{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
close

Varför är derivatan av exe^x lika med exe^x?

En exponentialfunktion f(x)=axf(x)=a^x har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag, nämligen när basen i funktionsuttrycket är lika med talet e.e. Man kan visa att funktionen f(x)=exf(x)=e^x har derivatan f(x)=exf'(x)=e^x genom att sätta in en godtycklig exponentialfunktion f(x)=ax f(x)=a^x i derivatans definition och därefter undersöka vad som händer med derivatan för olika värden på basen a.a.

f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
f(x+h)=ax+hf(x+h)={\color{#0000FF}{a^{x+h}}}, f(x)=axf(x)={\color{#009600}{a^x}}
f(x)=limh0ax+haxhf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{a^{x+h}}} - {\color{#009600}{a^x}}}{h}
f(x)=limh0axahaxhf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{a^x\cdot a^h - a^x}{h}
Dela upp i faktorer
f(x)=limh0axahax1hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{a^x\cdot a^h- a^x\cdot 1}{h}
f(x)=limh0ax(ah1)hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{a^x\left(a^h - 1\right)}{h}
f(x)=limh0(axah1h)f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \left(a^x \cdot \dfrac{a^h - 1}{h} \right)

Derivatan av en godtycklig exponentialfunktion är alltså lika med gränsvärdet limh0axah1h.\lim \limits_{h \to 0} a^x\cdot\frac{a^h - 1}{h}. Potensen axa^x påverkas dock inte av att hh går mot 0,0, så den kan placeras utanför gränsvärdet: f(x)=axlimh0ah1h. f'(x)=a^x\cdot \, \displaystyle{\lim_{h\to 0}} \dfrac{a^h - 1}{h}. Derivatan till axa^x är alltså axa^x multiplicerat med den konstant man får genom att beräkna gränsvärdet. Det går att bestämma gränsvärdet genom att låta h0,h \to 0, men ändringskvoten kommer att bero på exponentialfunktionens bas a.a. Man kan förstå detta genom att sätta in ett litet h,h, t.ex. 0.0001,0.0001, i kvoten: f(x)axa0.000110.0001. f'(x) \approx a^x \cdot \dfrac{a^{0.0001} - 1}{0.0001}. Det mest praktiska vore om gränsvärdet blev 1.1. I så fall skulle man få D(ax)=ax1,D(a^x)=a^x \cdot 1, dvs. att derivatan skulle bli samma som funktionen. Grafiskt kan detta representeras med att graferna till f(x)=axf(x)=a^x och f(x)f'(x) sammanfaller. Med datorns hjälp kan man undersöka för vilket aa detta sker.

För a=2.72a =2.72 ser graferna ut att sammanfalla. Mer exakt är det sökta värdet på aa lika med e=2.718281828e=2.718281828\ldots dvs. om f(x)=exf(x)=e^x är f(x)=exlimh0eh1h=ex1=ex. f'(x)=e^x\cdot \, \displaystyle{\lim_{h\to 0}} \dfrac{e^h - 1}{h}=e^x \cdot 1 = e^x. Anledningen till att just derivatan av f(x)=exf(x)=e^x är lika med sig själv är alltså att gränsvärdet som uppstår då man tillämpar derivatans definition på f(x)=axf(x)=a^x är 11 endast då basen är e.e.