ligger mittemellan punkterna.

Visa Lösning

Vi använder oss av mittpunktsformeln. Då måste vi först läsa av punkternas koordinater.

Punkterna ligger i koordinaterna $(- 6, 4)$ och $(6, - 8) .$ Nu kan vi använda formeln för att bestämma mittpunktens koordinater $x_{m}$ och $y_{m} .$

x_{m} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}

$x_{1} = - 6$ , $x_{2} = 6$

x_{m} = \frac{- 6 + 6}{2}

Förenkla termer

x_{m} = \frac{0}{2}

Beräkna kvot

x_{m} = 0

Mittpunktens $x$ -koordinat är $0 .$

y_{m} = \frac{y _{1} + y _{2}}{2}

$y_{1} = 4$ , $y_{2} = - 8$

y_{m} = \frac{4 + ( - 8 )}{2}

$a + (- b) = a - b$

y_{m} = \frac{4 - 8}{2}

Förenkla termer

y_{m} = \frac{- 4}{2}

Beräkna kvot

y_{m} = - 2

Mittpunktens $y$ -koordinat är $- 2$ . Mittpunkten har alltså koordinaterna $(0, - 2) .$

{{ grade.displayTitle }}