Substitutionsmetoden

Substitutionsmetoden är en algebraisk metod för att hitta lösningen till ett ekvationssystem. Den går ut på att man ersätter, eller substituerar, en variabel i någon av ekvationerna med ett uttryck som bara innehåller den andra variabeln. Exempelvis kan ekvationssystemet {y4=2x9x+6=3y\begin{cases}y-4=2x \\ 9x+6=3y \end{cases} lösas med substitutionsmetoden på följande sätt.

Lös ut en av variablerna ur valfri ekvation så att den står ensam på ena sidan av likhetstecknet. Då ska uttrycket på andra sidan enbart innehålla den andra variabeln. Genom att addera 4 till båda led i den första ekvationen kan man lösa ut yy: {y=2x+49x+6=3y.\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=3y. \end{cases}

Ersätt variabeln i den andra ekvationen med det uttryck som man fick i första steget. Uttrycket 2x+42x+4 sätts in istället för yy i den andra ekvationen: {y=2x+49x+6=3(2x+4).\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=3({\color{#0000FF}{2x+4}}). \end{cases}

Nu innehåller den andra ekvationen endast en variabel och det går att lösa den med balansmetoden.

{y=2x+4(I)9x+6=3(2x+4)(II)\begin{cases}y=2x+4 & \, \text {(I)}\\ 9x+6=3(2x+4) & \text {(II)}\end{cases}
{y=2x+49x+6=32x+34\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=3\cdot2x+3\cdot4 \end{cases}
{y=2x+49x+6=6x+12\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=6x+12 \end{cases}
{y=2x+43x+6=12\begin{cases}y=2x+4 \\ 3x+6=12 \end{cases}
{y=2x+43x=6\begin{cases}y=2x+4 \\ 3x=6 \end{cases}
{y=2x+4x=2\begin{cases}y=2x+4 \\ x=2 \end{cases}

Sätt in värdet på variabeln som löstes ut i förra steget i någon av ursprungsekvationerna. Oftast sätter man in det i uttrycket man löste ut i första steget. För att få den fullständiga lösningen till ekvationssystemet löser man sedan ut den sista variabeln ur ekvationen.

{y=2x+4(I)x=2(II)\begin{cases}y=2x+4 & \, \text {(I)}\\ x=2 & \text {(II)}\end{cases}
{y=22+4x=2\begin{cases}y=2 \cdot {\color{#0000FF}{2}}+4 \\ x=2 \end{cases}
{y=4+4x=2\begin{cases}y=4+4 \\ x=2 \end{cases}
{y=8x=2\begin{cases}y=8 \\ x=2 \end{cases}

Lösningen till ekvationssystemet är {x=2y=8.\begin{cases}x=2 \\ y=8. \end{cases}