Areasatsen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Teori

Triangelsatserna

De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens är definierade utifrån, och används ofta i samband med, rätvinkliga trianglar. Men är de även användbara för godtyckliga trianglar?

Ja, genom att använda definitionerna för sinus och cosinus kan man härleda satser för att bestämma area, vinklar och sidor för en godtycklig triangel. Dessa brukar kallas för triangelsatserna: areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen.
Regel

Areasatsen

Om man känner till en triangels bas och höjd kan man bestämma dess area med hjälp av areaformeln för en triangel. Ibland känner man dock inte till höjden, men om man vet två sidlängder och den mellanliggande vinkeln kan man använda areasatsen.

Area=absin(C)2\text{Area}=\dfrac{ab\sin(C)}{2}

I formeln är aa och bb sidlängder i triangeln och CC är den vinkel som ligger mellan dem.

Det går bra att använda vilket par av sidlängder som helst så länge man känner till den mellanliggande vinkeln. Om man t.ex. känner till sidorna bb och cc i triangeln måste man känna till vinkeln A.A.

Bevis

Areasatsen
Uppgift

Bestäm triangelns area. Avrunda till en decimal.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

För en triangel ABCABC gäller det att sidan AB=13.8AB=13.8 cm, sidan BC=7.8BC=7.8 cm och att arean är 45.545.5 cm2.^2. Hur stor kan vinkel BB vara som ligger mellan sidorna ABAB och BCBC? Avrunda svaret till heltal.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm trianglarnas areor. Avrunda till en decimal.

a


b


c
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm trianglarnas areor. Avrunda till en decimal.

a


b
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Bestäm vinkel vv då det är givet att triangelns area är 4.944.94 ae. Figuren är skalenlig. Avrunda till närmaste heltal.



b

Bestäm vinkel uu då det är givet att triangelns area är 2.222.22 ae. Figuren är skalenlig. Avrunda till närmaste heltal.


1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm arean av fyrhörningen. Avrunda till en decimal.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En liksidig triangel har sidorna 55 cm. Bestäm dess area. Avrunda till en decimal.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en likbent triangel är de lika långa sidorna 66 cm. Figuren är skalenlig.

Vad är vinkeln mellan de lika långa sidorna om triangelns area är 9 cm2?^2?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm triangelns sidlängder givet att dess area är 1616 cm2.^2.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm sidorna xx och x+5x+5 i triangeln så att den får arean 66 cm2^2.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur stor kan A\wedge A i triangeln ABCABC vara om triangelns area är 66 cm2,^2, sidan AB=3AB=3 cm och sidan AC=8AC=8 cm?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Går det att bestämma värdet på vinkeln vv så att triangelns area blir 1212 cm2^2? Motivera!

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Gigliolas studsmatta har fått en stor reva och hon bestämmer sig för att sätta fast en ny matta på sin cirkulära studsmatteställning. Hon köper ett cirkulärt tygstycke med samma diameter som ställningen. För att sedan kunna montera den ska man enligt instruktionerna klippa bort delar på kanterna så att tyget blir en regelbunden niohörning.

Den totala arean av de bortklippta bitarna är 0.90.9 m2^2. Bestäm med hjälp av denna information studsmattans area. Avrunda till en decimal.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den röda triangeln har arean 33 ae.

Anton ska bestämma vinkeln mellan de kända sidorna och gör då följande uträkning.

Anton tittar på sin lösning och kliar sig lite i huvudet. Han räcker upp handen och när läraren kommer säger han att vinkeln i triangeln ser ut att vara mycket större än den han räknade ut. Hans lärare som är lite stressad säger att det är nog bara boken som har ritat triangeln fel. Kan man ge Anton ett bättre svar?

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilken storlek på vinkel vv är det blå områdets area 179179 ae.? Figuren är skalenlig. Avrunda till närmaste heltal.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är det största värdet som triangelns area kan anta?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm triangelns okända sidor om triangelns omkrets är 1111 cm och dess area är 3.83.8 cm2^2. Avrunda till heltal.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}