Algebraisk lösning av ekvationssystem

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Ekvationssystem kan användas för att lösa olika typer av verkliga problem där man har olika samband mellan okända värden. Det är inte alltid meningsfullt att rita upp sambanden som räta linjer och då kan man använda en algebraisk metod, t.ex. substitutions- eller additionsmetoden.
Metod

Ekvationssystem som modeller

Många problem kan lösas med ekvationssystem. Man kan göra det på följande sätt.

  1. Identifiera okända värden och ge dem variabelnamn.
  2. Ställ upp olika samband mellan variablerna.
  3. Bilda ett ekvationssystem av sambanden.
  4. Lös ekvationssystemet och tolka resultatet.
Det är viktigt att komma ihåg att man behöver lika många ekvationer som antalet okända variabler för att kunna lösa ekvationssystemet, och det är även viktigt att dessa beskriver olika samband.
Uppgift

Det totala antalet enkronor och femkronor i en plånbok är 1010 st. och det sammanlagda värdet av dessa är 3434 kr. Ställ upp ett ekvationssystem som kan användas för att bestämma antalet enkronor och femkronor i plånboken.

Lösning

Ekvationssystemet ska kunna användas för att bestämma hur många enkronor respektive femkronor det finns, så antalet mynt av varje sort är våra okända variabler. Vi väljer att kalla antalet enkronor för aa och antalet femkronor för b.b. Eftersom vi vet hur många mynt det finns samt deras totala värde kan vi ställa upp följande två ekvationer.

  • En ekvation beskriver totala antalet mynt: a+b=10.a+b=10.
  • En ekvation beskriver myntens sammanlagda värde: 1a+5b=34.1 \cdot a+5 \cdot b=34.

Med dessa ekvationer kan vi bilda ekvationssystemet {a+b=10a+5b=34\begin{cases}a+b=10 \\ a+5b=34 \end{cases} som kan lösas med valfri metod.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Substitutionsmetoden

Substitutionsmetoden går ut på att man substituerar, dvs. ersätter, en variabel i någon av ekvationerna med ett uttryck som bara innehåller den andra variabeln. Exempelvis kan ekvationssystemet {y4=2x9x+6=3y\begin{cases}y-4=2x \\ 9x+6=3y \end{cases} lösas på detta sätt.

1

Lös ut en av variablerna i den ena ekvationen

Lös ut en av variablerna ur valfri ekvation så att den står ensam på ena sidan om likhetstecknet. Då ska uttrycket på andra sidan enbart innehålla den andra variabeln. Genom att addera 44 till båda led i den första ekvationen kan man lösa ut yy: {y=2x+49x+6=3y.\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=3y. \end{cases}

2

Ersätt variabeln i den andra ekvationen

Ersätt variabeln i den andra ekvationen med det uttryck man fick i första steget. Uttrycket 2x+42x+4 sätts in istället för yy i den andra ekvationen: {y=2x+49x+6=3(2x+4).\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=3({\color{#0000FF}{2x+4}}). \end{cases}

3

Lös den andra ekvationen

Nu innehåller den andra ekvationen endast en variabel och kan lösas.

{y=2x+4(I)9x+6=3(2x+4)(II)\begin{cases}y=2x+4 & \, \text {(I)}\\ 9x+6=3(2x+4) & \text {(II)}\end{cases}
{y=2x+49x+6=32x+34\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=3\cdot2x+3\cdot4 \end{cases}
{y=2x+49x+6=6x+12\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=6x+12 \end{cases}
{y=2x+43x+6=12\begin{cases}y=2x+4 \\ 3x+6=12 \end{cases}
{y=2x+43x=6\begin{cases}y=2x+4 \\ 3x=6 \end{cases}
{y=2x+4x=2\begin{cases}y=2x+4 \\ x=2 \end{cases}

4

Sätt in värdet i valfri ursprungsekvation

Sätt in värdet på variabeln som löstes ut i förra steget i någon av ursprungsekvationerna och beräkna värdet av den andra variabeln.

{y=2x+4(I)x=2(II)\begin{cases}y=2x+4 & \, \text {(I)}\\ x=2 & \text {(II)}\end{cases}
{y=22+4x=2\begin{cases}y=2 \cdot {\color{#0000FF}{2}}+4 \\ x=2 \end{cases}
{y=4+4x=2\begin{cases}y=4+4 \\ x=2 \end{cases}
{y=8x=2\begin{cases}y=8 \\ x=2 \end{cases}

Lösningen till ekvationssystemet är {x=2y=8.\begin{cases}x=2 \\ y=8. \end{cases}

Metod

Additionsmetoden

Denna metod går ut på att man gör sig av med en variabel genom att addera ekvationerna ledvis. Exempelvis kan ekvationssystemet {y4=2x9x+6=3y\begin{cases}y-4=2x \\ 9x+6=3y \end{cases} lösas med additionsmetoden på följande sätt.

1

Arrangera om ekvationerna

För att lättare kunna jämföra de två ekvationerna kan det vara bra att arrangera om termerna så att de står i samma ordning. I exemplet flyttas variabeltermerna till vänsterleden och konstanttermerna till högerleden.


{y4=2x(I)9x+6=3y(II)\begin{cases}y-4=2x & \, \text {(I)}\\ 9x+6=3y & \text {(II)}\end{cases}
{-4=2xy9x+6=3y\begin{cases}\text{-}4=2x-y \\ 9x+6=3y \end{cases}
{2xy=-49x+6=3y\begin{cases}2x-y=\text{-}4 \\ 9x+6=3y \end{cases}
{2xy=-49x=3y6\begin{cases}2x-y=\text{-}4 \\ 9x=3y-6 \end{cases}
{2xy=-49x3y=-6\begin{cases}2x-y=\text{-}4 \\ 9x-3y=\text{-}6 \end{cases}

2

Multiplicera med konstant

Nu vill man att koefficienten framför någon av variablerna ska vara likadan i båda ekvationerna, fast med omvänt tecken. Det gör man genom att multiplicera båda led i någon av ekvationerna med lämpliga konstanter. I exemplet multipliceras ekvation (I) med -3\text{-} 3 så att termen 3y3y finns i ekvation (I) och -3y\text{-} 3y i ekvation (II).

{-6x+3y=129x3y=-6\begin{cases}\text{-} 6x + 3y=12 \\ 9x-3y=\text{-}6 \end{cases}

3

Addera ekvationerna

Ekvationerna adderas ledvis. Det innebär att vänsterledet för en ekvation adderas till vänsterledet för den andra och högerledet för den ena adderas till högerledet för den andra. Här adderas den andra ekvationen till den första.

Två ekvationer som adderas ledvis

Detta ger ekvationssystemet {3x=69x3y=-6. \begin{cases}3x=6 \\ 9x - 3y=\text{-} 6. \end{cases}

4

Lös den nya ekvationen

Nu kan man lösa den nya ekvationen för att bestämma den ena variabeln: 3x=6x=2. 3x=6 \quad \Leftrightarrow \quad x=2. Då får man {x=29x3y=-6. \begin{cases}x=2 \\ 9x - 3y=\text{-} 6. \end{cases}


5

Sätt in värdet i valfri ursprungsekvation

Sätt in värdet på den nu kända variabeln i någon av ursprungsekvationerna. Här sätts x=2x=2 in i ekvation (II).

{x=2(I)9x3y=-6(II)\begin{cases}x=2 & \, \text {(I)}\\ 9x - 3y=\text{-} 6 & \text {(II)}\end{cases}
{x=2923y=-6\begin{cases}x=2 \\ 9\cdot {\color{#0000FF}{2}} - 3y=\text{-} 6 \end{cases}
{x=2183y=-6\begin{cases}x=2 \\ 18 - 3y=\text{-} 6 \end{cases}
{x=2-3y=-24\begin{cases}x=2 \\ \text{-} 3y=\text{-}24 \end{cases}
{x=2y=8\begin{cases}x=2 \\ y=8 \end{cases}
Lösningen till ekvationssystemet är {x=2y=8.\begin{cases}x=2 \\ y=8. \end{cases}
Uppgift

Lös ekvationssystemet med valfri algebraisk metod. {2x+6y=-65x+2y=11\begin{cases}2x + 6y = \text{-} 6 \\ 5x + 2y = 11 \end{cases}

Lösning
Här fungerar båda metoder ganska bra, men vi väljer att lösa systemet med substitutionsmetoden. Vi börjar med att lösa ut xx ur den första ekvationen.
{2x+6y=-6(I)5x+2y=11(II)\begin{cases}2x + 6y = \text{-} 6 & \, \text {(I)}\\ 5x + 2y = 11 & \text {(II)}\end{cases}
{2x=-6y65x+2y=11\begin{cases}2x = \text{-} 6y - 6 \\ 5x + 2y = 11 \end{cases}
{x=-3y35x+2y=11\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ 5x + 2y = 11 \end{cases}
Vi sätter sedan in uttrycket för xx i den andra ekvationne och löser ut yy.
{x=-3y35x+2y=11\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ 5x + 2y = 11 \end{cases}
{x=-3y35(-3y3)+2y=11\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ 5({\color{#0000FF}{\text{-} 3y - 3}}) + 2y = 11 \end{cases}
{x=-3y3-15y15+2y=11\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ \text{-} 15y - 15 + 2y = 11 \end{cases}
{x=-3y3-13y15=11\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ \text{-} 13y - 15 = 11 \end{cases}
{x=-3y3-13y=26\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ \text{-} 13y = 26 \end{cases}
{x=-3y3y=-2\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ y = \text{-} 2 \end{cases}
Nu när yy är känt kan vi sättas in det i den första ekvationen för att beräkna xx.
{x=-3y3y=-2\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ y = \text{-} 2 \end{cases}
{x=-3(-2)3y=-2\begin{cases}x = \text{-} 3 \cdot ({\color{#0000FF}{\text{-} 2}}) - 3 \\ y = \text{-} 2 \end{cases}
{x=63y=-2\begin{cases}x = 6 - 3 \\ y = \text{-} 2 \end{cases}
{x=3y=-2\begin{cases}x = 3 \\ y = \text{-} 2 \end{cases}
Lösningen till ekvationssystemet är alltså {x=3y=-2.\begin{cases}x = 3 \\ y = \text{-} 2. \end{cases}
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Ekvationssystem med fler än två okända

Lösningsmetoderna för ekvationssystem är inte begränsade till två ekvationer och två okända värden, utan gäller även för ekvationssystem med fler ekvationer och okända. För att ett sådant ekvationssystem ska kunna lösas måste det finnas lika många ekvationer som okända värden. Ekvationssystemet nedan har tre ekvationer och tre okända värden: xx, yy och z.z. {x+y+z=6-x+2yz=0xy+3z=8\begin{cases}x+y+z=6 \\ \text{-} x + 2y - z = 0 \\ x - y + 3z = 8 \end{cases}

I dessa fall kan man använda substitutionsmetoden. På samma sätt som för två ekvationer löser man först ut en variabel ur en av ekvationerna. Uttrycket man får då sätter man in i de andra, vilka skapar ett nytt ekvationssystem med bara två okända som kan lösas på valfritt sätt. Värdena på de variablerna används sedan för att beräkna den tredje. Man kan även använda additionsmetoden. I det här fallet kan man addera första och andra ekvationen för att få en ekvation som enbart innehåller den okända variabeln y.y.
Uppgift

Lös ekvationssystemet. {2x+y3z=14xy5z=9x+2y+z=0 \begin{cases}2x + y - 3z = 1 \\ 4x - y - 5z = 9 \\ x + 2y + z = 0 \end{cases} Vi väljer att lösa ekvationssystemet med substitutionsmetoden och börjar med att lösa ut en variabel ur en av ekvationerna. Det spelar ingen roll vilken variabel eller vilken ekvation, så vi väljer att lösa ut xx ur den tredje ekvationen.

Lösning
{2x+y3z=1(I)4xy5z=9(II)x+2y+z=0(III)\begin{cases}2x + y - 3z = 1 & \, \, \text {(I)}\\ 4x - y - 5z = 9 & \, \text {(II)}\\ x + 2y + z = 0 & \text {(III)}\end{cases}
{2x+y3z=14xy5z=9x+z=-2y\begin{cases}2x + y - 3z = 1 \\ 4x - y - 5z = 9 \\ x + z = \text{-} 2y \end{cases}
{2x+y3z=14xy5z=9x=-2yz\begin{cases}2x + y - 3z = 1 \\ 4x - y - 5z = 9 \\ x = \text{-} 2y - z \end{cases}
Vi sätter in detta uttryck i båda de andra ekvationerna och förenklar.
{2x+y3z=14xy5z=9x=-2yz\begin{cases}2x + y - 3z = 1 \\ 4x - y - 5z = 9 \\ x = \text{-} 2y - z \end{cases}
{2(-2yz)+y3z=14(-2yz)y5z=9x=-2yz\begin{cases}2({\color{#0000FF}{\text{-} 2y - z}}) + y - 3z = 1 \\ 4({\color{#0000FF}{\text{-} 2y - z}}) - y - 5z = 9 \\ x = \text{-} 2y - z \end{cases}
{2(-2y)2z+y3z=14(-2y)4zy5z=9x=-2yz\begin{cases}2(\text{-} 2y) -2\cdot z + y - 3z = 1 \\ 4(\text{-} 2y) - 4 \cdot z - y - 5z = 9 \\ x = \text{-} 2y - z \end{cases}
{-4y2z+y3z=1-8y4zy5z=9x=-2yz\begin{cases}\text{-} 4y - 2z + y - 3z = 1 \\ \text{-} 8y - 4z - y - 5z = 9 \\ x = \text{-} 2y - z \end{cases}
{-3y5z=1-9y9z=9x=-2yz\begin{cases}\text{-} 3y - 5z = 1 \\ \text{-} 9y - 9z = 9 \\ x = \text{-} 2y - z \end{cases}
{-3y5z=1-yz=1x=-2yz\begin{cases}\text{-} 3y - 5z = 1 \\ \text{-} y - z = 1 \\ x = \text{-} 2y - z \end{cases}
Nu har xx försvunnit från ekvation (I) och (II), som tillsammans bildar ett ekvationssystem med bara två okända: {-3y5z=1-yz=1. \begin{cases}\text{-} 3y - 5z = 1 \\ \text{-} y - z = 1. \end{cases} Vi väljer att lösa detta med additionsmetoden, men det hade också gått bra med substitutionsmetoden. Genom att byta tecken i den nedre ekvationen och därefter multiplicera den med 33 kommer yy-termerna att ta ur varandra vid additionen.
{-3y5z=1(I)-yz=1(II)\begin{cases}\text{-} 3y - 5z = 1 & \, \text {(I)}\\ \text{-} y - z = 1 & \text {(II)}\end{cases}
{-3y5z=1y+z=-1\begin{cases}\text{-} 3y - 5z = 1 \\ y+z=\text{-}1 \end{cases}
{-3y5z=13y+3z=-3\begin{cases}\text{-} 3y - 5z = 1 \\ 3y+3z=\text{-}3 \end{cases}
{-3y5z+3y+3z=133y+3z=-3\begin{cases}\text{-} 3y - 5z + {\color{#0000FF}{3y + 3z}} = 1 {\color{#0000FF}{- \, 3}} \\ 3y+3z=\text{-}3 \end{cases}
{-2z=-23y+3z=-3\begin{cases}\text{-}2 z = \text{-}2 \\ 3y+3z=\text{-}3 \end{cases}
{z=13y+3z=-3\begin{cases}z = 1 \\ 3y+3z=\text{-}3 \end{cases}
{z=13y+31=-3\begin{cases}z = 1 \\ 3y+3 \cdot {\color{#0000FF}{1}}=\text{-}3 \end{cases}
{z=13y+3=-3\begin{cases}z = 1 \\ 3y+3=\text{-}3 \end{cases}
{z=13y=-6\begin{cases}z = 1 \\ 3y=\text{-}6 \end{cases}
{z=1y=-2\begin{cases}z=1 \\ y=\text{-}2 \end{cases}
Nu har vi löst ut yy och zz. Vi sätter vi in dem i ekvation (III) för att till sist lösa ut xx.
{z=1(I)y=-2(II)x=-2yz(III)\begin{cases}z = 1 & \, \, \text {(I)}\\ y = \text{-} 2 & \, \text {(II)}\\ x = \text{-} 2y - z & \text {(III)}\end{cases}
{z=1y=-2x=-2(-2)1\begin{cases}z = 1 \\ y = \text{-} 2 \\ x = \text{-} 2({\color{#0000FF}{\text{-} 2}}) - {\color{#009600}{1}} \end{cases}
{z=1y=-2x=41\begin{cases}z = 1 \\ y = \text{-} 2 \\ x = 4 - 1 \end{cases}
{z=1y=-2x=3\begin{cases}z = 1 \\ y = \text{-} 2 \\ x = 3 \end{cases}
Nu har vi löst ut alla okända variabler och lösningen är alltså {x=3y=-2z=1. \begin{cases}x = 3 \\ y = \text{-} 2 \\ z = 1. \end{cases}
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}