Avstånds- och mittpunktsformlerna

Många geometriska problem kan lösas med hjälp av punkter och geometriska figurer som ritats in i koordinatsystem. Exempelvis kan avståndet och mittpunkten mellan två punkter bestämmas med hjälp av deras koordinater.

Regel

Avstånds- och mittpunktsformlerna

För två punkter $(x_1, y_1)$ och $(x_2, y_2)$ i ett koordinatsystem kan avståndet, $d,$ mellan dem beräknas med avståndsformeln.

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }

Mittpunkten, $(x_m, y_m),$ mellan samma punkter bestämmer man med mittpunktsformeln.

x_m = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \quad \text{och} \quad y_m = \dfrac{y_1 + y_2}{2}

Bestäm avståndet och mittpunkten mellan punkterna

Uppgift

Beräkna avståndet mellan punkterna. Bestäm också mittpunktens koordinater. Avrunda till två decimaler.

Lösning

Vi börjar med att läsa av punkternas koordinater.

De är $(\text{-}6,4)$ och $(6,\text{-}8).$

Exempel

Avståndet

Vi sätter in koordinaterna i avståndsformeln.

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }

Sätt in

\left({\color{#0000FF}{\text{-}6,4}}\right)

&

\left({\color{#009600}{6,\text{-}8}}\right)

d = \sqrt{\left({\color{#0000FF}{\text{-}6}}-{\color{#009600}{6}}\right)^2 + \left({\color{#0000FF}{4}}-\left({\color{#009600}{\text{-}8}}\right)\right)^2}

Förenkla termer

d=\sqrt{(\text{-}12)^2+(4-(\text{-}8))^2}

a-(\text{-} b)=a+b

d=\sqrt{(\text{-}12)^2+12^2}

Beräkna potens

d=\sqrt{144+144}

Förenkla termer

d=\sqrt{288}

Slå in på räknare

d=16.97056\ldots

Avrunda till

2

d\approx16.97

Avståndet mellan punkterna är alltså cirka 16.97 le.

Exempel

Mittpunkten

Nu använder vi mittpunktsformeln för

x

- och

y

-koordinaterna.

x_m=\dfrac{x_1+x_2}{2}

x_1={\color{#0000FF}{\text{-}6}}

,

x_2={\color{#009600}{6}}

x_m=\dfrac{{\color{#0000FF}{\text{-}6}}+{\color{#009600}{6}}}{2}

Förenkla termer

x_m=\dfrac{0}{2}

Beräkna kvot

x_m=0

x

-koordinaten för mittpunkten är

0.

Nu beräknar vi

y

-koordinaten.

y_m=\dfrac{y_1+y_2}{2}

y_1={\color{#0000FF}{4}}

,

y_2={\color{#009600}{\text{-}8}}

y_m=\dfrac{{\color{#0000FF}{4}}+({\color{#009600}{\text{-}8}})}{2}

a+(\text{-} b)=a-b

y_m=\dfrac{\text{-}4}{2}

Beräkna kvot

y_m=\text{-}2

Mittpunkten är alltså $(0,\text{-}2).$

Visa lösning

Avstånds- och mittpunktsformlerna

{{ 'ml-heading-theory' | message }}