Integraler

Tolka integraler

Teori

Integraler som modeller

Integraler kan användas i många verkliga situationer där värden varierar. Det kan handla om att beräkna

  • körsträckan för en bil som ändrar sin hastighet,
  • area eller volym för föremål med olika bredd på olika ställen,
  • energi förbrukad av en lampa med varierande effekt (dvs. en dimmer).

Den vanliga formeln för att beräkna körsträcka är s=vt, s = vt, där vv är bilens fart och tt tiden den kör. Men om bilen kör olika fort vid olika tidpunkter bör farten beskrivas som en funktion av tiden, v(t).v(t). Då beräknas körsträckan mellan tidpunkterna t1t_1 och t2t_2 istället med integralen s=t1t2v(t)dt. s = \displaystyle{\int_{t_1}^{t_2}} v(t) \, \text{d}t.

Man kan tänka på detta som samma formel s=vt,s = vt, fast upprepad oändligt många gånger. Under ett oändligt kort tidsintervall dtt hinner farten inte ändras. Då är hastigheten v(t)v(t) konstant, så bilen färdas sträckan v(t)dtv(t)\,\text dt på den tiden. Integralen summerar alla sådana delsträckor mellan t1t_1 och t2t_2, och på så sätt beräknas den totala sträckan.

Sträcka, hastighet och acceleration

Sambandet mellan sträcka, hastighet och acceleration är en väldigt vanlig tillämpning av integraler. Derivatan av sträcka är hastighet, och därför är sträcka integralen av hastighet. På samma sätt kan hastighet deriveras till acceleration, vilket innebär att hastighet beräknas som integralen av acceleration.

samband sträcka hastighet acceleration

På samma sätt kan man utvidga den här kopplingen mellan derivata och integral i ett allmänt fall, för någon funktion f(x).f(x).

samband derivata och integral
Tolkningen av en integral varierar från fall till fall, men en derivata beskriver en förändringshastighet och på motsvarande sätt kan en integral tolkas som en sammanlagd förändring. Om man har en modell för hur något förändras (t.ex. antal födslar per dag) kan man, med hjälp av integraler, beräkna hur mycket som förändrats (antal nyfödda på ett år).

Enhet för integral

Som hjälp för att tolka en integral i ett verkligt sammanhang kan man använda integralens enhet. Den hittar man genom att multiplicera enheterna på koordinataxlarna.

Regel

Lösa problem med integraler

Integraler kan användas för att lösa problem när något förändras, t.ex. att beräkna sträckan en cyklist färdas under en cykeltur då farten varierar. Om cyklistens hastighet under en viss tid beskrivs med funktionen f(t)=0.5t0.002t2, f(t)=0.5t-0.002t^2, där tt är tiden i sekunder efter att cykeln börjar rulla och f(t)f(t) är hastigheten i m/s, kan man beräkna sträckan som cyklisten färdas de första 3030 sekunderna med en integral.

Man ska beräkna sträckan under de 3030 första sekunderna dvs. i intervallet 0300-30 sekunder. Det betyder att integrationsgränserna är 00 och 30.30.

Hastighet beskriver en förändring av sträcka. Hastigheten 55 m/s innebär t.ex. att sträckan ökar med 55 meter varje sekund. Den totala sträckan beräknas därför med integralen av hastigheten. Sträckan under de 3030 första sekunderna ges då av 030(0.5t0.002t2)dt. \int_0^{30}\left(0.5t-0.002t^2\right)\, \text dt.

För att lösa integralen börjar man med att bestämma en primitiv funktion till f(t).f(t).

f(t)=0.5t0.002t2f(t)=0.5t-0.002t^2
F(t)=D-1(0.5t)D-1(0.002t2)F(t)=D^{\text{-}1}(0.5t)-D^{\text{-}1}\left(0.002t^2\right)
F(t)=0.5t22D-1(0.002t2)F(t)=\dfrac{0.5t^2}{2}-D^{\text{-}1}\left(0.002t^2\right)
F(t)=0.5t220.002t33F(t)=\dfrac{0.5t^2}{2}-\dfrac{0.002t^3}{3}

Nu kan man använda denna primitiva funktion för att beräkna integralen.

030(0.5t0.002t2)dt\displaystyle\int_{0}^{30}\left(0.5t-0.002t^2 \right) \, \text d t
abf(t) dt=[F(t)]ab\displaystyle \int_a^b f(t) \ \text dt=[F(t)]_a^b
[0.5t220.002t33]030\left[\dfrac{0.5t^2}{2}-\dfrac{0.002t^3}{3}\right]_0^{30}
[F(t)]030=F(30)F(0)\left[F(t)\right]_{{\color{#009600}{0}}}^{\color{#0000FF}{30}}=F\left({\color{#0000FF}{30}}\right)-F\left({\color{#009600}{0}}\right)
0.530220.0023033(0.50220.002033)\dfrac{0.5\cdot{\color{#0000FF}{30}}^2}{2}-\dfrac{0.002\cdot{\color{#0000FF}{30}}^3}{3}-\left(\dfrac{0.5\cdot{\color{#009600}{0}}^2}{2}-\dfrac{0.002\cdot{\color{#009600}{0}}^3}{3}\right)
0.530220.0023033\dfrac{0.5\cdot{\color{#0000FF}{30}}^2}{2}-\dfrac{0.002\cdot{\color{#0000FF}{30}}^3}{3}
0.590020.002270003\dfrac{0.5\cdot900}{2}-\dfrac{0.002\cdot27\,000}{3}
0.54500.00290000.5\cdot450-0.002\cdot9000
22518225-18
207207

Integralens värde är 207.207.

Eftersom integralens värde är 207207 hinner cyklisten alltså 207 meter 207 \text{ meter} under de 3030 första sekunderna. Man kan kontrollera att det är en sträcka man har räknat ut. f(t)f(t) har enheten m/s och tt har enheten s. Det betyder att integralen får enheten mss=m. \dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \text{s}=\text{m}.

Exempel

Ställ upp och beräkna integralen