Den här sidan innehåller förändringar som inte är märkta för översättning.


Fördjupning

Trigonometriska värden för standardvinklar

För de så kallade standardvinklarna är det möjligt att härleda exakta trigonometriska värden.

Vinkel vv 00^\circ 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ 9090^\circ
sin(v) \sin(v) 00 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 11
cos(v) \cos(v) 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00
tan(v) \tan(v) 00 13\dfrac{1}{\sqrt{3}} 11 3\sqrt{3} Odef.
Vinkel vv 120120^\circ 135135^\circ 150150^\circ 180180^\circ
sin(v) \sin(v) 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00
cos(v) \cos(v) -12\text{-}\dfrac{1}{2} -12\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}} -32\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1\text{-}1
tan(v) \tan(v) -3\text{-}\sqrt{3} -1\text{-} 1 -13\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}} 00

För många av bevisen behöver man använda två typer av rätvinkliga trianglar: en likbent och en halv liksidig triangel med vinklar och längder som i figuren.

För att härleda värdena i tabellen använder man även enhetscirkeln samt sambanden x=cos(v)x=\cos(v), y=sin(v)y=\sin(v) och tan(v)=sin(v)cos(v)\tan(v)=\frac{\sin(v)}{\cos(v)}.

Vinkeln 00^\circ

Bevis

sin(0)=0\sin(0^\circ)=0

Bevis

cos(0)=1\cos(0^\circ)=1

Bevis

tan(0)=0\tan(0^\circ)=0

Vinkeln 3030^\circ

Bevis

sin(30)=12\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}

Bevis

cos(30)=32\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Bevis

tan(30)=13\tan(30^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}

Vinkeln 4545^\circ

Bevis

sin(45)=12\sin(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Bevis

cos(45)=12\cos(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Bevis

tan(45)=1\tan(45^\circ)=1

Vinkeln 6060^\circ

Bevis

sin(60)=32\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Bevis

cos(60)=12\cos(60^\circ)=\dfrac{1}{2}

Bevis

tan(60)=3\tan(60^\circ)=\sqrt{3}

Vinkeln 9090^\circ

Bevis

sin(90)=1\sin(90^\circ)=1

Bevis

cos(90)=0\cos(90^\circ)=0

Bevis

tan(90)\tan(90^\circ) — odefinierat

Vinkeln 120120^\circ

Bevis

sin(120)=32\sin(120^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Bevis

cos(120)=-12\cos(120^\circ)=\text{-}\dfrac{1}{2}

Bevis

tan(120)=-3\tan(120^\circ)=\text{-}\sqrt{3}

Vinkeln 135135^\circ

Bevis

sin(135)=12\sin(135^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Bevis

cos(135)=-12\cos(135^\circ)=\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Bevis

tan(135)=-1\tan(135^\circ)=\text{-}1

Vinkeln 150150^\circ

Bevis

sin(150)=12\sin(150^\circ)=\dfrac{1}{2}

Bevis

cos(150)=-32\cos(150^\circ)=\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Bevis

tan(150)=-13\tan(150^\circ)=\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}}

Vinkeln 180180^\circ

Bevis

sin(180)=0\sin(180^\circ)=0

Bevis

cos(180)=-1\cos(180^\circ)=\text{-}1

Bevis

tan(180)=0\tan(180^\circ)=0