Trigonometriska funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Byt vinkel

Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel vv definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.

sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}

cos(v)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}

tan(v)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}

De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är 0.50.5 betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna. För att bestämma vinklar baserat på sidor använder man istället arcusfunktionerna.

Uppgift Visa lösning Visa lösning
Regel

Standardvinklar i rätvinkliga trianglar

Många trigonometriska värden är irrationella och kan vara omständliga att räkna med, exempelvis följande. cos(30)=0.86602sin(45)=0.70710tan(60)=1.73205\begin{aligned} &\cos(30^\circ)=0.86602 \ldots\\[0.6em] &\sin(45^\circ)=0.70710 \ldots\\[0.6em] &\tan(60^\circ)=1.73205 \ldots \end{aligned} Dessa vinklar är några av de så kallade standardvinklarna, för vilka man kan ta fram exakta värden och därmed göra beräkningar mer kortfattade.

Vinkel vv 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ
sin(v) \sin(v) 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
cos(v) \cos(v) 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2}
tan(v) \tan(v) 13\dfrac{1}{\sqrt{3}} 11 3\sqrt{3}

Värdena i tabellen finns på formelbladet, men man kan förstå varifrån de kommer med hjälp av två typer av rätvinkliga trianglar. Den ena är en likbent triangel med hypotenusan 11 (grön) och den andra en liksidig triangel med sidan 1,1, som halverats (blå).

Härledning

Vinklar och sidor i den likbenta och halva liksidiga triangeln
Regel

Vinkeln 3030^\circ

För standardvinkeln 3030^\circ används den halva liksidiga triangeln.

Med definitionerna för sinus, cosinus och tangens kan man härleda de exakta trigonometriska värdena.

Härledning

sin(30)=12\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}

Härledning

cos(30)=32\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Härledning

tan(30)=13\tan(30^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}
Regel

Vinkeln 4545^\circ

För att härleda de exakta trigonometriska värdena för 4545^\circ används istället den likbenta triangeln.

Det spelar ingen roll vilken av 4545^\circ-vinklarna man utgår ifrån.

Härledning

sin(45)=12\sin(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Härledning

cos(45)=12\cos(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Härledning

tan(45)=1\tan(45^\circ)=1
Regel

Vinkeln 6060^\circ

För att ta fram de trigonometriska värdena för 6060^\circ använder man ännu en gång den halva liksidiga triangeln.

Härledningarna liknar de för 3030^\circ-vinkeln. För sinus och cosinus är de identiska fast omvända, dvs. sin(30)=cos(60)\sin(30^\circ)=\cos(60^\circ) och cos(30)=sin(60).\cos(30^\circ)=\sin(60^\circ).

Härledning

sin(60)=32\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Härledning

cos(60)=12\cos(60^\circ)=\dfrac{1}{2}

Härledning

tan(60)=3\tan(60^\circ)=\sqrt{3}

{{ 'ml-heading-exercises' | message }}