Avstånds- och mittpunktsformlerna

Start
Kapitel
Kursöversikt Elever Lärare
Studieläge
Avsluta studieläge
Support
Logga in Logga ut

Start
Kapitel
Kursöversikt
Studieläge
Avsluta studieläge
Support
Logga in Logga ut

Start
Kapitel
Översikt
Studieläge
Avsluta studieläge
Support
Logga in Logga ut

Många geometriska problem kan lösas med hjälp av punkter och geometriska figurer som ritats in i koordinatsystem. Exempelvis kan avståndet och mittpunkten mellan två punkter bestämmas med hjälp av deras koordinater.

Regel

För två punkter $(x_1, y_1)$ och $(x_2, y_2)$ i ett koordinatsystem kan avståndet, $d,$ mellan dem beräknas med avståndsformeln.

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }

Mittpunkten, $(x_m, y_m),$ mellan samma punkter bestämmer man med mittpunktsformeln.

x_m = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \quad \text{och} \quad y_m = \dfrac{y_1 + y_2}{2}

Bestäm avståndet och mittpunkten mellan punkterna

Uppgift

Beräkna avståndet mellan punkterna. Bestäm också mittpunktens koordinater. Avrunda till två decimaler.

Lösning

Vi börjar med att läsa av punkternas koordinater.

De är $(\text{-}6,4)$ och $(6,\text{-}8).$

Exempel

Avståndet

Vi sätter in koordinaterna i avståndsformeln.

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }

Sätt in

\left({\color{#0000FF}{\text{-}6,4}}\right)

\left({\color{#009600}{6,\text{-}8}}\right)

d = \sqrt{\left({\color{#0000FF}{\text{-}6}}-{\color{#009600}{6}}\right)^2 + \left({\color{#0000FF}{4}}-\left({\color{#009600}{\text{-}8}}\right)\right)^2}

Förenkla termer

d=\sqrt{(\text{-}12)^2+(4-(\text{-}8))^2}

a-(\text{-} b)=a+b

d=\sqrt{(\text{-}12)^2+12^2}

Beräkna potens

d=\sqrt{144+144}

Förenkla termer

d=\sqrt{288}

Slå in på räknare

d=16.97056\ldots

Avrunda till

2

d\approx16.97

Avståndet mellan punkterna är alltså cirka 16.97 le.

Exempel

Mittpunkten

Nu använder vi mittpunktsformeln för

x

- och

y

-koordinaterna.

x_m=\dfrac{x_1+x_2}{2}

x_1={\color{#0000FF}{\text{-}6}}

x_2={\color{#009600}{6}}

x_m=\dfrac{{\color{#0000FF}{\text{-}6}}+{\color{#009600}{6}}}{2}

Förenkla termer

x_m=\dfrac{0}{2}

Beräkna kvot

x_m=0

x

-koordinaten för mittpunkten är

0.

Nu beräknar vi

y

-koordinaten.

y_m=\dfrac{y_1+y_2}{2}

y_1={\color{#0000FF}{4}}

y_2={\color{#009600}{\text{-}8}}

y_m=\dfrac{{\color{#0000FF}{4}}+({\color{#009600}{\text{-}8}})}{2}

a+(\text{-} b)=a-b

y_m=\dfrac{\text{-}4}{2}

Beräkna kvot

y_m=\text{-}2

Mittpunkten är alltså $(0,\text{-}2).$

Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1

Vad är avståndet mellan punkterna?

$(3,5)$ och $(7,8)$

$(\text{-} 3, 7)$ och $(5, 1)$

Bestäm de markerade avstånden mellan punkterna i koordinatsystemet. Om det behövs, avrunda till två decimaler.

Sträcka (A).

Sträcka (B).

Sträcka (C).

Sträcka (D).

Vad är avståndet mellan punkterna? Svara både exakt och med två decimaler.

$(12,6)$ och $(6,2)$

$(8,10)$ och $(1,\text{-} 5)$

Bestäm mittpunkten mellan punkterna.

$(2,3)$ och $(6,7)$

$(11, 9)$ och $(5, 15)$

$(2, 2)$ och $(\text{-} 6, 10)$

Bestäm mittpunkten mellan punkterna.

$(\text{-} 3, 4)$ och $(4, 3)$

$(\text{-} 6, 3)$ och $(\text{-} 6, \text{-} 8)$

$(\text{-} 10, 8)$ och $(10, \text{-} 8)$

Bestäm avståndet mellan punkterna.

$A=(2,2)$ och $B=(2,10)$

$C=(5,4)$ och $D=(9,4)$

Vad är triangelns omkrets? Koordinaterna anges i cm. Svara med en decimal.

Bestäm avståndet från punkten $(3, \text{-} 1)$ till mittpunkten mellan $(3,3)$ och $(\text{-} 5,3).$ Svara med två decimaler.

I dataspelet Guldjakten står Dogge och Dagge i röda punkten och ska så fort som möjligt fånga guldklimpen på andra sidan det rektangulära huset. De springer lika snabbt så det gäller att välja den kortaste vägen. Dogge väljer att springa genom huset medan Dagge springer runt huset.

Marken i dataspelet är lagd ovanpå ett koordinatsystem. Den röda punkten har koordinaterna $(0,1.1)$ , guldklimpen har koordinaterna $(6.6,5.1)$ och husets nedre högra hörn har koordinaterna $(6.6,1.1)$ . Hur mycket längre måste Dagge springa jämfört med Dogge? Ange svaret med en decimals noggrannhet.

Nivå 2

En triangel $ABC$ har hörn i punkterna $A: (\text{-} 2,2), \quad B: (6,6) \quad \text{och} \quad C: (\text{-} 6, 10).$

Rita triangeln i ett koordinatsystem.

Avgör om triangeln är rätvinklig.

Vad är avståndet mellan $(4,f(4))$ och $(7,f(7))$ om $f(x) = 2x + 3?$ Svara med en decimal.

En sträcka går mellan punkterna $(\text{-} 20, 5)$ och $(32, 17).$ Vilka tre punkter delar in sträckan i fyra lika långa delsträckor?

Sträckorna $d_1$ och $d_2$ är lika långa. Bestäm $a$ exakt.

Bestäm ett uttryck för mittpunktens koordinater mellan punkterna $(a - 3, 7a)$ och $(3 - a, 35a),$ där $a$ är en konstant.

Nivå 3

Beräkna avståndet mellan punkterna $A$ och $B.$ Svara exakt.

På linjen $y = 2x$ finns en punkt $P$ vars avstånd till origo är $24$ längdenheter. Beräkna punkten $P$ :s $x$ -koordinat, $x > 0.$

Nationella provet HT98 MaB

En cirkel med radien $4$ le. är inskriven i ett koordinatsystem. En godtycklig punkt $(x,y)$ på cirkelns rand är markerad.

Visa att sambandet $x^2 + y^2 = 16$ gäller.

Två tåg åker lika snabbt mot varandra på en raksträcka i närheten av Norrköping. Det ena tåget befinner sig $58$ km norr och $22$ km väster om Norrköping samtidigt som det andra tåget befinner sig $36$ km öster och $10$ km söder om staden. Vad är avståndet från Norrköping när de två tågen möts?

En cirkel med radien $a$ tangerar de positiva koordinataxlarna. Den tangerar även en mindre cirkel som har mittpunkten i origo. Se figur.

Visa att den mindre cirkelns radie är $a\left(\sqrt{2}-1\right)$ le..

Nationella provet VT15 2a/2b/2c

Nivå 4

Figuren visar en rätvinklig triangel, bildad av de två punkterna med koordinaterna $A=(0,0)$ och $B=(4,8)$ samt punkten $C.$ Bestäm koordinaterna för punkten $C,$ givet att hypotenusan har längden $10$ och $AC$ har längden $\sqrt{20}.$

Den markerade sträckan visar det minsta avståndet mellan punkten $A=(5,6)$ och den räta linjen $y=3x+5.$ Vilka är koordinaterna till punkten $B$ ?

Test



{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!



Uppgiftstext

Stäng

Dogges sträcka är avståndet mellan koordinaterna

(0,1.1)

och

(6.6,5.1).

Sätter vi in dessa i avståndsformeln kan vi beräkna hur långt han springer.

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }

Sätt in

\left({\color{#0000FF}{0,1.1}}\right)

\left({\color{#009600}{6.6,5.1}}\right)

d = \sqrt{\left({\color{#0000FF}{0}}-{\color{#009600}{6.6}}\right)^2 + \left({\color{#0000FF}{1.1}}-{\color{#009600}{5.1}}\right)^2}

Förenkla termer

d=\sqrt{(\text{-}6.6)^2+(\text{-}4)^2}

Vi slår nu in detta uttryck på miniräknaren. Vi trycker då på

\sqrt{\phantom{2}}

(2nd+

x^2

) och därefter skriver vi in uttrycket precis som det står ovan, inklusive parenteserna. Vi avslutar också med en högerparentes eftersom det automatiskt skrivs in en vänsterparentes när ett rottecken skrivs in.

Vi avrundar till en decimal och konstaterar att Dogge springer ca $7.7$ längdenheter. För att bestämma hur långt Dagge springer behöver vi veta längden på husets lång- och kortsida. Långsidan är skillnaden i $x$ -led mellan koordinaterna och kortsidan är skillnaden i $y$ -led: $\begin{aligned} \mathbf{x\text{-}led:}& \ 6.6-0=6.6 \text{ m}\\ \mathbf{y\text{-}led:}& \ 5.1-1.1=4 \text{ m.} \end{aligned}$ Dagge springer därför $6.6+4=10.6$ längdenheter totalt vilket är $10.6-7.7=2.9$ enheter längre än Dogge.

Verktyg

build

Avstånds- och mittpunktsformlerna

{{ 'ml-heading-theory' | message }}