Avstånds- och mittpunktsformlerna

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Många geometriska problem kan lösas med hjälp av punkter och geometriska figurer som ritats in i koordinatsystem. Exempelvis kan avståndet och mittpunkten mellan två punkter bestämmas med hjälp av deras koordinater.

Regel

Avstånds- och mittpunktsformlerna

För två punkter (x1,y1)(x_1, y_1) och (x2,y2)(x_2, y_2) i ett koordinatsystem kan avståndet, d,d, mellan dem beräknas med avståndsformeln.

d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }

Mittpunkten, (xm,ym),(x_m, y_m), mellan samma punkter bestämmer man med mittpunktsformeln.

xm=x1+x22ochym=y1+y22x_m = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \quad \text{och} \quad y_m = \dfrac{y_1 + y_2}{2}
Uppgift

Beräkna avståndet mellan punkterna. Bestäm också mittpunktens koordinater. Avrunda till två decimaler.


Lösning

Vi börjar med att läsa av punkternas koordinater.

De är (-6,4)(\text{-}6,4) och (6,-8).(6,\text{-}8).

Exempel

Avståndet

Vi sätter in koordinaterna i avståndsformeln.
d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
d=(-66)2+(4(-8))2d = \sqrt{\left({\color{#0000FF}{\text{-}6}}-{\color{#009600}{6}}\right)^2 + \left({\color{#0000FF}{4}}-\left({\color{#009600}{\text{-}8}}\right)\right)^2}
d=(-12)2+(4(-8))2d=\sqrt{(\text{-}12)^2+(4-(\text{-}8))^2}
d=(-12)2+122d=\sqrt{(\text{-}12)^2+12^2}
d=144+144d=\sqrt{144+144}
d=288d=\sqrt{288}
d=16.97056d=16.97056\ldots
d16.97d\approx16.97

Avståndet mellan punkterna är alltså cirka 16.97 le.

Exempel

Mittpunkten

Nu använder vi mittpunktsformeln för xx- och yy-koordinaterna.
xm=x1+x22x_m=\dfrac{x_1+x_2}{2}
x1=-6x_1={\color{#0000FF}{\text{-}6}}, x2=6x_2={\color{#009600}{6}}
xm=-6+62x_m=\dfrac{{\color{#0000FF}{\text{-}6}}+{\color{#009600}{6}}}{2}
xm=02x_m=\dfrac{0}{2}
xm=0x_m=0
xx-koordinaten för mittpunkten är 0.0. Nu beräknar vi yy-koordinaten.
ym=y1+y22y_m=\dfrac{y_1+y_2}{2}
y1=4y_1={\color{#0000FF}{4}}, y2=-8y_2={\color{#009600}{\text{-}8}}
ym=4+(-8)2y_m=\dfrac{{\color{#0000FF}{4}}+({\color{#009600}{\text{-}8}})}{2}
ym=-42y_m=\dfrac{\text{-}4}{2}
ym=-2y_m=\text{-}2

Mittpunkten är alltså (0,-2).(0,\text{-}2).

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är avståndet mellan punkterna?

a

(3,5)(3,5) och (7,8)(7,8)

b

(-3,7)(\text{-} 3, 7) och (5,1)(5, 1)

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de markerade avstånden mellan punkterna i koordinatsystemet. Om det behövs, avrunda till två decimaler.


a

Sträcka (A).

b

Sträcka (B).

c

Sträcka (C).

d

Sträcka (D).

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är avståndet mellan punkterna? Svara både exakt och med två decimaler.

a

(12,6)(12,6) och (6,2)(6,2)

b

(8,10)(8,10) och (1,-5)(1,\text{-} 5)

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm mittpunkten mellan punkterna.

a

(2,3)(2,3) och (6,7)(6,7)

b

(11,9)(11, 9) och (5,15)(5, 15)

c

(2,2)(2, 2) och (-6,10)(\text{-} 6, 10)

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm mittpunkten mellan punkterna.

a

(-3,4)(\text{-} 3, 4) och (4,3)(4, 3)

b

(-6,3)(\text{-} 6, 3) och (-6,-8)(\text{-} 6, \text{-} 8)

c

(-10,8)(\text{-} 10, 8) och (10,-8)(10, \text{-} 8)

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm avståndet mellan punkterna.


a

A=(2,2)A=(2,2) och B=(2,10)B=(2,10)

b

C=(5,4)C=(5,4) och D=(9,4)D=(9,4)

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är triangelns omkrets? Koordinaterna anges i cm. Svara med en decimal.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm avståndet från punkten (3,-1)(3, \text{-} 1) till mittpunkten mellan (3,3)(3,3) och (-5,3).(\text{-} 5,3). Svara med två decimaler.

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I dataspelet Guldjakten står Dogge och Dagge i röda punkten och ska så fort som möjligt fånga guldklimpen på andra sidan det rektangulära huset. De springer lika snabbt så det gäller att välja den kortaste vägen. Dogge väljer att springa genom huset medan Dagge springer runt huset.

hus avståndsformeln

Marken i dataspelet är lagd ovanpå ett koordinatsystem. Den röda punkten har koordinaterna (0,1.1)(0,1.1), guldklimpen har koordinaterna (6.6,5.1)(6.6,5.1) och husets nedre högra hörn har koordinaterna (6.6,1.1)(6.6,1.1). Hur mycket längre måste Dagge springa jämfört med Dogge? Ange svaret med en decimals noggrannhet.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En triangel ABCABC har hörn i punkterna A:(-2,2),B:(6,6)ochC:(-6,10). A: (\text{-} 2,2), \quad B: (6,6) \quad \text{och} \quad C: (\text{-} 6, 10).

a

Rita triangeln i ett koordinatsystem.

b

Avgör om triangeln är rätvinklig.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är avståndet mellan (4,f(4))(4,f(4)) och (7,f(7))(7,f(7)) om f(x)=2x+3?f(x) = 2x + 3? Svara med en decimal.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En sträcka går mellan punkterna (-20,5)(\text{-} 20, 5) och (32,17).(32, 17). Vilka tre punkter delar in sträckan i fyra lika långa delsträckor?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sträckorna d1d_1 och d2d_2 är lika långa. Bestäm aa exakt.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm ett uttryck för mittpunktens koordinater mellan punkterna (a3,7a)(a - 3, 7a) och (3a,35a),(3 - a, 35a), där aa är en konstant.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna avståndet mellan punkterna AA och B.B. Svara exakt.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På linjen y=2xy = 2x finns en punkt PP vars avstånd till origo är 2424 längdenheter. Beräkna punkten PP:s xx-koordinat, x>0.x > 0.

Rät linje med en utritad punkt
Nationella provet HT98 MaB
3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En cirkel med radien 44 le. är inskriven i ett koordinatsystem. En godtycklig punkt (x,y)(x,y) på cirkelns rand är markerad.

Visa att sambandet x2+y2=16x^2 + y^2 = 16 gäller.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två tåg åker lika snabbt mot varandra på en raksträcka i närheten av Norrköping. Det ena tåget befinner sig 5858 km norr och 2222 km väster om Norrköping samtidigt som det andra tåget befinner sig 3636 km öster och 1010 km söder om staden. Vad är avståndet från Norrköping när de två tågen möts?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En cirkel med radien aa tangerar de positiva koordinataxlarna. Den tangerar även en mindre cirkel som har mittpunkten i origo. Se figur.

Visa att den mindre cirkelns radie är a(21)a\left(\sqrt{2}-1\right) le..

Nationella provet VT15 2a/2b/2c
Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar en rätvinklig triangel, bildad av de två punkterna med koordinaterna A=(0,0)A=(0,0) och B=(4,8)B=(4,8) samt punkten C.C. Bestäm koordinaterna för punkten C,C, givet att hypotenusan har längden 1010 och ACAC har längden 20.\sqrt{20}.

4.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den markerade sträckan visar det minsta avståndet mellan punkten A=(5,6)A=(5,6) och den räta linjen y=3x+5.y=3x+5. Vilka är koordinaterna till punkten BB?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}