Areasatsen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Teori

Triangelsatserna

De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens är definierade utifrån, och används ofta i samband med, rätvinkliga trianglar. Men är de även användbara för godtyckliga trianglar?

Ja, genom att använda definitionerna för sinus och cosinus kan man härleda satser för att bestämma area, vinklar och sidor för en godtycklig triangel. Dessa brukar kallas för triangelsatserna: areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen.
Regel

Areasatsen

Om man känner till en triangels bas och höjd kan man bestämma dess area med hjälp av areaformeln för en triangel. Ibland känner man dock inte till höjden, men om man vet två sidlängder och den mellanliggande vinkeln kan man använda areasatsen.

Area=absin(C)2\text{Area}=\dfrac{ab\sin(C)}{2}

I formeln är aa och bb sidlängder i triangeln och CC är den vinkel som ligger mellan dem.

Det går bra att använda vilket par av sidlängder som helst så länge man känner till den mellanliggande vinkeln. Om man t.ex. känner till sidorna bb och cc i triangeln måste man känna till vinkeln A.A.

Bevis

Areasatsen

Arean av en triangel bestäms vanligtvis med formeln A=bh2,A = \frac{bh}{2}, där bb är bredden på triangeln och hh är höjden. Även areasatsen bygger på denna formel, men hh bestäms med trigonometri. Beviset måste göras för två fall eftersom den mellanliggande vinkeln antingen kan vara spetsig eller trubbig.

Bevis

Mellanliggande vinkel är spetsig

Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar, där den ena har sidan aa som hypotenusa.

Då kan man med hjälp av definitionen av sinus ställa upp ett uttryck för höjden h.h.
sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}
sin(C)=ha\sin(C)=\dfrac{h}{a}
asin(C)=ha\sin(C)=h
h=asin(C)h=a\sin(C)
Man ersätter sedan hh i formeln A=bh2A=\frac{bh}{2} med detta uttryck.
A=bh2A=\dfrac{bh}{2}
A=basin(C)2A=\dfrac{b\cdot {\color{#0000FF}{a\sin(C)}}}{2}
A=absin(C)2A=\dfrac{ab\sin(C)}{2}
Detta är areasatsen.
Bevis

Mellanliggande vinkel är trubbig

CC är trubbig bevisas areasatsen lite annorlunda. Genom att förlänga triangelns bas och markera höjden hh vinkelrätt mot den förlängda basen bildas en rätvinklig triangel.


Sidovinkeln till C,C, som är 180C,180^\circ - C, utgör en av vinklarna i den nya triangel som skapats. Utgår man från denna vinkel får man, enligt definitionen för sinus, sin(180C)=ha. \sin(180^\circ-C)=\dfrac{h}{a}. Med hjälp av sambandet sin(180v)=sin(v)\sin(180^\circ-v)=\sin(v) kan man visa att även detta går att skriva om till areasatsen.

sin(180C)=ha\sin(180^\circ-C)=\dfrac{h}{a}
sin(C)=ha\sin(C)=\dfrac{h}{a}
asin(C)=ha \sin(C)=h
Man ersätter sedan hh i formeln A=bh2A=\frac{bh}{2} med detta uttryck på samma sätt som tidigare.
A=bh2A=\dfrac{bh}{2}
A=basin(C)2A=\dfrac{b\cdot {\color{#0000FF}{a\sin(C)}}}{2}
A=absin(C)2A=\dfrac{ab\sin(C)}{2}
Q.E.D.
Uppgift

Bestäm triangelns area. Avrunda till en decimal.

Lösning
Vi känner inte till någon höjd i triangeln. Däremot vet vi två av sidorna, 33 och 4,4, samt dess mellanliggande vinkel 7272^\circ. Det betyder att vi kan använda areasatsen för att bestämma triangelns area.
Area=absin(C)2\text{Area}=\dfrac{ab\sin(C)}{2}
Area=34sin(72)2\text{Area}=\dfrac{3\cdot 4\cdot \sin(72^\circ)}{2}
Area=32sin(72)\text{Area}=3\cdot 2 \cdot \sin(72^\circ)
Area=5.70633\text{Area}=5.70633\ldots
Area5.7\text{Area} \approx 5.7
Triangelns area är ca 5.75.7 ae.
Visa lösning Visa lösning
Uppgift

För en triangel ABCABC gäller det att sidan AB=13.8AB=13.8 cm, sidan BC=7.8BC=7.8 cm och att arean är 45.545.5 cm2.^2. Hur stor kan vinkel BB vara som ligger mellan sidorna ABAB och BCBC? Avrunda svaret till heltal.

Lösning
Eftersom vi känner till arean för triangeln samt längden på sidorna omkring den vinkel vi ska bestämma kan vi använda areasatsen. Vi sätter in de kända värdena i satsen och löser sedan ut vinkel B.B.
Area=absin(C)2\text{Area}=\dfrac{ab\sin(C)}{2}
45.5=13.87.8sin(B)245.5=\dfrac{13.8\cdot7.8\sin(B)}{2}
45.5=107.64sin(B)245.5=\dfrac{107.64\sin(B)}{2}
45.5=53.82sin(B)45.5=53.82\sin(B)
53.82sin(B)=45.553.82\sin(B)=45.5
sin(B)=45.553.82\sin(B)=\dfrac{45.5}{53.82}
B=arcsin(45.553.82)B=\arcsin\left(\dfrac{45.5}{53.82}\right)
B=57.71595B=57.71595\ldots^\circ
B58B \approx 58^\circ
Vinkel BB kan alltså vara ca 58.58^\circ. Vi måste dock komma ihåg att det enligt sambandet sin(v)=sin(180v)\sin(v)=\sin(180^\circ-v) alltid finns 22 vinklar på intervallet 0v1800^\circ\leq v\leq180^\circ med samma sinusvärde. Vi bestämmer därför även vinkeln 180B180^\circ-B: 18058=122. 180^\circ-58^\circ=122^\circ. Den mellanliggande vinkeln BB kan alltså vara antingen 5858^\circ eller 122.122^\circ.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}