3. Andragradsekvationer
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
3.
Andragradsekvationer
Denna lektion fokuserar på att lösa andragradsekvationer och bestämma reella lösningar och rötter. Andragradsekvationer är ekvationer som innehåller en x^2-term men inga termer av högre grad. Dessa ekvationer kan ha noll, en eller två lösningar, och det finns flera metoder för att bestämma dem. För enkla andragradsekvationer finns det en specifik metod, medan mer komplicerade ekvationer kan lösas med hjälp av nollproduktmetoden, kvadratkomplettering eller pq-formeln. Lektionenen ger också en inblick i hur man löser ekvationer som endast innehåller x-termer och konstanttermer med hjälp av kvadratrötter. Genom att förstå dessa metoder kan du effektivt lösa andragradsekvationer i olika sammanhang.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 7 sidor teori |
| | 30 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Andragradsekvationer
Sida av 7
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Andragradsekvation
- Lösa enkla andragradsekvationer
- Nollproduktmetoden
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Identifiera ekvationer med reella lösningar
Tänk på tre andragradsekvationer. Vilka av ekvationerna har lösningar som är reella tal?
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Andragradsekvation
En andragradsekvation är en ekvation där det finns en x^2-term men inga termer av högre grad.
ax^2+bx+c=0
Villkor: a ≠ 0
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Lösa enkla andragradsekvationer
När en andragradsekvation endast innehåller x^2-termer och konstanttermer, t.ex. 5x^2-500=0, går den att lösa med hjälp av kvadratrötter. Denna metod kallas också för kvadratrotsmetoden.
1
Lös ut x^2
expand_more 2
Dra kvadratroten ur båda led
expand_more När x^2 står ensamt drar man kvadratroten ur båda led.
x^2 = 100 ⇒ sqrt(x^2) = sqrt(100)
Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv:
sqrt(x^2) = sqrt(100) ⇔ x= ± sqrt(100).
Kvadratroten ur 100 är 10, så ekvationens lösningar är x=-10 och x=10.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Lösa enkla andragradsekvationer
Lös följande enkla andragradsekvationer genom att ta kvadratrötter. Om det behövs, avrunda lösningarna till två decimaler.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Nollproduktmetoden
Om en ekvation är skriven som en produkt och är lika med 0 kan den lösas med hjälp av nollproduktmetoden. T.ex. kan ekvationen (3x-9)(x+5)=0 lösas med denna metod, vilken motiveras av att minst en faktor måste vara 0 för att produkten ska bli 0.
1
Likställ varje faktor med 0
expand_more Genom att sätta varje faktor lika med 0 får man två nya, separata ekvationer: 3x-9=0 och x+5=0.
2
Lös ekvationerna
expand_more Man löser nu ekvationerna för att bestämma det eller de x-värden som gör att någon av faktorerna blir 0, eftersom dessa värden även löser ursprungsekvationen.
3x-9=0 &⇔ x=3 x+5=0 &⇔ x=-5
Lösningarna är alltså x=3 och x=-5.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös andragradsekvationen med nollproduktmetoden
Lös ekvationen 2x^2+7x=0.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0","-3,5"]}}
Ledtråd
Faktorisera ekvationens vänstra sida. Sätt sedan varje faktor lika med noll och lös för variabeln med hjälp av nollproduktmetoden.
Lösning
Eftersom båda termerna innehåller ett x kan vi bryta ut det.
För att högerledet ska bli 0 måste antingen x eller 2x + 7 vara lika med noll.
x(2x+7)=0
ZeroProdProp
Använd nollproduktmetoden
lcx=0 & (I) 2x+7=0 & (II)
SubEqn
(II): VL-7=HL-7
lx=0 2x=-7
DivEqn
(II): .VL /2.=.HL /2.
lx_1=0 x_2=-3,5
Ekvationens lösningar är alltså x=0 och x=-3,5.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Andragradsekvationer
Uppgift 2.1
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\sqrt{10}","-\\sqrt{10}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\frac{2}{9}","-\\frac{2}{9}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\sqrt{2}","-\\sqrt{2}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi adderar 40 till båda sidor för att få 4x^2 ensamt. Därefter delar vi båda led med 4 och drar slutligen kvadratroten ur båda led.
Både x=-sqrt(10) och x=sqrt(10) löser ekvationen.
Vi börjar med att dela med 9 och kan därefter dra kvadratroten ur båda led.
Både x=- 29 och x= 29 löser ekvationen.
Börja med att addera 3 till båda led. För att få bort nämnaren multiplicerar vi därefter båda led med x.
Både x=- sqrt(2) och x=sqrt(2) löser ekvationen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-\\dfrac{3}{2}","\\dfrac{9}{8}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\dfrac{4}{5}","\\dfrac{1}{3}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-\\dfrac{8}{5}","\\dfrac{9}{2}","-6"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi har en produkt som är lika med 0. Det betyder att vi kan använda nollproduktmetoden.
Vi gör på samma sätt. Någon av faktorerna måste vara 0.
Här finns tre faktorer i produkten, men metoden är densamma. Den enda skillnaden är att ekvationen får tre rötter.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0","1"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0","-\\dfrac{2}{3}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0","0,5"]}}
security
report
code
security
report
code
Faktorn 2x finns i båda termer i vänsterledet så vi kan bryta ut den och sedan använda nollproduktmetoden.
Här kan vi bryta ut ett x innan vi använder nollproduktmetoden.
Först flyttar vi över den ena termen så att ett av leden blir 0. Sedan kan vi använda nollproduktmetoden som vanligt.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm x om...
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
security
report
code
security
report
code
Omkretsen av en rektangel beräknas genom att summera dess sidlängder. Rektangeln har två sidor som är (4x - 2)cm respektive (2x - 3)cm. Det ger omkretsen O = 2(4x - 2) + 2(2x - 3). Nu sätter vi in O=38, och löser ekvationen.
Arean av en rektangel bestäms genom att multiplicera sidlängderna. Vi får därför A = (4x - 2)(2x - 3). Eftersom arean är 6cm^2 sätter vi vänsterledet lika med det och löser ut x.
Nu har vi fått en andragradsekvation. Båda termer i vänsterledet innehåller x, så vi kan bryta ut det och sedan använda nollproduktmetoden.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3x^2-12"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"\u00e5r","answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Kvadraten av Lottas ålder är x^2. Mammans ålder är 12 mindre än tre gånger x^2. Vi subtraherar därför 12 från 3x^2: 3x^2-12. Detta är mammans ålder.
Vi använder uttrycket för mammans ålder från förra deluppgiften. Det ska vara lika med 36.
Både x=-4 och x=4 löser ekvationen. Men en ålder kan inte vara negativ så den roten kan vi utesluta. Lottas ålder är alltså 4 år.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["3,09"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["33"]}}
security
report
code
security
report
code
En cirkels area beräknas med A=π r^2, där r är radien. Vi sätter in A=30 och löser ut r.
Cirkelns radie är alltså ungefär 3,09cm.
Vi kallar den kortare sidan för x. Den andra sidan, som är tre gånger längre, måste då vara 3x.
Arean, som är lika med 363cm^2, beräknas genom att multiplicera sidlängderna. Vi använder det för att bestämma x.
Eftersom längder måste vara positiva kan vi utesluta den negativa roten, så x är lika med 11. Den längsta sidan i rektangeln är 3x så den är 3x=3*11=33cm.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"multichoice","form":{"alts":["(x-2)(x-9)=0","(x+2)(x+9)=0","(x-2)(x+9)=0","(x+2)(x-9)=0"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0]}
{"type":"multichoice","form":{"alts":["(x-12)(x-8)=0","(x+12)(x+8)=0","(x-12)(x+8)=0","(x+12)(x-8)=0"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[3]}
{"type":"multichoice","form":{"alts":["x(x-11)=0","x(x+11)=0","x(x-11)=1","x(x-11)=11"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0]}
{"type":"multichoice","form":{"alts":["(x-5)^2=0","(x+5)^2=0","(x-5)(x+5)=0","x(x-5)=0","x(x+5)=0"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0]}
security
report
code
security
report
code
Att testa oss fram till en ekvation skulle ta lång tid, så istället utnyttjar vi nollproduktmetoden. Den används oftast för att hitta de värden på x som gör att produkten blir 0 för en viss ekvation, men vi kan också skapa faktorer som blir noll för givna x och som vi kan multiplicera för att bilda en ekvation med specifika nollställen. Ekvationerna x-2=0 och x-9=0 blir 0 om x=2 respektive x=9, dvs. vi har skapat två faktorer med de lösningar vi vill ha. Genom att multiplicera dessa och sätta produkten till 0 har vi skapat en ekvation med de sökta lösningarna.
Vi tänker på motsvarande sätt här, men nu måste ena ekvationen få en negativ lösning. Vi vill ha två separata ekvationer med lösningarna x=-12 och x=8, vi kan välja t.ex. x+12=0 och x-8=0. Den sökta andragradsekvationen blir alltså (x+12)(x-8)=0, för om vi skulle sätta in x=-12 blir första parentesen noll vilket gör att hela vänsterledet blir 0. Och på motsvarande sätt blir vänsterledet noll om x=8.
För att ena lösningen ska bli x=11 kan vi använda oss av x-11=0. Vad ska vi då skriva i första parentesen för att den ska bli 0 om x=0?
( )(x-11)=0
Enklast är helt enkelt att välja att sätta in x. Sätter vi in x=0 i den blir den ju 0. Vår sökta andragradsekvation blir alltså
x(x-11)=0.
Här ska vi hitta på en ekvation som ger dubbelroten x=5. Det får vi genom att sätta in uttrycket x-5 i båda parenteserna. Då får vi
(x-5)(x-5)=0 ⇔ (x-5)^2=0.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
För funktionen f gäller att f(x)=x^2. Bestäm alla värden på a så att f(2a)=a.
Nationella provet HT13 2a
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"a"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0","0,25"]}}
security
report
code
security
report
code
Lösningarna till ekvationen f(2a)=a är de tal a som om de dubbleras och sätts in i f(x) ger just resultatet a. Vi sätter därför in x=2a i funktionsuttrycket och förenklar.
Nu kan vi skriva f(2a)=a som 4a^2=a. Denna andragradsekvation löser vi genom att subtrahera a från båda led, bryta ut a och sedan använda nollproduktmetoden.
De värden på a som gör att f(2a)=a är alltså a=0 och a=0,25.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["7","-1"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-3","-9"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-2","6"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kan se på ekvationen som någonting i kvadrat
är lika med 16:
( )^2=16.
Därför drar vi kvadratroten ur båda led för att bli av med kvadraten.
Vi får nu två fall. Ena lösningen får vi genom att beräkna 3+4 och den andra blir 3-4.
Även här drar vi kvadratroten ur båda led för att få bort kvadraten. Därefter beräknar vi de två lösningarna var för sig.
Vi gör på motsvarande sätt här. På slutet måste vi också dividera med 2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\sqrt{15}","-\\sqrt{15}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["4","-4"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\sqrt{13}","-\\sqrt{13}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi korsmultiplicerar för att bli av med bråken.
Både x=- sqrt(15) och x=sqrt(15) löser ekvationen.
Återigen använder vi korsmultiplikation för att bli av med bråken. Men först adderar vi båda led med 8x.
Både x=- 4 och x=4 löser ekvationen.
Vänsterledets minsta gemensamma nämnare är 6x. Vi använder det för att skriva om VL till ett bråk. Sedan korsmultiplicerar vi.
Alltså löser x=- sqrt(13) och x=sqrt(13) ekvationen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Andragradsekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll