Regler för derivator

Talet e

Teori

Talet ee är en matematisk konstant som fått sitt namn från matematikern Leonhard Euler. Konstanten är irrationell, vilket innebär att den har en icke-periodisk oändlig decimalutveckling.

e=2.7182818284e=2.7182818284\ldots

Talet ee är användbart när man deriverar exponentialfunktioner. Framförallt eftersom exe^x är sin egen derivata, dvs.

f(x)=exomf(x)=ex. f'(x)=e^x \quad \text{om} \quad f(x)=e^x.

Naturliga logaritmen

Den naturliga logaritmen, som skrivs ln,\ln, är en logaritm med basen ee. Det innebär att ln\ln av ett tal är den exponent som ee ska upphöjas till för att få talet.

x=ln(y)y=exx=\ln(y) \quad \Leftrightarrow \quad y=e^x

Digitala verktyg

Talet ee på räknare

Digitala verktyg

Logaritmer på räknare

Grundläggande samband för naturliga logaritmen

Ur definitionen av naturliga logaritmen får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att "naturliga logaritmen av" och "ee upphöjt till" tar ut varandra.

Regel

eln(a)=ae^{\ln(a)}=a

Regel

ln(ea)=a\ln\left(e^a\right)=a

Potensregel för naturliga logaritmen

Räkneregler för naturliga logaritmen motsvarar de för tiologaritmen.

Regel

ln(ab)=bln(a)\ln\left(a^b\right)=b\cdot \ln(a)

Regler för naturliga logaritmen

Räknereglerna för den naturliga logaritmen motsvarar de som finns för tiologaritmen.

Regel

ln(ab)=bln(a)\ln\left(a^b\right)=b\cdot \ln(a)

Regel

ln(ab)=ln(a)+ln(b)\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)

Regel

ln(ab)=ln(a)ln(b)\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)

Exempel

Lös ekvationer med ee och ln\ln