Analytisk geometri

Tolka andragradsfunktioner

Teori

Andragradsfunktioner som modeller

Andragradsfunktioner kan beskriva många saker i verkligheten, t.ex. en kastparabel. Exempelvis kan en andragradsfunktion beskriva hur en kula rör sig efter att den har stötts, eller hur en tennisboll studsar mellan två planhalvor.

Shotputter.svg

Det kan därför vara intressant att undersöka hur några av andragradskurvans egenskaper kan tolkas i en verklig situation.

Kurvans extremvärde

Andragradskurvans extremvärde är det största eller minsta värdet för funktionen. Det kan till exempel vara den högsta höjden över marken för en boll som kastas, eller den maximala vinsten för ett företag.

Skärningspunkten med yy-axeln

Där kurvan skär yy-axeln tolkas ofta som en kaströrelses början, och kan därför avläsas som starthöjden över marken när något kastas.

Eventuella nollställen

Grafens ena nollställe representerar ofta den punkt då bollen slår i marken, vilket gör det möjligt att beräkna kastets längd.

Bestäm extrempunkt för en andragradsfunktion

För att hitta extrempunkten för en andragradskurva, t.ex. f(x)=x212x+37,f(x) = x^2 - 12x + 37, gör man likadant oavsett om den har ett maximum eller minimum.

Med valfri metod hittar man först symmetrilinjen till andragradsfunktionen. Man kan t.ex. sätta funktionen lika med 00 och använda pqpq-formeln.

x212x+37=0x^2 - 12x + 37=0
x=--122±(-122)237x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 12}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 12}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{37}}}
x=-(-6)±(-122)37x=\text{-} (\text{-} 6)\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-} 12}{2}\right) - 37}
x=6±(-122)37x=6\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-} 12}{2}\right) - 37}

Värdet framför rotuttrycket är 6,6,xs=6.x_s = 6.

Andragradsfunktionens extrempunkt ligger på symmetrilinjen, så för att beräkna det största eller minsta yy-värdet sätter man in symmetrilinjen i funktionsuttrycket.
f(x)=x212x+37f(x) = x^2 - 12x + 37
x=6x={\color{#0000FF}{6}}
f(6)=62126+37f({\color{#0000FF}{6}}) = {\color{#0000FF}{6}}^2 - 12 \cdot {\color{#0000FF}{6}} + 37
f(6)=3672+37f(6) = 36 - 72 + 37
f(6)=1f(6) = 1

Funktionen antar alltså sitt största eller minsta värde i punkten (6,1).(6,1).

I funktionen f(x)=x212x+37f(x)=x^2-12x+37 är x2x^2-termen positiv. Grafens form blir då en "glad mun," så (6,1)(6,1) är en minimipunkt.

Ett annat sätt att hitta extrempunkten är att använda räknarens verktyg för detta.

Exempel

Bestäm extrempunkten för andragradsfunktionen med hjälp av symmetrilinje

Digitala verktyg

Hitta extremvärde för andragradsfunktion med räknare

Exempel

Tolka andragradsfunktionen