{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Geometri

Trigonometri - tangens sinus och cosinus

Teori

Trigonometri

Trigonometri handlar om sambanden mellan en triangels vinklar och sidlängder. Ordet är en sammanslagning av de grekiska orden "trigonon" och "métron" som betyder "tre vinklar" respektive "mått".

Trigonometriska funktioner

Några exempel på trigonometriska funktioner är tangens, sinus och cosinus (förkortas tan, sin respektive cos). Dessa funktioner utgår ifrån en vinkel och anger förhållandet mellan två av sidorna i den rätvinkliga triangel som vinkeln spänner upp. Om vinkeln v är placerad som i figuren definieras förhållandena tan(v),\tan(v), sin(v)\sin(v) och cos(v)\cos(v) på följande sätt.

Wordlist Trigonometriska funktioner 1.svg

Förhållandet är alltid samma för en viss vinkel v,v, oavsett triangelns storlek eftersom trianglarna som spänns upp av vinkeln är likformiga. Om den motstående kateten i en triangel t.ex. är dubbelt så lång som den närliggande är tangensvärdet tan(v)=21=2. \tan(v)=\dfrac{2}{1}=2.

Funktionerna säger alltså ingenting om de individuella sidlängderna, utan endast om förhållandet mellan dem. Men om man vet en vinkel och en sida kan man använda en trigonometrisk funktion för att bestämma en annan sida. Man använder då räknarens knappar för tan, sin och cos.

Exempel

Bestäm tangens, sinus och cosinus för vinklar

Bestäm tangens-, sinus- och cosinusvärdet för vinkeln vv.

Vad ar vinkelns trignometriska varde121.svg

Genom att använda sambanden för tangens, cosinus och sinus kan vi bestämma de trigonometriska värdena för vv.

tan(v)
För att bestämma tangens för vinkeln behöver vi triangelns kateter, alltså de två kortare sidorna. Den närliggande kateten är den katet som ligger närmast vinkeln vv, alltså den med längden 4, och den motstående kateten är den som är längst bort, alltså den med längden 3. Vi sätter in dessa sidor i definition för tangens.

,
tan(v)=34\tan (v) = \dfrac{{\color{#0000FF}{3}}}{{\color{#009600}{4}}}
Skriv i decimalform
tan(v)=0.75\tan(v) = 0.75

Vinkeln vv har alltså tangensvärdet 0.75.

sin(v)
Vi använder definitionen av sinus för att hitta sinusvärdet för vv. Då behöver vi den motstående kateten, som vi vet har längden 3, och hypotenusan, som är den längsta sidan, alltså den med längden 5. Vi sätter in detta i definitionen för sinus.

, Hypotenusa=5\text{Hypotenusa}={\color{#009600}{5}}
sin(v)=35\sin(v)=\dfrac{3}{5}
Skriv i decimalform
sin(v)=0.6\sin(v)=0.6

Vinkeln vv har alltså sinusvärdet 0.5.

cos(v)

Till sist använder vi definitionen av cosinus för att beräkna cosinusvärdet av vv. Då delar vi den närliggande kateten, 4, med hypotenusan, 5.

, Hypotenusa=5\text{Hypotenusa}={\color{#009600}{5}}
cos(v)=45\cos(v)=\dfrac{4}{5}
Skriv i decimalform
cos(v)=0.8\cos(v)=0.8

Cosinusvärdet för vv är alltså 0.8.

Visa mer

Exempel

Ska tan, sin eller cos användas?

Vi ska bestämma längden av sidan xx i var och en av trianglarna. Vilken av de trigonometriska funktionerna tangens, sinus eller cosinus måste vi använda i den gröna, röda respektive blå triangeln för att göra detta?

Skill tansincos 12.svg

Vilken av funktionerna vi använder beror på vad vi vet om varje triangel, dvs. vilken sida vi söker, och vilken av de övriga sidorna som är känd. Det är bra att ha definitionerna till hands, de finns t.ex. på formelbladet.

Vi börjar med den gröna triangeln. Om vi utgår ifrån vinkeln, 25,25 ^\circ, ser vi att 36 är närliggande katet eftersom den ligger närmast vinkeln och vi söker kateten som står mittemot vinkeln, dvs. den motstående kateten.

Skill tansincos ny.svg

Detta innebär att vi måste använda definitionen för tangens, den enda av funktionerna som beror av båda kateterna och inte hypotenusan.

Triangel Känd sida & Sökt sida Använd
Grön Närliggande & Motstående Tan
Röd
Blå

Genom att rotera övriga trianglar blir det enklare att bestämma vilken definiton vi ska använda.

Skill tansincos 2.svg

I den röda triangeln är vinkelns motstående katet känd och vi söker hypotenusan. Vi måste därför använda sinus. I den blå triangeln däremot söker vi hypotenusan och känner till den närliggande kateten och måste alltså använda cosinus. Vi sammanfattar.

Triangel Känd sida & Sökt sida Använd
Grön Närliggande & Motstående Tan
Röd Motstående & Hypotenusan Sin
Blå Närliggande & Hypotenusan Cos
Visa mer

Digitala verktyg

Tan, sin och cos på räknare
Eftersom de trigonometriska funktionerna använder vinklar som argument måste man göra en inställning som anger om vinklarna ska anges i grader eller radianer. Tryck på knappen MODE.
TI-meny som visar MODE

Radianer är förinställt. Vill man byta till grader går man ner till tredje raden med piltangenterna och ställer sig på Degree. Därefter trycker man på knappen ENTER.

TI-meny som visar MODE

Inställningen gäller tills man aktivt går in och ändrar den. För att sedan beräkna t.ex. ett tangensvärde för en viss vinkel trycker man på knappen TAN. Då skrivs första parentesen ut automatiskt. Skriv sedan vinkeln och slutparentes och tryck ENTER för att få tangensvärdet.

TI-beräkning som visar tangens
Visa mer

Exempel

Bestäm sida utifrån vinkel

Bestäm sidan xx i triangeln.

Skills trigsida 1.svg

För att bestämma xx går det lika bra att använda sinus eller cosinus, och för att visa det kommer vi använda båda sätten.

Cosinus
Vi börjar med cosinus, som har definitionen

Sidan xx är närliggande katet till vinkeln 30,\mathbf{30^\circ}, och hypotenusan har längden 1.8 längdenheter. Vi sätter in dessa värden och löser ut xx precis som i en vanlig ekvation.

Sätt in uttryck
cos(30)=x1.8\cos (30^\circ) = \dfrac{x}{1.8}
cos(30)1.8=x\cos (30^\circ) \cdot 1.8 = x
x=cos(30)1.8x = \cos (30^\circ) \cdot 1.8

För att beräkna värdet på xx använder vi räknarens cos-knapp. Räknaren ska vara inställd på grader.

TI-räknare med cosinus

Sidan xx är alltså ca 1.561.56 le.

Sinus
Vi ska nu beräkna sidan xx med sinus, som har definitionen

Hypotenusan är fortfarande 1.8, xx är nu den motstående kateten, vilket innebär att vv måste vara vinkeln 60.\mathbf{60^\circ}. Vi använder definitionen för sinus och använder sedan räknaren på motsvarande sätt som ovan, men nu sin-knappen.

Sätt in uttryck
sin(60)=x1.8\sin (60^\circ) = \dfrac{x}{1.8}
sin(60)1.8=x\sin (60^\circ) \cdot 1.8 = x
x=sin(60)1.8x = \sin (60^\circ) \cdot 1.8
x=1.558845x = 1.558845\ldots
x=1.56x = 1.56

Vi får samma svar. Sidlängden xx är 1.561.56 le.

Visa mer

Uppgifter