Tolka andragradsfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Andragradsfunktioner som modeller

Andragradsfunktioner kan beskriva många saker i verkligheten, t.ex. en kastparabel som visar banan för en kula som stöts.

Shotputter.svg

Det kan därför vara intressant att undersöka hur några av andragradskurvans egenskaper kan tolkas i en verklig situation.

Begrepp

Kurvans extremvärde

En andragradskurvas högsta eller lägsta punkt kallas för extrempunkt. Där antar funktionen sitt extremvärde, dvs. sitt största eller minsta yy-värde. Detta kan t.ex. representera den högsta höjden över marken för kulan som kastas.

Shotputter i koordsys.svg
Begrepp

Skärningspunkten med y-axeln

Kurvans skärningspunkt med yy-axeln tolkas ofta som kaströrelsens början, och kan därför avläsas som starthöjden över marken när kulan kastas.

Shotputter i koordsys skärn yaxel.svg
Begrepp

Eventuella nollställen

Grafens ena nollställe representerar ofta den punkt då det som färdas slår i marken, vilket gör det möjligt att beräkna hur långt kastet är.

Shotputter i koordsys nollställe.svg
Metod

Bestäm extrempunkt för en andragradsfunktion

För att hitta extrempunkten för en andragradsfunktion, t.ex.

f(x)=x212x+37, f(x) = x^2 - 12x + 37, använder man att den punkten alltid ligger på symmetrilinjen.

Med valfri metod hittar man först symmetrilinjen till andragradsfunktionen. Man kan t.ex. sätta funktionsuttrycket lika med 00 och använda pqpq-formeln.

x212x+37=0x^2 - 12x + 37=0
x=--122±(-122)237x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 12}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 12}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{37}}}
x=-(-6)±(-122)237x=\text{-} (\text{-} 6)\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-} 12}{2}\right)^2 - 37}
x=6±(-122)237x=6\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-} 12}{2}\right)^2 - 37}

Värdet framför rotuttrycket är 6,6,xs=6.x_s = 6.

Eftersom symmetrilinjen alltid går genom extrempunkten sätter man in xx-värdet för den och beräknar funktionsvärdet där.
f(x)=x212x+37f(x) = x^2 - 12x + 37
f(6)=62126+37f({\color{#0000FF}{6}}) = {\color{#0000FF}{6}}^2 - 12 \cdot {\color{#0000FF}{6}} + 37
f(6)=3672+37f(6) = 36 - 72 + 37
f(6)=1f(6) = 1

Funktionens extrempunkt är alltså (6,1).(6,1).

I funktionen f(x)=x212x+37f(x)=x^2-12x+37 är x2x^2-termen positiv. Grafens form blir då en "glad mun", så (6,1)(6,1) är en minimipunkt.

Uppgift
Bestäm extrempunkten till y=3x2+12x9y=3x^2+12x-9 och avgör om det är en maximi- eller minimipunkt.
Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Funktionen f(x)=3x0.5x2f(x)=3x-0.5x^2 beskriver höjden på en tunnelöppning, där xx är avståndet från tunnelöppningens vänstra hörn. Både xx och f(x)f(x) är angivna i meter. Hur bred och hög är tunneln?

Visa lösning Visa lösning

{{ 'ml-heading-exercises' | message }}

{{ subject.displayTitle }}
Begrepp

Andragradsfunktioner som modeller

Andragradsfunktioner kan beskriva många saker i verkligheten, t.ex. en kastparabel som visar banan för en kula som stöts.

Shotputter.svg

Det kan därför vara intressant att undersöka hur några av andragradskurvans egenskaper kan tolkas i en verklig situation.

Begrepp

Kurvans extremvärde

En andragradskurvas högsta eller lägsta punkt kallas för extrempunkt. Där antar funktionen sitt extremvärde, dvs. sitt största eller minsta yy-värde. Detta kan t.ex. representera den högsta höjden över marken för kulan som kastas.

Shotputter i koordsys.svg
Begrepp

Skärningspunkten med y-axeln

Kurvans skärningspunkt med yy-axeln tolkas ofta som kaströrelsens början, och kan därför avläsas som starthöjden över marken när kulan kastas.

Shotputter i koordsys skärn yaxel.svg
Begrepp

Eventuella nollställen

Grafens ena nollställe representerar ofta den punkt då det som färdas slår i marken, vilket gör det möjligt att beräkna hur långt kastet är.

Shotputter i koordsys nollställe.svg
Metod

Bestäm extrempunkt för en andragradsfunktion

För att hitta extrempunkten för en andragradsfunktion, t.ex.

f(x)=x212x+37, f(x) = x^2 - 12x + 37, använder man att den punkten alltid ligger på symmetrilinjen.

Med valfri metod hittar man först symmetrilinjen till andragradsfunktionen. Man kan t.ex. sätta funktionsuttrycket lika med 00 och använda pqpq-formeln.

x212x+37=0x^2 - 12x + 37=0
x=--122±(-122)237x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 12}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 12}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{37}}}
x=-(-6)±(-122)237x=\text{-} (\text{-} 6)\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-} 12}{2}\right)^2 - 37}
x=6±(-122)237x=6\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-} 12}{2}\right)^2 - 37}

Värdet framför rotuttrycket är 6,6,xs=6.x_s = 6.

Eftersom symmetrilinjen alltid går genom extrempunkten sätter man in xx-värdet för den och beräknar funktionsvärdet där.
f(x)=x212x+37f(x) = x^2 - 12x + 37
f(6)=62126+37f({\color{#0000FF}{6}}) = {\color{#0000FF}{6}}^2 - 12 \cdot {\color{#0000FF}{6}} + 37
f(6)=3672+37f(6) = 36 - 72 + 37
f(6)=1f(6) = 1

Funktionens extrempunkt är alltså (6,1).(6,1).

I funktionen f(x)=x212x+37f(x)=x^2-12x+37 är x2x^2-termen positiv. Grafens form blir då en "glad mun", så (6,1)(6,1) är en minimipunkt.

Uppgift
Bestäm extrempunkten till y=3x2+12x9y=3x^2+12x-9 och avgör om det är en maximi- eller minimipunkt.
Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Funktionen f(x)=3x0.5x2f(x)=3x-0.5x^2 beskriver höjden på en tunnelöppning, där xx är avståndet från tunnelöppningens vänstra hörn. Både xx och f(x)f(x) är angivna i meter. Hur bred och hög är tunneln?

Visa lösning Visa lösning
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} chrome_reader_mode
{{ 'mldesktop-selftest-label' | message }}
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}