Många geometriska problem kan lösas med hjälp av punkter och geometriska figurer som ritats in i koordinatsystem. Exempelvis kan avståndet och mittpunkten mellan två punkter bestämmas med hjälp av deras koordinater.
Regel
Avstånds- och mittpunktsformlerna
För två punkter (x1,y1) och (x2,y2) i ett koordinatsystem kan avståndet, d, mellan dem beräknas med avståndsformeln.
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Mittpunkten, (xm,ym), mellan samma punkter bestämmer man med mittpunktsformeln.
xm=2x1+x2ochym=2y1+y2
Exempel
Bestäm avståndet och mittpunkten mellan punkterna
Uppgift
Beräkna avståndet mellan punkterna. Bestäm också mittpunktens koordinater. Avrunda till två decimaler.
I dataspelet Guldjakten står Dogge och Dagge i röda punkten och ska så fort som möjligt fånga guldklimpen på andra sidan det rektangulära huset. De springer lika snabbt så det gäller att välja den kortaste vägen. Dogge väljer att springa genom huset medan Dagge springer runt huset.
Marken i dataspelet är lagd ovanpå ett koordinatsystem. Den röda punkten har koordinaterna (0,1.1), guldklimpen har koordinaterna (6.6,5.1) och husets nedre högra hörn har koordinaterna (6.6,1.1). Hur mycket längre måste Dagge springa jämfört med Dogge? Ange svaret med en decimals noggrannhet.
Dogges sträcka är avståndet mellan koordinaterna (0,1.1) och (6.6,5.1). Sätter vi in dessa i avståndsformeln kan vi beräkna hur långt han springer.
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Sätt in (0,1.1) & (6.6,5.1)
d=(0−6.6)2+(1.1−5.1)2
Förenkla termer
d=(-6.6)2+(-4)2
Vi slår nu in detta uttryck på miniräknaren. Vi trycker då på 2 (2nd+x2) och därefter skriver vi in uttrycket precis som det står ovan, inklusive parenteserna. Vi avslutar också med en högerparentes eftersom det automatiskt skrivs in en vänsterparentes när ett rottecken skrivs in.
Vi avrundar till en decimal och konstaterar att Dogge springer ca 7.7 längdenheter. För att bestämma hur långt Dagge springer behöver vi veta längden på husets lång- och kortsida. Långsidan är skillnaden i x-led mellan koordinaterna och kortsidan är skillnaden i y-led:
x-led:y-led:6.6−0=6.6 m5.1−1.1=4 m.
Dagge springer därför 6.6+4=10.6 längdenheter totalt vilket är 10.6−7.7=2.9 enheter längre än Dogge.