Geometri

Vektorer

Teori

Vektor

En vektor beskriver en storhet, alltså något som kan mätas, och har både en storlek och en riktning. Storheter som beskrivs med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en en pil eller ett streck över bokstaven, exempelvis vellerv¯. \vec{v} \quad \text{eller} \quad \bar{v}. I koordinatsystem brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd anger vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten A och slutpunkten B, brukar man namnge den , och om den riktas åt andra hållet får den namnet

Koordinatform för vektor

Vektorer brukar beskrivas med koordinater. xx-koordinaten anger förändringen i xx-led från vektorns startpunkt till dess slutpunkt och yy-koordinaten anger förändringen i yy-led. Då fås en uppsättning koordinater (Δx,Δy)(\Delta x, \Delta y) som kallas vektorns koordinatform.

Det är viktigt att komma ihåg att till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, så anger vektorer bara en förändring, och är inte bunden till en viss position.

Exempel

Skriv vektor på koordinatform

Parallellförflyttning av vektorer

När en vektor flyttas utan att vridas eller ändra längd sägs den ha parallellförflyttas. Vektorn hamnar i en annan position i koordinatsystemet men beskrivs av samma koordinater, dvs. ändringen i xx- och yy-led som vektorn representerar beror inte på var vektorn är. Exempelvis beskriv alla vektorer i figuren av v=(3,3).\vec{v}=(3,3).

Parallellförflytta

Parallellförflyttas vektorn så att startpunkten hamnar i origo kommer slutpunkten att få samma koordinater som själva vektorn.

Komposant

En vektor kan alltid delas upp i två eller flera "delvektorer" som anger förändringar i olika riktningar. Dessa delvektorer kallas komposanter. Oftast delar man upp vektorer i en vågrät xx-komposant och en lodrät yy-komposant, vars längder ges av vektorns koordinater. I figuren nedan har vektorn v=(6,4)\vec{v} = (6,4) delats upp i delvektorerna vx=(6,0)\vec{v}_x = (6,0) och vy=(0,4)\vec{v}_y = (0,4).

Exempel

Dela upp vektor i komposanter

Längden av en vektor

Längden av en vektor v\vec{v} brukar betecknas v,|\vec{v}|, vilket utläses "normen av v.\vec{v}." Längden på vågräta och lodräta vektorer kan avläsas direkt i koordinatsystemet, men mer generellt går det att använda Pythagoras sats för att beräkna längden.

I figuren ovan har xx- och yy-komposanten av vektorn v=(a,b)\vec{v}= (a,b) ritats ut som kateterna i en rätvinklig triangel där v\vec{v} är hypotenusan. Om längden för kateterna är aa och bb ger då Pythagoras sats (a,b)2=a2+b2. |(a,b)|^2 = a^2 + b^2. Dras kvadratroten ur båda led ger detta den generella formeln för längden av en vektor. Eftersom längder alltid är positiva förkastas den negativa roten.

(a,b)=a2+b2|(a,b)| = \sqrt{a^2 + b^2}

Exempel

Vad är vektorns längd?