Andragradsekvationer och antal lösningar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Lösningarna till en andragradsekvation på formen ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 kan tolkas grafiskt som nollställen till andragradsfunktionen y=ax2+bx+c. y=ax^2+bx+c. Om funktionen har två nollställen har ekvationen ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 två lösningar, och har funktionen ett nollställe har ekvationen en lösning (även kallad dubbelrot). Saknar funktionen nollställen har ekvationen inga reella lösningar.

Två nollställen

Ett nollställe

Inga nollställen

Med hjälp av pqpq-formeln kan man avöra antalet lösningar till en andragradsfunktion genom att bestämma tecknet på diskriminanten, dvs. det som står under rottecknet i pqpq-formeln: (p2)2q. \left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q. Är diskriminanten positiv har ekvationen två lösningar. Är den 00 har ekvationen en lösning, och är den negativ får man kvadratroten ur ett negativt tal vilket innebär att det saknas reella lösningar.

Antal lösningar till andragradsekvation
Uppgift

Avgör hur många reella lösningar ekvationerna har utan att faktiskt bestämma rötterna: x22x+9=0ochx24x+4=0. x^2-2x+9=0 \quad \text{och} \quad x^2-4x+4=0.

Lösning

Vi tittar på en ekvation i taget.

Exempel

x22x+9=0x^2-2x+9=0

Man kan avgöra antalet lösningar till ekvationen genom att undersöka diskriminanten, alltså det som står under rottecknet i pqpq-formeln.
x22x+9=0x^2-2x+9=0
x=--22±(-22)29x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}2}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}2}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{9}}}

Beroende på diskriminantens tecken kan vi avgöra om ekvationen har två, en eller inga reella rötter. Vi beräknar värdet.

(-22)29\left(\dfrac{\text{-}2}{2}\right)^2-9
(-1)29(\text{-}1)^2-9
191-9
-8\text{-} 8
Diskriminanten är negativ, så ekvationen har inga reella lösningar.
Exempel

x24x+4=0x^2-4x+4=0

Vi fortsätter likadant och ställer upp pqpq-formeln.
x24x+4=0x^2-4x+4=0
x=--42±(-42)24x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{4}}}
Nu tittar vi på uttrycket under rottecknet.
(-42)24\left(\dfrac{\text{-}4}{2}\right)^2-4
(-2)24(\text{-} 2)^2-4
444-4
00

Diskriminantens värde är 0,0, vilket betyder att ekvationen har en lösning. Det brukar kallas att ekvationen har en dubbelrot.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Icke-reella rötter till andragradsekvationer

Om en andragradsekvation saknar reella lösningar kan man uttrycka lösningarna som s.k. komplexa tal (betecknas ofta zz). För detta ändamål har man infört ett nytt tal: den imaginära enheten som betecknas i.i. Det definieras som det tal vars kvadrat är -1.\text{-}1.

i2=-1i^2=\text{-} 1

En följd av detta är att i=-1.i=\sqrt{\text{-}1}. Med detta kan man uttrycka roten ur alla negativa tal med hjälp av i.i. Har man löst en andragradsekvation och fått rötterna x=±-25,x = \pm \sqrt{\text{-}25}, kan man skriva -25\sqrt{\text{-}25} som ett imaginärt tal: -25=25i2=(5i)2=5i. \sqrt{\text{-}25}=\sqrt{25i^2}=\sqrt{(5i)^2}=5i. Ekvationens rötter är alltså x=±5i.x = \pm 5i. Denna typ av omskrivning kan formuleras som ett generellt samband som säger att kvadratroten ur ett negativt tal är roten ur talet multiplicerat med i.i.

-a=ai\sqrt{\text{-} a}=\sqrt{a} \cdot i

Villkor: a>0a \gt 0

Ett tal som är sammansatt av både en reell del och en imaginär del, t.ex. z=3+5iz = 3 + 5i kallas för ett komplext tal eftersom ordet komplex betyder sammansatt.
Uppgift

Lös ekvationen x2+16=0x^2+16=0.

Lösning
Detta är en enkel andragradsekvation, så vi löser ut x2x^2 och drar roten ur båda led.
x2+16=0x^2+16=0
x2=-16x^2=\text{-}16
x=±-16x=\pm\sqrt{\text{-}16}
Nu har vi kvadratroten ur ett negativt tal i högerledet, så rötterna blir imaginära.
x=±-16x=\pm\sqrt{\text{-}16}
-a=ai \sqrt{\text{-} a}= \sqrt{a}\cdot i
x=±16ix=\pm\sqrt{16}\cdot i
x=±4ix=\pm4i
Ekvationens lösningar är alltså x=-4ix=\text{-} 4i och x=4ix=4i.
Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Utför följande beräkningar: -36(8i)2(2+4i)+(1i) \sqrt{\text{-} 36} \quad \quad (8i)^2 \quad \quad (2+4i)+(1-i)

Lösning

Vi utför beräkningarna en i taget.

-36\underline{\mathbf{\sqrt{\text{-} 36}}}
Vi använder vanliga räknelagar samt definitionen av det imaginära talet ii för att förenkla.
-36\sqrt{\text{-} 36}
-a=ai \sqrt{\text{-} a}= \sqrt{a}\cdot i
36i\sqrt{36} \cdot i
6i6i
(8i)2\underline{\mathbf{(8i)^2}}
I nästa tal utnyttjar vi att i2i^2 är lika med -1.\text{-} 1.
(8i)2(8i)^2
(ab)c=acbc \left(a b\right)^{c}=a^c b^c
64i264i^2
i2=-1i^2=\text{-} 1
64(-1)64 \cdot (\text{-} 1)
-64\text{-}64
Kvadraten av ett imaginärt tal blir alltså ett negativt reellt tal. (2+4i)+(1i)\underline{\mathbf{(2+4i)+(1-i)}}
I sista talet adderar vi realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig.
(2+4i)+(1i)(2+4i)+(1-i)
2+4i+1i2+4i+1-i
2+1+4ii2+1+4i-i
3+3i3+3i
Svaren är alltså, i ordning: 6i-643+3i. 6i \qquad \text{-}64 \qquad 3+3i.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}