Aritmetik

Talbaser

Teori

Platsvärde

Varje siffra i ett tal är värt olika mycket, även om det är samma siffra. Treorna i 3333 är inte lika mycket värda, eftersom den vänstra står på tiotalsplatsen och den högra på entalsplatsen. Man säger att deras platsvärden är 1010 och 11. Platsvärdena kan användas för att skriva talet på så kallad utvecklad form:

310+31. 3\cdot 10+3\cdot 1.

Talbaser

En talbas anger hur man ska tolka platsvärdet på en siffra i ett tal. I bas tio, som används i vårt vanliga decimala talsystem, används 10-potenser. Exempelvis är talet 235 en summa av sådana: 235=2102+3101+5100==2100+310+51,\begin{aligned} {\color{#0000FF}{235}} &={\color{#0000FF}{2}} \cdot 10^2 + {\color{#0000FF}{3}} \cdot 10^1 + {\color{#0000FF}{5}} \cdot 10^0= \\ &=2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 5 \cdot 1, \end{aligned} där siffrorna i talet anger hur många det finns av varje potens. Människor använder bas tio eftersom vi har tio fingrar, men t.ex. myror skulle kunna räkna baserat på deras antal ben, alltså i talbas sex. Talet 235 i bas sex skrivs 235sex235_\text{sex} och är uppbyggt av sexpotenser. Första siffran från höger anger antalet heltal (60=1)(6^0=1), andra siffran antalet sexor (61=6)(6^1=6), tredje antalet sexor i kvadrat (62=36)(6^2=36) osv.: 235sex=262+361+560=95. {\color{#0000FF}{235}}_\text{sex} = {\color{#0000FF}{2}} \cdot 6^2 + {\color{#0000FF}{3}} \cdot 6^1 + {\color{#0000FF}{5}} \cdot 6^0 = 95. Talet 95 i uträkningen antas vara skrivet i bas tio, eftersom inget annat anges. Lägg märke till att man i bas sex bara får man bara använda siffrorna 05.0 - 5. Behövs ett tal större än 5, kombineras flera siffror till ett nytt. Talet 6 skulle skrivas 10sex{\color{#0000FF}{10}}_\text{sex} eftersom det är uppbyggt av en sexa (161{\color{#0000FF}{1}} \cdot 6^1) och noll heltal (060{\color{#0000FF}{0}} \cdot 6^0). I tabellen nedan ska talet t.ex. 10 i bas sju tolkas som 10sju10_\text{sju}, talet 13 i bas fem ska tolkas som 13fem.13_\text{fem}.

Bas tio 11 22 33 44 55 66 77
Bas sju 11 22 33 44 55 66 1010
Bas fem 11 22 33 44 1010 1111 1212
Bas tre 11 22 1010 1111 1212 2020 2121
Bas två 11 1010 1111 100100 101101 110110 111111
Två vanliga talbaser är 2 och 16, som båda används i datorer. Att använda talbas 2 kallas att man räknar binärt och då finns det bara ettor och nollor. Används talbas 16 räknar man hexadecimalt. För talbas 16 och andra baser över 10 krävs det fler siffror än de vanliga 09,0 - 9, och då brukar man använda bokstäver. A står då för 10, B för 11 osv.

Exempel

Konvertera tal till bas tio

Exempel

Konvertera tal från bas tio

Exempel

Konvertera från hexadecimalt