Vektorer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis vellervˉ. \vec{v} \quad \text{eller} \quad \bar{v}. Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten A och slutpunkten B, brukar man namnge den AB\overrightarrow{AB}, och om den riktas åt andra hållet får den namnet BA.\overrightarrow{BA}.

Begrepp

Koordinatform för vektor

Vektorer brukar beskrivas med koordinater, där xx- och yy-koordinaterna anger förändringen i respektive riktning. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i xx- och yy-led mellan start- och slutpunkten.

Till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, anger vektorer förändring, och är alltså inte bundna till en viss position.
Uppgift Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Parallellförflyttning av vektorer

När en vektor flyttas utan att vridas eller ändra längd sägs den ha parallellförflyttas. Vektorn hamnar i en annan position i koordinatsystemet men beskrivs av samma koordinater eftersom ändringen i xx- och yy-led inte beror på var vektorn är. Exempelvis beskrivs alla vektorer i figuren av v=(3,3).\vec{v}=(3,3).

Parallellförflytta

Parallellförflyttas vektorn så att startpunkten hamnar i origo kommer slutpunkten att få samma koordinater som själva vektorn.
Begrepp

Komposant

En vektor kan alltid delas upp i två eller flera "delvektorer" som anger förändringar i olika riktningar. Dessa delvektorer kallas komposanter. Oftast delar man upp dem i en vågrät xx-komposant och en lodrät yy-komposant, vars längder ges av vektorns koordinater. I figuren har vektorn v=(6,4)\vec{v} = (6,4) delats upp i komposanterna vx=(6,0)\vec{v}_x = (6,0) och vy=(0,4).\vec{v}_y = (0,4).

Uppgift Visa lösning Visa lösning
Regel

Längden av en vektor

Längden av en vektor v\vec{v} brukar skrivas v,|\vec{v}|, vilket utläses normen eller absolutbeloppet av v.\vec{v}. Längden på vågräta och lodräta vektorer kan avläsas direkt i koordinatsystemet, men mer generellt går det att använda Pythagoras sats för att beräkna längden.

xx- och yy-komposanten av vektorn v=(a,b)\vec{v}= (a,b) har ritats ut som kateterna i en rätvinklig triangel där v\vec{v} är hypotenusan. Längden för kateterna är aa och bb, och Pythagoras sats ger då (a,b)2=a2+b2. |(a,b)|^2 = a^2 + b^2. Dras kvadratroten ur båda led ger detta den generella formeln för längden av en vektor. Eftersom längder alltid är positiva bortser man från den negativa roten.

(a,b)=a2+b2|(a,b)| = \sqrt{a^2 + b^2}

Uppgift Visa lösning Visa lösning

{{ 'ml-heading-exercises' | message }}