Trigonometri

Trigonometriska funktioner

Teori

Trigonometriska funktioner beskriver samband mellan vinklar och sidor i trianglar. Några exempel på trigonometriska funktioner är tangens, sinus och cosinus. Dessa utgår ifrån en vinkel och anger förhållandet mellan två av sidorna i den rätvinkliga triangel som vinkeln spänner upp. Funktionerna definieras på följande sätt.

tan(v)=Motstående katetNärliggande katet\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}

sin(v)=Motstående katetHypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}

cos(v)=Närliggande katetHypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}

Hypotenusan är triangelns längsta sida och finns alltid mittemot den räta vinkeln. Vilken sida som är närliggande respektive motstående katet varierar beroende på vilken vinkel man studerar.

Byt vinkel


Notera att funktionerna alltså inte säger någonting om de individuella sidlängderna, utan endast om förhållandet mellan dem. Känner man till en vinkel och en sida kan man dock använda en trigonometrisk funktion för att bestämma en annan sida. Med arcusfunktionerna kan man också beräkna en vinkel om man vet förhållandet mellan två av triangelns sidor.

Exempel

Bestäm trigonometriskt värde med triangeln

Standardvinklar i rätvinkliga trianglar

Många trigonometriska värden är irrationella och kan vara omständliga att räkna med, exempelvis följande. cos(30)=0.86602sin(45)=0.70710tan(60)=1.73205\begin{aligned} &\cos(30^\circ)=0.86602 \ldots\\[0.6em] &\sin(45^\circ)=0.70710 \ldots\\[0.6em] &\tan(60^\circ)=1.73205 \ldots \end{aligned} Dessa vinklar är några av de så kallade standardvinklarna, för vilka man kan ta fram exakta värden och därmed göra beräkningar mer kortfattade.

Vinkel vv 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ
sin(v) \sin(v) 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
cos(v) \cos(v) 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2}
tan(v) \tan(v) 13\dfrac{1}{\sqrt{3}} 11 3\sqrt{3}

Värdena i tabellen finns på formelbladet, men man kan förstå varifrån de kommer med hjälp av två typer av rätvinkliga trianglar. Den ena är en likbent triangel med hypotenusan 11 (grön) och den andra en liksidig triangel med sidan 1,1, som halverats (blå).

Härledning

Vinklar och sidor i den likbenta och halva liksidiga triangeln

Vinkeln 3030^\circ

För standardvinkeln 3030^\circ används den halva liksidiga triangeln.

Med definitionerna för sinus, cosinus och tangens kan man härleda de exakta trigonometriska värdena.

Härledning

sin(30)=12\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}

Härledning

cos(30)=32\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Härledning

tan(30)=13\tan(30^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}

Vinkeln 4545^\circ

För att härleda de exakta trigonometriska värdena för 4545^\circ används istället den likbenta triangeln.

Det spelar ingen roll vilken av 4545^\circ-vinklarna man utgår ifrån.

Härledning

sin(45)=12\sin(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Härledning

cos(45)=12\cos(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Härledning

tan(45)=1\tan(45^\circ)=1

Vinkeln 6060^\circ

För att ta fram de trigonometriska värdena för 6060^\circ använder man ännu en gång den halva liksidiga triangeln.

Härledningarna liknar de för 3030^\circ-vinkeln. För sinus och cosinus är de identiska fast omvända, dvs. sin(30)=cos(60)\sin(30^\circ)=\cos(60^\circ) och cos(30)=sin(60).\cos(30^\circ)=\sin(60^\circ).

Härledning

sin(60)=32\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Härledning

cos(60)=12\cos(60^\circ)=\dfrac{1}{2}

Härledning

tan(60)=3\tan(60^\circ)=\sqrt{3}