Varför kan inte negativa tal logaritmeras?

Tiologaritmen lg(a)\lg(a) och den generella logaritmen logb(a)\log_b(a) är bara definierade då talet aa är positivt. För att motivera detta kan man gå tillbaka till definitionen av logaritmer. Logaritmen av ett tal är den exponent som logaritmens bas måste upphöjas till för att få talet. Om man exempelvis vill bestämma lg(-3)\lg(\text{-} 3) är det ekvivalent med att ställa sig frågan "vilken exponent upphöjer man 1010 till för att få -3\text{-} 3?" lg(-3)=x10x=-3 \lg(\text{-} 3)=x \quad \Leftrightarrow \quad 10^x = \text{-} 3 Man kan välja att undersöka den högra ekvationen genom att rita upp vänster- och högerledet i ett koordinatsystem.

Det ser ut som att funktionerna inte skär varandra, vilket i så fall skulle betyda att ekvationen 10x=-310^x=\text{-}3 saknar lösning. Genom att undersöka positiva och negativa xx var för sig kan man motivera att ekvationen inte har några rötter.

Positiva xx

1010 upphöjt xx är 1010 multiplicerat med sig själv xx gånger, t.ex. är 103=10101010^3=10\cdot10\cdot10. Eftersom 1010 är ett positivt tal spelar det ingen roll hur många gånger man multiplicerar det — produkten kommer alltid bli positiv. Eventuella lösningar till 10x=-310^x=\text{-}3 kan därför inte vara positiva.

Negativa xx

Kan 10x10^x bli negativt om xx är negativt? En potens med negativ exponent kan man skriva om till ett bråk.

xx -1\text{-}1 -2\text{-}2 -3\text{-}3 -4\text{-}4 -5\text{-}5
10x10^x 10-110^{\text{-}1} 10-210^{\text{-}2} 10-310^{\text{-}3} 10-410^{\text{-}4} 10-510^{\text{-}5}
Bråk 1101\dfrac{1}{10^1} 1102\dfrac{1}{10^2} 1103\dfrac{1}{10^3} 1104\dfrac{1}{10^4} 1105\dfrac{1}{10^5}
== 0.10.1 0.010.01 0.0010.001 0.00010.0001 0.000010.00001

Ju "mer negativt" xx blir desto mindre blir 10x,10^x, men det blir aldrig negativt.

Slutsats

Det finns alltså inga reella xx som löser ekvationen 10x=-3,10^x=\text{-}3, och därför är x=lg(-3)x=\lg(\text{-}3) odefinierat.