Derivata

Vad är derivata

Teori

Derivata

Lutningen i en punkt har så stor användning inom matematiken att det fått ett eget namn: derivata. Derivatan för en funktion i en viss punkt är kk-värdet för den tangent som kan ritas genom den punkten. För en rät linje är derivatan samma i alla punkter eftersom lutningen är konstant, men om funktionens lutning varierar kommer även derivatan att göra det.

Detta betyder att derivatan är

  • negativ när funktionen är avtagande ( \searrow ).
  • positiv när funktionen är växande ( \nearrow ).
  • 0 när funktionen har maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Ju brantare kurvan är desto större blir värdet för derivatan, med positiva värden för positiva lutningar och negativa värden för negativa lutningar.

Förstagradsfunktion

Andragradsfunktion


Tredjegradsfunktion

Notation

Derivata: f(a)f'(a)

Derivatans nollställen

I maximi-, minimi- och terrasspunkter har funktioner varken positiv eller negativ lutning. Sådana punkter kallas stationära och har derivatan 00 eftersom tangenter som ritas genom dem är horisontella.

I en stationär punkt där x=ax=a gäller alltså alltid att f(a)=0. f'(a)=0.

Omvänt gäller också att man kan hitta stationära punkter genom att undersöka var derivatan är 0.0. När man anger om den stationära punkten är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt säger man att man anger dess karaktär.

Exempel

Vilket tecken har derivatan?

Uppskatta derivata grafiskt

Ett sätt att uppskatta derivatan i en graf är att rita en tangent genom den punkt man är intresserad av och bestämma linjens lutning. Denna metod kan exempelvis användas för att uppskatta värdet av f(-2)f'(\text{-}2) med hjälp av figuren.

Börja med att rita en tangent och bestäm dess lutning i tangeringspunkten. I exemplet är det f(-2)f'(\text{-}2) som ska bestämmas, dvs. derivatan där x=-2.x=\text{-}2.

Här används tangeringspunkten (-2,-3)(\text{-}2, \text{-}3) och punkten (-6,3)(\text{-}6, 3) för att bestämma tangentens lutning till k=3(-3)-6(-2)=-1.5. k=\dfrac{3-(\text{-}3)}{\text{-}6 -(\text{-}2)}= \text{-}1.5.

Eftersom derivatan är lutningen i en viss punkt, och en tangents lutning anger just detta är f(-2)-1.5. f'(\text{-}2) \approx \text{-}1.5.

Exempel

Vad är derivatans värde?