Ekonomi och matematik

System av olikheter

Teori

Ett system av olikheter är två eller flera olikheter som ska gälla samtidigt. Exempelvis anger följande system av olikheter tre krav som ställs på de två variablerna som ingår, xx och y.y. {y-0.5x+3y>1x0 \begin{cases}y \leq \text{-} 0.5x+3 \\ y > 1 \\ x \geq 0 \end{cases} System av olikheter illustreras ofta grafiskt i ett koordinatsystem, där olikheterna tillsammans definierar det område där alla är uppfyllda samtidigt.

Rita område utifrån system av olikheter

Enskilda olikheter kan tolkas grafiskt som området över eller under en kurva i ett koordinatsystem. Genom att rita ut dessa områden för alla olikheter i ett system av olikheter kan man hitta det område som uppfyller alla samtidigt. Exempelvis kan man rita och markera området som representeras av {x+y<7x+2y<10x2y1 \begin{cases}x+y<7 \\ x+2y<10 \\ x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases} med denna metod.

För att enklare kunna rita olikheterna löser man ut yy i de där det är möjligt. Den tredje olikheten innehåller inget yy så den låter man vara.

{x+y<7(I)x+2y<10(II)x2(III)y1(IV)\begin{cases}x+y<7 & \, \, \, \, \text {(I)}\\ x+2y<10 & \, \, \, \text {(II)}\\ x \geq 2 & \, \, \text {(III)}\\ y \geq 1 & \, \, \text {(IV)}\end{cases}
{y<-x+72y<-x+10x2y1\begin{cases}y<\text{-} x + 7 \\ 2y<\text{-} x + 10 \\ x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases}
(II): {\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}} VLundefined2<HLundefined2\left.\text{VL}\middle/2\right.<\left.\text{HL}\middle/2\right.
{y<-x+7y<-0.5x+5x2y1\begin{cases}y<\text{-} x + 7 \\ y<\text{-} 0.5x + 5 \\ x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases}

För att rita en olikhet börjar man med randen. Om det är en strikt olikhet ritas en streckad linje och annars är den heldragen. Beroende på vilken sorts olikhet det är markerar man sedan området på ena eller andra sidan om linjen. I det här fallet kan man exempelvis börja med den tredje olikheten, som anger att xx ska vara större än eller lika med 2,2, vilket motsvaras av området till höger om x=2.x=2.

Enligt den fjärde olikheten ska yy vara större än eller lika med 1,1, vilket man markerar i samma koordinatsystem. Det mörkaste området anger då där båda villkoren är uppfyllda.

Olikheten y<-x+7y<\text{-} x + 7 tolkas som området där yy är mindre än värdet på y=-x+7y=\text{-} x + 7 för ett visst x.x. Man börjar alltså med att rita ut linjen y=-x+7y = \text{-} x + 7 och markerar sedan området under denna. Eftersom olikheten är strikt ritas linjen streckad.

På motsvarande sätt tolkas olikheten y<-0.5x+5y<\text{-} 0.5x + 5 som området under den räta linjen y=-0.5x+5.y=\text{-} 0.5x + 5. Även detta område markeras i koordinatsystemet.

Det går även att genomföra det här steget genom att rita in olikheterna på en räknare.

När alla olikheter är markerade har man hittat det område som uppfyller alla samtidigt. Det är det mörkaste området, dvs. området i figuren nedan.

Digitala verktyg

Rita olikhet på räknare

Exempel

Beskriv området med ett system av olikheter